Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.
Caªkowanie funkcji niewymiernych.
Informacje pomocnicze:
I. Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych:
1. Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot¦g postaci (ax + b)m1n1, (ax + b)m2n2, . . . lub ax+bcx+dm1n1
, ax+bcx+dm2n2
, . . . gdzie ni, mi ∈ N s¡ wzgl¦dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia
M√
ax + b = t lub M
rax + b
cx + d = t (1)
gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno±¢ m1, m2, . . . 2a. Caªk¦ postaci R √ax2dx+bx+c sprowadzamy do R √ dx
a(x−p)2+q i dokonujemy podstawienia x − p = q
1
|a|t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie)
Z dx
√x2+ a = ln |x +√
x2+ a| + c lub
Z 1
√a2− x2dx = arcsin x
|a| + c.
2b. Caªk¦ postaci R √
ax2+ bx + c dx sprowadzamy do R pa(x − p)2+ q dx i dokonujemy podsta- wienia x − p =q
1
|a|t, a nast¦pnie stosujemy wzory(wymiennie) Z √
x2+ adx = 1 2x√
x2+ a +a
2ln |x +√
x2+ a| + c lub
Z √
a2− x2dx = a2
2 arcsin x
|a| + x 2
√a2 − x2 + c.
3. Caªk¦ postaci R √axW2n+bx+c(x) dx, gdzie Wn(x) jest wielomianem stopnia n, przedstawiamy jako:
Z Wn(x)
√ax2+ bx + cdx = (An−1xn−1+ . . . A1x + A0)√
ax2+ bx + c + λ
Z dx
√ax2+ bx + c, w celu wyliczenia An−1, . . . , A1, A0, λobustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez√
ax2+ bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.
Szczególny przypadek: caªk¦ postaci R √axAx+B2+bx+cdx obliczamy rozkªadaj¡c na dwie cz¦±ci i stosuj¡c wcze±niejsze metody
Z Ax + B
√ax2+ bx + cdx = C ·
Z 2ax + b
√ax2+ bx + cdx + D
Z 1
√ax2 + bx + cdx
= 2C√
ax2+ bx + c + D
Z 1
√ax2+ bx + cdx.
4. Caªk¦ postaci R P (x)√
ax2+ bx + c dx poprzez pomno»enie i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √
ax2 + bx + c przeksztaªcamy do postaci R (ax√2+bx+c)P (x)
ax2+bx+c dx. Nast¦pnie stosujemy algo- rytm z punktu 3.
Szczególny przypadek: caªk¦ postaci R (Ax + B)√
ax2+ bx + cdx obliczamy rozkªadaj¡c dwie cz¦±ci i stosuj¡c wcze±niejsze metody:
Z
(Ax + B)√
ax2+ bx + cdx = C Z
(2ax + b)√
ax2+ bx + cdx + D Z √
ax2+ bx + cdx
= 2
3C(ax2+ bx + c)32 + D Z √
ax2+ bx + cdx.
5. Caªk¦ postaci R dx
(x−k)n
√
dx2+ex+f poprzez podstawienie x − k = 1t przeksztaªcamy do postaci R tn−1
√
at2+bt+cdt, a wi¦c caªki z podpunktu 3.
II. Caªki typu R W (x,√
ax2+ bx + c)dx, gdzie W jest funkcj¡ wymiern¡
Wyra»enie pod pierwiastkiem (trójmian kwadratowy) sprowadzamy najpierw do postaci kanonicz- nej i stosuj¡c odpowiednie podstawienie otrzymujemy jedn¡ z nast¦puj¡cych postaci: R W (t,√
A2− t2)dt, R W (t,√
A2+ t2)dt, R W (t,√
t2− A2)dt. W przypadku:
a) R W (t,√
A2 − t2)dt stosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;
b) R W (t,√
A2 + t2)dt stosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;
c) R W (t,√
t2− A2)dt stosujemy podstawienie: t = cos wA lub t = A cosh w.
III. Podstawienia Eulera
Do obliczania caªek typu R W (x,√
ax2+ bx + c)dx mo»na równie» zastosowa¢ tzw. podstawienia EULERA, jednak»e ze wzgl¦du na dosy¢ skomplikowane rachunki stosowane s¡ jako ostateczno±¢:
a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a>0
√ax2+ bx + c = −√
ax + t.
St¡d mamy:
ax2+ bx + c = ax2− 2√
axt + t2, ⇒ x(b + 2√
at) = t2− c ⇒ x = t2− c b + 2√
at. Zatem
dx = 2t(b + 2√
at) − 2√
a(t2− c)
√ dt oraz √
ax2+ bx + c =√
a c − t2
√ + t.
b) drugie podstawienie Eulera, gdy c>0
√ax2+ bx + c = xt +√ c.
St¡d mamy:
ax2+ bx + c = x2t2+ 2√
cxt + c, ⇒ ax + b = xt2+ 2√
ct ⇒ x = 2√ ct − b a − t2 . Zatem
dx = 2√
c(a − t2) + 2t(2√ ct − b)
(a − t2)2 dt oraz √
ax2+ bx + c = 2√
ct2− bt a − t2 +√
c.
c) trzecie podstawienie Eulera, gdy wyró»nik ∆ > 0
√
ax2+ bx + c =p
a(x − x1)(x − x2) = t(x − x1), gdzie x1, x2 to pierwiastki trójmianu ax2+ bx + c.
Z podstawienia mamy:
(x − x1)t2 = a(x − x2), ⇒ x(t2− a) = t2x1− ax2 ⇒ x = t2x1− ax2 t2− a . Zatem
dx = 2ta(x2− x1)
(t2− a)2 dt oraz √
ax2+ bx + c = t t2x1− ax2 t2− a − x1
.
IV. Caªki dwumienne Caªki postaci R xm(a + bxn)p, gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi nazy- wamy caªkami dwumiennymi. Caªki te na podstawie twierdzenia Czybyszewa mo»na obliczy¢ poprzez odpowiednie podstawienia w jednym z trzech przypadków:
a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:
N√ x = t,
gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;
b) gdy m+1n jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:
N√
a + bxn = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p;
c) gdy m+1n + p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:
N
ra + bxn xn = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p.
V. Przykªady i wyprowadzenie u»ytecznych wzorów:
Przykªad 1. R √xdx2+a = ln |x +√
x2+ a| + c.
Z dx
√x2+ a =
√x2+ a = t − x −tzw. podst. Eulera ⇒ x = t22t−a dx = t22t+a2 dt
=
=
Z t2+a 2t2 dt t − t22t−a =
Z t2+a 2t2 dt
t2+a 2t
= Z 1
tdt = ln |t| + c = ln |x +√
x2+ a| + c;
Przykªad 2. R √
x2+ adx = 12x√
x2+ a +a2 ln |x +√
x2+ a| + c.
Z √
x2+ adx =
f = √
x2 + a g0 = 1 f0 = √ x
x2+a g = x
= x√
x2+ a −
Z x2
√x2 + adx =
= x√
x2+ a −
Z x2+ a − a
√x2+ a dx = x√
x2+ a − Z √
x2+ adx + a
Z dx
√x2+ a =
= x√
x2+ a − Z √
x2+ adx + a ln |x +√
x2+ a|,
zatem Z √
x2+ adx = x√
x2+ a − Z √
x2+ adx + a ln |x +√
x2+ a|
wi¦c 2R √
x2 + adx = x√
x2+ a + a ln |x +√
x2+ a|
i ostatecznie otrzymujemy oczekiwany wzór.
Przykªad 3. (ilustruj¡cy typ 1) R x2+√1+x
√3
1+x dx =
1 + x = t6 ⇒ x = t6− 1 dx = 6t5dt
=R (t6−1)2+t3
t2 · 6t5dt =
=R 6(t12− 2t6+ 1 + t3) · t3dt =R 6t15− 12t9+ 6t6+ 6t3dt =
= 166 t16− 1210t10+ 17t7+ 64t4+ c = 38(1 + x)83 − 65(1 + x)53 +17(1 + x)76 + 32(1 + x)23 + c Przykªad 4. (ilustruj¡cy typ 2a)
R dx
√2x2+4x−6 =R √ dx
2(x+1)2−4 =
x + 1 = q1
2t ⇒ t =√
2(x + 1) dx =
√2
2 dt
=
=
√2
2
R √dt
t2−4 =
Z 1
√x2+ adx = ln x +√
x2+ a
+ c =
=
√2
2 ln |t +√
t2− 4| + c =
√2
2 ln |√
2(x + 1) +p2(x + 1)2− 4| + c Przykªad 5. (ilustruj¡cy typ 2b)
R √
x2− 6x − 7dx = R p(x − 3)2− 16dx =
x − 3 = t dx = dt
=
=R √
t2− 16dt = Z √
x2+ adx = 1 2x√
x2+ a + a
2ln |x +√
x2+ a| + c =
= 2t√
t2− 16 − 8 ln |t +√
t2− 16| + c = x−32 p(x − 3)2− 16 − 8 ln |x − 3 +p(x − 3)2− 16| + c.
Przykªad 6. (ilustruj¡cy typ 3) R x3−x+1
√x2−2x+2dx
Zgodnie z podan¡ informacj¡ zadan¡ caªk¦ przedstawiamy w postaci:
Z x3− x + 1
√x2− 2x + 2dx = (Ax2+ Bx + C)√
x2− 2x + 2 + D
Z dx
√x2− 2x + 2.
Nast¦pnie ró»niczkujemy obustronnie powy»sze równanie z uwzgl¦dnieniem wzoru R f (x)dx0
= f (x) : x3 − x + 1
√x2− 2x + 2 = (2Ax + B)√
x2 − 2x + 2 + (Ax2+ Bx + C) x − 1
√x2− 2x + 1 + D 1
√x2− 2x + 2. Teraz mno»ymy przez √
x2− 2x + 2 :
x3− x + 1 = (2Ax + B)(x2− 2x + 2) + (Ax2+ Bx + C)(x − 1) + D.
Wymna»aj¡c i porz¡dkuj¡c otrzymujemy:
x3− x + 1 = 3Ax3+ (−5A + 2B)x2+ (4A − 3B + C)x + 2B − C + D.
Porównuj¡c wspóªczynniki przy odpowiednich pot¦gach dostajemy ukªad równa« liniowych na wspóª- czynniki A, B, C, D :
3A = 1,
−5A + 2B = 0, 4A − 3B + C = −1, 2B − C + D = 1
⇒ A = 13, B = 56, C = 16, D = −12.
Zatem
Z x3− x + 1
√x2− 2x + 2dx = 1
6x2+ 5 6x + 1
6
√
x2− 2x + 2 − 1 2
Z dx
√x2− 2x + 2. Obliczamy jeszcze caªk¦ (zgodnie z podpunktem 2)
R √ dx
x2−2x+2 =R √ dx
(x−1)2+1 =
x − 1 = t dx = dt
=R √dt
t2+1 =
Z 1
√x2+ adx = ln x +√
x2+ a
+ c =
= ln |t +√
t2 + 1| + c = ln |x − 1 +√
x2− 2x + 2| + c.
Wówczas ostatecznie:
Z x3− x + 1
√x2− 2x + 2dx = 1
6x2+5 6x +1
6
√
x2− 2x + 2 − 1
2ln |x − 1 + √
x2− 2x + 2| + c.
Przykªad 7. (ilustruj¡cy typ 4) R x2√
−x2+ 4xdx
Mno»¡c i dziel¡c przez √
−x2+ 4x mamy:
Z x2√
−x2+ 4xdx =
Z −x4+ 4x3
√−x2+ 4xdx.
Caªk¦ t¡ przedstawiamy w postaci:
Z −x4 + 4x3
√−x2+ 4xdx = (Ax3 + Bx2 + Cx + D)√
−x2+ 4x + E
Z 1
√−x2+ 4xdx.
Ró»niczkuj¡c mamy:
−x4+ 4x3
√−x2+ 4x = (3Ax2+ 2Bx + C)√
−x2 + 4x + (Ax3+ Bx2+ Cx + D) −x + 2
√−x2+ 4x + E 1
√−x2+ 4x. Mno»ymy przez √
−x2+ 4x :
−x4+ 4x3 = (3Ax2 + 2Bx + C)(−x2+ 4x) + (Ax3+ Bx2+ Cx + D)(−x + 2) + E.
Wymna»aj¡c i porz¡dkuj¡c otrzymujemy:
−x4+ 4x3 = −4Ax4+ (14A − 3B)x3+ (−2C + 4B)x2+ (6C − D)x + 2D + E.
St¡d
−4A = 1, 14A − 3B = 4,
−2C + 4B = 0, 6C − D = 0, 2D + E = 0
⇒ A = −14, B = −52, C = −5, D = −30, E = 60.
Zatem
Z −x4+ 4x3
√−x2+ 4xdx = (−1
4x3− 5
2x2 − 5x − 30)√
−x2+ 4x + 60
Z 1
√−x2+ 4xdx.
Powstaª¡ do obliczenia caªk¦ sprowadzamy R √ dx
a(x−p)2+q i dokonujemy podstawienia x − p =q
1
|a|t :
R dx
√−x2+4x =R √ dx
−(x−2)2+4 =
x − 2 =q
1
|−1|t dx = dt
=R dt
√−t2+4 ==
Z 1
√a2− x2dx = arcsinx
a + c =
= arcsin2t + c = arcsinx−22 + c.
Wówczas ostatecznie:
Z −x4+ 4x3
√−x2+ 4xdx = (−1
4x3− 5
2x2− 5x − 30)√
−x2+ 4x + 60 arcsinx − 2 2 + c Przykªad 8. (ilustruj¡cy typ 5)
Z dx
(x − 1)3√
3 − 2x2 =
x − 1 = 1t ⇒ x = t+1t oraz t = x−11 dx = −t12dt
=
=
3 − 2x2 = 3 − 2t2+ 2t + 1
t2 = t2− 4t − 2 t2
=
Z −t12
1 t3
√ t2−4t−2
t
dt =
Z −t2
√t2− 4t − 2dt.
Otrzyman¡ caªk¦ liczymy metoda wspóªczynników nieoznaczonych:
Z −t2
√ dt = (At + B)√
t2− 4t − 2 + C
Z 1
√ dt.
Ró»niczkujemy:
−t2
√t2− 4t − 2 = A√
t2− 4t − 2 + (At + B) t − 2
√t2− 4t − 2 + C 1
√t2− 4t − 2. Mno»ymy przez √
t2− 4t − 2 :
−t2 = A(t2− 4t − 2) + (At + B)(t − 2) + C.
St¡d otrzymujemy ukªad na A, B, C :
A = −1,
−6A + B = 0,
−2A − 2B + C = 0
⇒ A = −1, B = −6, C = −14.
Zatem:
Z −t2
√t2− 4t − 2dt = (−t − 6)√
t2− 4t − 2 − 14
Z 1
√t2− 4t − 2dt.
Teraz obliczamy powstaª¡ caªk¦:
Z 1
√t2− 4t − 2dt =
Z dt
p(t − 2)2 − 6 =
t − 2 =√ 6w dt =√
6dw
=
Z √
√ 6dw
6w2− 6 =
Z 1
√w2− 1dw =
=
Z 1
√x2+ adx = ln x +√
x2+ a
+ c = ln |w +√
w2− 1| + c =
= ln
√6
6 (t − 2) +
√6 6
√
t2− 4t − 2
+ c.
Wobec tego:
Z −t2
√t2− 4t − 2dt = (−t − 6)√
t2− 4t − 2 − 14 ln
√6
6 (t − 2) +
√6 6
√
t2− 4t − 2
+ c.
Ostatecznie, poniewa» t = x−11 mamy:
Z dx
(x − 1)3√
3 − 2x2 = (− 1
x − 1− 6) s
1 x − 1
2
− 4
1 x − 1
− 2−
− 14 ln
√6 6 ( 1
x − 1 − 2) +
√6 6
s
1 x − 1
2
− 4
1 x − 1
− 2
+ c.
Zadania
1. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych:
1) R 1
√x+√3
xdx; 2) R 1+√
x 1−√
xdx; 3) R 3+√62x+1
√3
2x+1+√4
2x+1dx;
4) R x2+√1+x
√3
1+x dx; 5) R 1
x
qx−1
x+1dx; 6) R x√
1 − 5xdx;
7) R x√
x − 4dx; 8) R 1
√
2+3x−2x2dx; 9) R dx
√
2x2+4x+3; 10) R dx
√3−2x−x2; 11) R dx
√4x2−27; 12) R √
1 − 4x2dx;
13) R √
x2− 2x − 1dx; 14) R √
−3x2− 6x − 1dx; 15) R x
√−x2+4x+2dx;
16) R x2+4x−3
√x2−3x−4dx; 17) R 4x3+3x2−2x+1
√x2+2x−1 dx; 18) R 6x√
x2+ 2x + 2dx;
19) R 12x2√
4 − x2dx; 20) R dx
(x−1)2√
10x−x2; 21) R dx
(x+1)3√ x2+2x; 22) R dx
x√
x2+x+1; 23) R dx
x−√
x2−2x−1; 24) R dx
(2x−1)√ x2−1; 25) R √ dx
(x−1)3(x−2); 26) R √ √3x2dx x3(1+√6
x)2; 27) R x3(1 + 2x2)−32dx;
28) R √√3xdx
√3
x+1; 29) R
√
1+√ x x√4
x3 dx; 30) R √33x−x3
x6 dx.
