Matematyka Obliczeniowa* (II MAT)
20-04-2016
Uwaga. Każde zadanie warte jest 6 punktów, niezależnie od stopnia trudności.
1. Niech A ∈ Rn,nbędzie macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Wykaż, że rozkład A = LDLT, gdzie L ∈ Rn,n jest macierzą trójkątną dolną z jedynkami na przekątnej, a D macierzą diagonalną, jest wyznaczony jednoznacznie.
2. Niech A ∈ Rm,n, gdzie m n = rank(A). Niech dalej ~x∗ i ~y∗ będą rozwiązaniami Liniowych Zadań Najmniejszych Kwadratów postaci, odpowiednio, A~x ∼= ~b i A~y ∼= ~c, gdzie ~c jest zaburzeniem ~b spełniającym
k~c − ~bk2 ¬ η k~bk2. Wykaż, że jeśli ~b ∈ Im(A) to
k~y∗− ~x∗k ¬ η κ(A) k~xk2, gdzie κ(A) = kAk2kA+k2,
tzn. uwarunkowanie zadania ze względu na zaburzenia wektora ~b wynosi κ(A). Czy uwarunkowanie się zmieni gdy zrezygnujemy z założenia, że ~b ∈ Im(A)? Uzasadnij odpowiedź.
3. Niech Hk: Rm → Rm dla 1 ¬ k ¬ n, n ¬ m, będą odbiciami Householdera, Hk~x = ~x − sk~uk, sk = ~uTk~x/γk,
gdzie ~uk 6= ~0 i γk = k~ukk22/2. Wykaż, że algorytm obliczania w flν wyrażenia Q~x = HnHn−1· · · H2H1~x
według powyższych wzorów jest numerycznie poprawny ze względu na wektor ~x.
Dokładniej, wartość obliczona spełnia
flν(Q~x) = Q(~x + ~e),
gdzie k~ek2 ¬ Kνk~xk2 i K nie zależy ani od ν, ani od ~x.
4. Stosując algorytm ortogonalizacji Grama-Schmidta znajdź rozkład macierzy
A =
0 −2
0 0
−5 1
0 2
na iloczyn A = QR, gdzie Q ∈ R4,2 jest macierzą o ortonormalnych kolumnach, a R ∈ R2,2 macierzą trójkątną górną. Czym różni się ten rozkład od rozkładu ortogonalno- trójkątnego A = QeR, który byśmy uzyskali stosując odpowiednie odbicia lustrzanee Householdera H1 i H2, z jawnie wyliczoną macierzą Q = He 1H2?
