Analiza matematyczna 1
zadanie domowe nr 10 1. Rekurencje liniowe cz¦±¢ II.
(a) Czy s¡ ci¡gi geometryczne, speªniaj¡ce równanie rekurencyjne an+2= 2an+1− 2an? Poszu- kaj w±ród ci¡gów o warto±ciach zespolonych!
(b) Rozwikªaj rekurencj¦ a0 = 4, a1 = 6, an+2= 2an+1− 2an.
(c) Zapisz liczby 1 + i oraz 1 − i w postaci trygonometrycznej i w ten sposób wyra¹ rozwi¡zanie poprzedniego podpunktu bez u»ycia liczb zespolonych.
2. Rekurencje liniowe cz¦±¢ III.
(a) Czy s¡ ci¡gi geometryczne, speªniaj¡ce równanie rekurencyjne an+2= 4an+1− 4an? (b) Rozwikªaj rekurencj¦ a0 = 4, a1 = 8, an+2= 4an+1− 4an.
(c) Czy umiesz rozwikªa¢ rekurencj¦ a0 = 4, a1 = 6, an+2= 4an+1− 4an? Z pomoc¡ przyjdzie ci¡g o wyrazach n2n sprawd¹, »e speªnia on równanie rekurencyjne rozwa»ane w tym zadaniu!
3. Rekurencje liniowe podsumowanie. Przeczytaj poni»szy tekst i uzasadnij, »e podanych ci¡gów jest faktycznie k.
Metoda rozwikªywania ogólnych rekurencji liniowych jest nast¦puj¡ca. Rozwa»my ogólne liniowe równanie rekurencyjne gª¦boko±ci k:
an+k = p1an+k−1+ p2an+k−2+ ... + pk−1an+1+ pkan. Wielomian
P (x) = xk− p1xk−1− p2xk−2− ... − pk−1x − pk
nazywany jest wielomianem charakterystycznym równania rekurencyjnego. Niech x1, x2, ..., xN b¦d¡ wszystkimi pierwiastkami zespolonymi wielomianu P , niech ponadto Mj oznacza krotno±¢
pierwiastka xj (j = 1, 2, ..., N). Wówczas k ci¡gów postaci
an= nmxnj, gdzie j ∈ {1, 2, ..., N} oraz m ∈ {0, 1, ..., Mj− 1},
speªnia rozwa»ane równanie rekurencyjne. Bior¡c ich kombinacj¦ liniow¡ (tj. sum¦ z odpo- wiednimi wspóªczynnikami) i porównuj¡c z zadanymi warto±ciami pocz¡tkowych k wyrazów, otrzymamy ci¡g speªniaj¡cy zadany ukªad równa« rekurencji liniowej.
Do tematu powrócimy na koniec semestru!
Mateusz Kwa±nicki
