Mechanika relatywistyczna Wykład 15 Karol Kołodziej

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Wszystkie obiekty, które przy transformacji Lorentza transformują się tak jak

kontrawariantny czterowektor położenia x^µ= (ct, ~x), tzn.

x^′µ= Λ^µ_νx^ν,

nazywamy czterowektorami kontrawariantnymi.

kowariantny czterowektor położenia xµ= (ct, −~x), tzn.

x^′_µ= xνΛ^−1ν_µ= xνΛ^{T ν}_µ, nazywamy czterowektorami kowariantnymi.

Wzory transformacyjne dla wektora prędkości były skomplikowane, gdyż w jego definicji

~v = d~x dt

występują zarówno składowe przestrzenne, jak i składowa czasowa czterowektora położeniax^µ= (ct, ~x).

Wzory transformacyjne dla wektora prędkości były skomplikowane, gdyż w jego definicji

~v = d~x dt

występują zarówno składowe przestrzenne, jak i składowa czasowa czterowektora położeniax^µ= (ct, ~x).

Zdefiniujmy czterowekor prędkości

u^µ= dx^µ dt0

,

gdziet0 jest czasem własnym, mierzonym w układzie

Wzory transformacyjne dla wektora prędkości były skomplikowane, gdyż w jego definicji

~v = d~x dt

występują zarówno składowe przestrzenne, jak i składowa czasowa czterowektora położeniax^µ= (ct, ~x).

Zdefiniujmy czterowekor prędkości u^µ= dx^µ

dt0

,

gdziet0 jest czasem własnym, mierzonym w układzie spoczynkowym cząstki.

wiąże się z czasem własnym wzorem dt = γ dt0 ⇒ d

dt0

= dt dt0

d

dt = γ d dt i kontrawariantny czterowektor prędkości przybiera postać

u^µ= dx^µ dt0

= γ d

dt (ct, ~x) = γ

d(ct) dt ,d~x

dt



= γ (c, ~v) .

Czas w układzie, w którym cząstka porusza się z prędkością ~v, wiąże się z czasem własnym wzorem

dt = γ dt0 ⇒ d dt0

= dt dt0

d

dt = γ d dt i kontrawariantny czterowektor prędkości przybiera postać

u^µ= dx^µ dt0

= γ d

dt (ct, ~x) = γ

d(ct) dt ,d~x

dt



= γ (c, ~v) . Zdefiniujmy kontrawariantny czterowektor pędu

p^µ= mu^µ= mγ (c, ~v) .

wiąże się z czasem własnym wzorem dt = γ dt0 ⇒ d

dt0

= dt dt0

d

dt = γ d dt i kontrawariantny czterowektor prędkości przybiera postać

u^µ= dx^µ dt0

= γ d

dt (ct, ~x) = γ

d(ct) dt ,d~x

dt



= γ (c, ~v) . Zdefiniujmy kontrawariantny czterowektor pędu

p^µ= mu^µ= mγ (c, ~v) .

Ponieważ czynnik Lorentza γ jest bezwymiarowy, to widzimy, że relatywistyczny pęd ciała o masie mnależałoby zdefiniować jako

~

p = γ m~v, a relatywistycznąenergięjako

E = γ mc².

Ponieważ czynnik Lorentza γ jest bezwymiarowy, to widzimy, że relatywistyczny pęd ciała o masie mnależałoby zdefiniować jako

~

p = γ m~v, a relatywistycznąenergięjako

E = γ mc².

Zatemczterowektor energii–pędu możemy zapisać w formie p^µ= (mγc, mγ~v) = (E /c, ~p) .

Ponieważ czynnik Lorentza γ jest bezwymiarowy, to widzimy, że relatywistyczny pęd ciała o masie mnależałoby zdefiniować jako

~

p = γ m~v, a relatywistycznąenergięjako

E = γ mc².

Zatemczterowektor energii–pędu możemy zapisać w formie p^µ= (mγc, mγ~v) = (E /c, ~p) .

Zauważmy, że energia ciała o masie m,

E = γ mc² = mc² q1 −^~v_c²²

w układzie spoczynkowym, gdzie~v = ~0,jest niezerowa i wynosi E0 = mc².

Tak właśnie powinien wyglądać słynny wzór Einsteina, w którym często zapomina się albo czynnika γ, albo indeksu 0.

Zauważmy, że energia ciała o masie m,

E = γ mc² = mc² q1 −^~v_c²²

w układzie spoczynkowym, gdzie~v = ~0,jest niezerowa i wynosi E0 = mc².

Tak właśnie powinien wyglądać słynny wzór Einsteina, w którym często zapomina się albo czynnika γ, albo indeksu 0.

E = γ mc² = mc² q1 −^~v_c²².

Jeżeli|~v| ≪ c ⇒ x = ^~v_c²2 ≪ 1i możemy zastosować przybliżenia

√ 1

1 − x ≈ 1

1 −¹2x ≈ 1 +1 2x,

E = γ mc² = mc² q1 −^~v_c²².

Jeżeli|~v| ≪ c ⇒ x = ^~v_c²2 ≪ 1i możemy zastosować przybliżenia

√ 1

1 − x ≈ 1

1 −¹2x ≈ 1 +1 2x,

które wynikają z następujących przybliżonych równości

 1 −1

2x

²

= 1 − x +1

4x² ≈ 1 − x,

 1 +1

2x

  1 −1

2x



= 1 −1

4x² ≈ 1.

E = γ mc² = mc² q1 −^~v_c²².

Jeżeli|~v| ≪ c ⇒ x = ^~v_c²2 ≪ 1i możemy zastosować przybliżenia

√ 1

1 − x ≈ 1

1 −¹2x ≈ 1 +1 2x,

które wynikają z następujących przybliżonych równości

 1 −1

2x

²

= 1 − x +1

4x² ≈ 1 − x,

Wtedy

E ≈ mc² 1 + ~v² 2c²

!

= mc²+1

2m~v² = E0+ T .

Dla pędu w przybliżeniu nierelatywistycznym otrzymamy natomiast

~

p = γ m~v ≈ m~v 1 + ~v² 2c²

!

≈ m~v.

Wtedy

E ≈ mc² 1 + ~v² 2c²

!

= mc²+1

2m~v² = E0+ T .

Dla pędu w przybliżeniu nierelatywistycznym otrzymamy natomiast

~

p = γ m~v ≈ m~v 1 + ~v² 2c²

!

≈ m~v.

Obliczmy kwadrat normy czteropędu

kpk² = p· p =E²/c²− ~p² =γ²m²c²− γ²m²~v²

= m²c²γ^21 − ~v²/c^2=m²c². Wzór ten często pisze się w formie

E²− ~p²c²= m²c⁴. Jest to oczywiścieniezmiennik relatywistyczny.

kpk² = p· p =E²/c²− ~p² =γ²m²c²− γ²m²~v²

= m²c²γ^21 − ~v²/c^2=m²c². Wzór ten często pisze się w formie

E²− ~p²c²= m²c⁴. Jest to oczywiścieniezmiennik relatywistyczny.

Zatem, w dowolnym układzie odniesienia, energia wiąże się z pędem wzorem

q

Obliczmy kwadrat normy czteropędu

kpk² = p· p =E²/c²− ~p² =γ²m²c²− γ²m²~v²

= m²c²γ^21 − ~v²/c^2=m²c². Wzór ten często pisze się w formie

E²− ~p²c²= m²c⁴. Jest to oczywiścieniezmiennik relatywistyczny.

Zatem, w dowolnym układzie odniesienia, energia wiąże się z pędem wzorem

E =^qp~²c²+ m²c⁴, gdzie odrzuciliśmy drugie, ujemne rozwiązanie.

można pokazać, żesymetria układu fizycznego, a więc niezmienniczość funkcji Lagrange’a,względem translacji

x^µ → x^′µ = x^µ+ a^µ, a^µ= const.

prowadzi dozasady zachowania czteropędu układu.

Ponieważ w czasoprzestrzeni Minkowskiego czas traktujemy na podobnych zasadach jak współrzędne przestrzenne, to dowodu zasady zachowania energii nie trzeba przeprowadzać osobno.

Podobnie jak zrobiliśmy to w przypadku nierelatywistycznym, można pokazać, żesymetria układu fizycznego, a więc niezmienniczość funkcji Lagrange’a,względem translacji

x^µ → x^′µ = x^µ+ a^µ, a^µ= const.

prowadzi dozasady zachowania czteropędu układu.

Ponieważ w czasoprzestrzeni Minkowskiego czas traktujemy na podobnych zasadach jak współrzędne przestrzenne, to dowodu zasady zachowania energii nie trzeba przeprowadzać osobno.

Wynika ona z zasady zachowania czteropędu X

i

p_i^µ=^X

i

(Ei/c, ~p_i) = const ⇔ ^X

i

E_i = const i ^X

i

~

p_i = const.

można pokazać, żesymetria układu fizycznego, a więc niezmienniczość funkcji Lagrange’a,względem translacji

x^µ → x^′µ = x^µ+ a^µ, a^µ= const.

prowadzi dozasady zachowania czteropędu układu.

Ponieważ w czasoprzestrzeni Minkowskiego czas traktujemy na podobnych zasadach jak współrzędne przestrzenne, to dowodu zasady zachowania energii nie trzeba przeprowadzać osobno.

Wynika ona z zasady zachowania czteropędu

Xp_i^µ=^X(Ei/c, ~p_i) = const ⇔ ^XE_i = const i ^X~p_i = const.

Przykład 1.Relatywistyczna kulka z plasteliny o masiem_a i prędkości~va zderza się ze spoczywającą kulką o masie m_b.Obie kulki sklejają się tworząc jedną kulkę. Jaka jest masam i prędkość

~v kulki utworzonej w wyniku zderzenia?

ma ~va mb

(przed zderzeniem)

m ~v

(po zderzeniu)

prędkości~va zderza się ze spoczywającą kulką o masie m_b.Obie kulki sklejają się tworząc jedną kulkę. Jaka jest masam i prędkość

~v kulki utworzonej w wyniku zderzenia?

ma ~va mb

(przed zderzeniem)

m ~v

(po zderzeniu) Zasada zachowania czteropędu daje

p + p = p,

Przykład 1.Relatywistyczna kulka z plasteliny o masiem_a i prędkości~va zderza się ze spoczywającą kulką o masie m_b.Obie kulki sklejają się tworząc jedną kulkę. Jaka jest masam i prędkość

~v kulki utworzonej w wyniku zderzenia?

ma ~va mb

(przed zderzeniem)

m ~v

(po zderzeniu)

Zasada zachowania czteropędu daje p_a+ p_b= p,

gdzie pa, p_b – czteropędy przed, a p – czteropęd po zderzeniu.

p_a=

c , ~p_a = γam_a(c, ~va) , p_b= m_bc,~0 .

(pa+ pb)² = p² = m²c² ⇒ m² = 1

c² (pa+ pb)²

m²= 1 c²

p_a²+ p_b²+ 2pa· p^b= 1 c²

m_a²c²+ m_b²c²+ 2pa· p^b

p_a=

E_a c , ~p_a



= γam_a(c, ~va) , p_b=^m_bc,~0^.

(pa+ pb)² = p² = m²c² ⇒ m² = 1

c² (pa+ pb)² m²= 1

c²

p_a²+ p_b²+ 2pa· p^b= 1 c²

m_a²c²+ m_b²c²+ 2pa· p^b

p_a· p^b= E_a

c m_bc− ~p^a· ~0 = E^am_b ⇒ m² = m_a²+ m²_b+ 2E_am_b c²

p_a=

c , ~p_a = γam_a(c, ~va) , p_b= m_bc,~0 .

(pa+ pb)² = p² = m²c² ⇒ m² = 1

c² (pa+ pb)² m²= 1

c²

p_a²+ p_b²+ 2pa· p^b= 1 c²

m_a²c²+ m_b²c²+ 2pa· p^b

p_a· p^b= E_a

c m_bc− ~p^a· ~0 = E^am_b ⇒ m² = m_a²+ m²_b+ 2E_am_b c²

p_a=

E_a c , ~p_a



= γam_a(c, ~va) , p_b=^m_bc,~0^.

(pa+ pb)² = p² = m²c² ⇒ m² = 1

c² (pa+ pb)² m²= 1

c²

p_a²+ p_b²+ 2pa· p^b= 1 c²

m_a²c²+ m_b²c²+ 2pa· p^b

p_a· p^b= E_a

c m_bc− ~p^a· ~0 = E^am_b ⇒ m² = m_a²+ m²_b+ 2E_am_b c²

m=^qm²_a+ m²_b+ 2γam_am_b, gdzie γa= 1 q1 − ~va²/c²

.

Znajdźmy końcową prędkość.Ze wzorów na energię i pęd

E = γmc², ~p= γm~v ⇒ ~v = ~pc² E .

Znajdźmy końcową prędkość. Ze wzorów na energię i pęd

E = γmc², ~p= γm~v ⇒ ~v = ~pc² E . Z zasady zachowania czteropędu

E = Ea+ mbc², ~p = ~p_a = γam_a~v_a ⇒

~v = γam_a~vac²

E_a+ m_bc² = γam_a~vac²

γ_am_ac²+ m_bc² = γam_a γ_am_a+ m_b ~va.

Znajdźmy końcową prędkość. Ze wzorów na energię i pęd

E = γmc², ~p= γm~v ⇒ ~v = ~pc² E . Z zasady zachowania czteropędu

E = Ea+ mbc², ~p = ~p_a = γam_a~v_a ⇒

~v = γam_a~vac²

E_a+ m_bc² = γam_a~vac²

γ_am_ac²+ m_bc² = γam_a γ_am_a+ m_b ~va.

W granicy nierelatywistycznej

|~v^a| ≪ c ⇒ γa = 1

q1 − ~va²/c² → 1,

więc

~v = γam_a γam_a+ mb

~v_a → m_a m_a+ mb

~v_a,

m =

q

m_a²+ m²_b+ 2γam_am_b → m_a+ mb.

W granicy nierelatywistycznej

|~v^a| ≪ c ⇒ γa = 1

q1 − ~va²/c² → 1,

więc

~v = γam_a γam_a+ mb

~v_a → m_a m_a+ mb

~v_a,

m =

q

m_a²+ m²_b+ 2γam_am_b → m_a+ mb.

Wiązka protonów zderza się z protonami tarczy. Jaki jest związek pomiędzy energią całkowitą dwóch zderzających się protonów w układzie laboratoryjnym(LAB), w którym tarcza spoczywa, z ich energią całkowitą w układzie środka masy(CM), w którym

~

p1+ ~p2= ~0?

mp ~p₁^LAB mp

(uk lad LAB)

mp ~p −~p mp

(uk lad CM)

pomiędzy energią całkowitą dwóch zderzających się protonów w układzie laboratoryjnym(LAB), w którym tarcza spoczywa, z ich energią całkowitą w układzie środka masy(CM), w którym

~

p1+ ~p2= ~0?

mp ~p₁^LAB mp

(uk lad LAB)

mp ~p −~p mp

(uk lad CM)

Porównajmy



p^LAB+ p^LAB

2

=^p^CM+ p^CM

2

.

Wiązka protonów zderza się z protonami tarczy. Jaki jest związek pomiędzy energią całkowitą dwóch zderzających się protonów w układzie laboratoryjnym(LAB), w którym tarcza spoczywa, z ich energią całkowitą w układzie środka masy(CM), w którym

~

p1+ ~p2= ~0?

mp ~p₁^LAB mp

(uk lad LAB)

mp ~p −~p mp

(uk lad CM)

Porównajmy



p1^LAB+ p2^LAB

²

=^p1^CM+ p2^CM

² . Kwadrat czterowektora jest niezmiennikiem.

E1^LAB+ m_pc^2

2

c² −^p~1^LAB+ ~0^

2

=

E1^CM+ E2^CM

²

c² − ~0², Pomnóżmy obie strony tego równania przez c² i zauważmy, że

E1^CM+ E2^CM= E^CM,

gdzie E^CM jest całkowitą energią w układzie środka masy, wówczas dostaniemy

Stąd

E1^LAB+ m_pc^2

2

c² −^p~1^LAB+ ~0^

2

=

E1^CM+ E2^CM

²

c² − ~0², Pomnóżmy obie strony tego równania przez c² i zauważmy, że

E1^CM+ E2^CM= E^CM,

gdzie E^CM jest całkowitą energią w układzie środka masy, wówczas dostaniemy

E1^LAB

²

−^~p1^LAB

² c²

| {z }

m²_pc⁴

+m²_pc⁴+ 2E1^LABm_pc² =^E^CM

2

.

E1^LAB+ m_pc^2

2

c² −^p~1^LAB+ ~0^

2

=

E1^CM+ E2^CM

²

c² − ~0², Pomnóżmy obie strony tego równania przez c² i zauważmy, że

E1^CM+ E2^CM= E^CM,

gdzie E^CM jest całkowitą energią w układzie środka masy, wówczas dostaniemy

E1^LAB

²

−^~p1^LAB

²

c²+m²_pc⁴+ 2E1^LABm_pc² =^E^CM

2

.

a zatem

2mpc²

całkowita energia

z }| {



E1^LAB+ mpc^2

| {z }

E^LAB

=^E^CM

2

⇒ E^LAB=

E^CM

2

2mpc² .

Przykład 2.Jaka musi być całkowita energia protonów w układzie laboratoryjnym, aby energia całkowita w układzie środka masy wynosiła 20 GeV?

2mpc²

całkowita energia

z }| {



E1^LAB+ mpc^2

| {z }

E^LAB

=^E^CM

2

⇒ E^LAB=

E^CM

2

2mpc² .

Przykład 2.Jaka musi być całkowita energia protonów w układzie laboratoryjnym, aby energia całkowita w układzie środka masy wynosiła 20 GeV?

m_p= 938.27203 ± 0.00008 MeV/c² ⇒ m_pc² ≈ 1 GeV

E^LAB=

E^CM

2

≈ 20²

GeV= 200 GeV.

a zatem

2mpc²

całkowita energia

z }| {



E1^LAB+ mpc^2

| {z }

E^LAB

=^E^CM

2

⇒ E^LAB=

E^CM

2

2mpc² .

Przykład 2.Jaka musi być całkowita energia protonów w układzie laboratoryjnym, aby energia całkowita w układzie środka masy wynosiła 20 GeV?

m_p= 938.27203 ± 0.00008 MeV/c² ⇒ m_pc² ≈ 1 GeV E^LAB=

E^CM

2

2mpc² ≈ 20²

2 GeV= 200 GeV.

Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych,w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami.

Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami.

W akceleratorach wiązek przeciwbieżnych, jeżeli zderzane są cząstki punktowe o tej samej masie, jak np. elektron i pozyton, to układ laboratoryjny pokrywa się z układem środka masy, w którym sumaryczny pęd jest zerowy i cała energia może być wykorzystana na wygenerowanie masy (energii spoczynkowej) produktów reakcji.

Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami.

W akceleratorach wiązek przeciwbieżnych, jeżeli zderzane są cząstki punktowe o tej samej masie, jak np. elektron i pozyton, to układ laboratoryjny pokrywa się z układem środka masy, w którym sumaryczny pęd jest zerowy i cała energia może być wykorzystana na wygenerowanie masy (energii spoczynkowej) produktów reakcji.

Wielki Zderzacz Hadronów LHC w CERN-ie jest też tego rodzaju akceleratorem, ale zderzane w nim protony są cząstkami złożonymi.

Ich składniki, tzw. partony, czyli kwarki i gluony, unoszą różne ułamki pędu macierzystych protonów, dlatego układ środka masy

Dlatego buduje się akceleratory wiązek przeciwbieżnych, w których zderza się ze sobą wiązki cząstek biegnących naprzeciw siebie z takimi samymi pędami.

W akceleratorach wiązek przeciwbieżnych, jeżeli zderzane są cząstki punktowe o tej samej masie, jak np. elektron i pozyton, to układ laboratoryjny pokrywa się z układem środka masy, w którym sumaryczny pęd jest zerowy i cała energia może być wykorzystana na wygenerowanie masy (energii spoczynkowej) produktów reakcji.

Wielki Zderzacz Hadronów LHC w CERN-ie jest też tego rodzaju akceleratorem, ale zderzane w nim protony są cząstkami złożonymi.

Ich składniki, tzw. partony, czyli kwarki i gluony, unoszą różne ułamki pędu macierzystych protonów, dlatego układ środka masy zderzających się partonów porusza się w układzie laboratoryjnym.

E²− ~p²c² = 0 ⇒ E² = ~p²c² ⇒ |~p| = E c.

Cząstka bezmasowa o niezerowej energii ma relatywistyczny pęd,

Zauważmy, że dla cząstki bezmasowej, (np. fotonu),m= 0, E²− ~p²c² = 0 ⇒ E² = ~p²c² ⇒ |~p| = E

c.

Cząstka bezmasowa o niezerowej energii ma relatywistyczny pęd,a jej czteropęd

p^µ=

E c, ~p



= (|~p| , ~p)

jestczterowektorem o zerowej normie, gdyż kp^µk²=p· p =^p^0

2

− (~p)²= |~p|²− |~p|² =0.

E²− ~p²c² = 0 ⇒ E² = ~p²c² ⇒ |~p| = E c.

Cząstka bezmasowa o niezerowej energii ma relatywistyczny pęd,a jej czteropęd

p^µ=

E c, ~p



= (|~p| , ~p) jestczterowektorem o zerowej normie, gdyż

kp^µk²=p· p =^p^0

2

− (~p)²= |~p|²− |~p|² =0.

E = hν = ~ω, gdzie ω = 2πν, ~≡ h 2π i postulat de Broglie’go (dla fotonu lub cząstki masowej)

~ p = ~~k,

gdzie~k – wektor falowy,który wiąże się zdługością fali λ wzorem

|~k| = 2π λ .

E = hν = ~ω, gdzie ω = 2πν, ~≡ h 2π i postulat de Broglie’go (dla fotonu lub cząstki masowej)

~ p = ~~k,

gdzie~k – wektor falowy,który wiąże się zdługością fali λ wzorem

|~k| = 2π λ . Zdefiniujmyczterowektor falowywzorem

E = hν = ~ω, gdzie ω = 2πν, ~≡ h 2π i postulat de Broglie’go (dla fotonu lub cząstki masowej)

~ p = ~~k,

gdzie~k – wektor falowy,który wiąże się zdługością fali λ wzorem

|~k| = 2π λ . Zdefiniujmyczterowektor falowywzorem

p^µ= ~k^µ= ~

ω c, ~k

 .

S

x¹ S

´ zr´od lo (uk lad S^′)

(uk lad S)

~V θ

x² S

x¹ x^′2

S^′

´ zr´od lo (uk lad S^′)

(uk lad S)

~V θ

Prędkość względna układów S i S^′ V~ = (v , 0, 0), dlatego składowa k⁰ transformuje się wg wzoru

k^′0 = γ^k⁰− βk^1, β = v c.

S

x¹ S

´ zr´od lo (uk lad S^′)

(uk lad S)

~V θ

Prędkość względna układów S i S^′ V~ = (v , 0, 0), dlatego składowa k⁰ transformuje się wg wzoru

k^′0 = γ^k⁰− βk^1, β = v c.

Podstawmyk⁰= ^ω_c, k¹= |~k| cos θ = ^ω_c cos θ, k^′0= ^ω_c^′.

x² S

x¹ x^′2

S^′

´ zr´od lo (uk lad S^′)

(uk lad S)

~V θ

Prędkość względna układów S i S^′ V~ = (v , 0, 0), dlatego składowa k⁰ transformuje się wg wzoru

k^′0 = γ^k⁰− βk^1, β = v c.

Podstawmyk⁰= ^ω_c, k¹= |~k| cos θ = ^ω_c cos θ, k^′0= ^ω_c^′.

⇒ ω^′ = γω (1 − β cos θ) ⇒ ω = ω^′ γ (1 − β cos θ).

S

x¹ S

´ zr´od lo (uk lad S^′)

(uk lad S)

~V θ

Prędkość względna układów S i S^′ V~ = (v , 0, 0), dlatego składowa k⁰ transformuje się wg wzoru

k^′0 = γ^k⁰− βk^1, β = v c.

Podstawmyk⁰= ^ω_c, k¹= |~k| cos θ = ^ω_c cos θ, k^′0= ^ω_c^′.

Ponieważω^′ jest częstotliwością światła mierzoną w układzie źródła, które porusza się względem obserwatora z prędkością V~ = (V , 0, 0), to oznaczmy ω^′ = ω⁰.Wówczas

ω = γ(1−β cos θ)^ω0 , gdzie

ω – częstotliwość światła mierzona przez obserwatora, θ– kąt pomiędzy wektorem prędkości źródłaV~ a kierunkiem obserwacji światła.

Ponieważω^′ jest częstotliwością światła mierzoną w układzie źródła, które porusza się względem obserwatora z prędkością V~ = (V , 0, 0), to oznaczmy ω^′ = ω⁰.Wówczas

ω = γ(1−β cos θ)^ω0 , gdzie

ω – częstotliwość światła mierzona przez obserwatora, θ– kąt pomiędzy wektorem prędkości źródłaV~ a kierunkiem obserwacji światła.

Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora znajdującego się na dodatniej półosi Ox, tzn.θ = 0 ⇒ cos θ = 1,to

ω = ω⁰

γ (1 − β),

na dodatniej półosi Ox, tzn.θ = 0 ⇒ cos θ = 1,to ω = ω⁰

γ (1 − β), a uwzględniając, że

γ = 1

p1 − β² = 1

p(1 − β)(1 + β) otrzymamy

Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora znajdującego się na dodatniej półosi Ox, tzn.θ = 0 ⇒ cos θ = 1,to

ω = ω⁰ γ (1 − β), a uwzględniając, że

γ = 1

p1 − β² = 1

p(1 − β)(1 + β) otrzymamy

ω =

s1 + β 1 − β ω⁰.

na dodatniej półosi Ox, tzn.θ = 0 ⇒ cos θ = 1,to ω = ω⁰

γ (1 − β), a uwzględniając, że

γ = 1

p1 − β² = 1

p(1 − β)(1 + β) otrzymamy

ω =

s1 + β ω⁰.

Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to

−1 < β = v/c < 1 i z wzoru

ω =

s1 + β 1 − β ω0

widzimy, że

jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn.

β < 0

prędkości światła w próżni, to

−1 < β = v/c < 1 i z wzoru

ω =

s1 + β 1 − β ω0

widzimy, że

jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn.

β < 0 ⇒ ω < ω⁰, (przesunięcie ku czerwieni)

Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to

−1 < β = v/c < 1 i z wzoru

ω =

s1 + β 1 − β ω0

widzimy, że

jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn.

β < 0 ⇒ ω < ω⁰, (przesunięcie ku czerwieni) jeśli źródło zbliża się do obserwatora, tzn.

β > 0

prędkości światła w próżni, to

−1 < β = v/c < 1 i z wzoru

ω =

s1 + β 1 − β ω0

widzimy, że

jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn.

β < 0 ⇒ ω < ω⁰, (przesunięcie ku czerwieni)

Ponieważ źródło porusza się zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła w próżni, to

−1 < β = v/c < 1 i z wzoru

ω =

s1 + β 1 − β ω0

widzimy, że

jeśli źródło oddala się od obserwatora, tzn.

β < 0 ⇒ ω < ω⁰, (przesunięcie ku czerwieni) jeśli źródło zbliża się do obserwatora, tzn.

β > 0 ⇒ ω > ω0. (przesunięcie do fioletu)

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]²

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]² =

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]² = p4²

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]² = p4² = m²_ec²,

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]² = p4² = m²_ec²,

gdzie wykorzystaliśmy związekp²4 = m_e²c².

Promieniowanie rentgenowskie rozpraszamy na spoczywających elektronach. Jaki jest wzrost długości fali promieniowania rentgenowskiego wynikający z odrzutu elektronu?

Załóżmy, żerozpraszane są pojedyncze kwanty promieniowania - fotony.

γ, p¹ e⁻, p²

γ, p³

e⁻, p4

θ

Skorzystajmy z zasady zacho- wania czteropędu

p1+ p2 = p3+ p4 ⇒ [(p1− p³) + p2]² = p4² = m²_ec²,

Przekształćmy lewą stronę równania

[(p¹− p³) + p²]² = (p¹− p³)²+ 2 (p¹− p³) · p²+ p²2

= p1²− 2p¹· p³+ p3²+ 2p¹· p²− 2p³· p²+ p²2 =m_e²c². Uwzgędniając relacjęp²2 = m²_ec² i bezmasowość fotonu, tzn.

p1²= p3²= 0, dostaniemy

−2p¹· p³+ 2p1· p²− 2p³· p²= 0,

Przekształćmy lewą stronę równania

[(p¹− p³) + p²]² = (p¹− p³)²+ 2 (p¹− p³) · p²+ p²2

= p1²− 2p¹· p³+ p3²+ 2p¹· p²− 2p³· p²+ p²2 =m_e²c². Uwzgędniając relacjęp²2 = m²_ec² i bezmasowość fotonu, tzn.

p1²= p3²= 0, dostaniemy

−2p¹· p³+ 2p1· p²− 2p³· p²= 0, a po prostych przekształceniach otrzymamy

p1· p²− p³· p² = p1· p³.

Przekształćmy lewą stronę równania

[(p¹− p³) + p²]² = (p¹− p³)²+ 2 (p¹− p³) · p²+ p²2

= p1²− 2p¹· p³+ p3²+ 2p¹· p²− 2p³· p²+ p²2 =m_e²c². Uwzgędniając relacjęp²2 = m²_ec² i bezmasowość fotonu, tzn.

p1²= p3²= 0, dostaniemy

−2p¹· p³+ 2p1· p²− 2p³· p²= 0, a po prostych przekształceniach otrzymamy

p1· p²− p³· p² = p1· p³.

p1 = (|~p¹| , 0, 0, |~p¹|) = ~ω0

c (1, 0, 0, 1) , p2 = (m_ec, 0, 0, 0) , a czteropędy cząstek końcowych wyrażają się wzorami

p3 = ~ω c

1, ˆk^= ~ω

c (1, sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) , p4=

E4

c , ~p4

 .

Czteropędy cząstek początkowych mają postać p1 = (|~p¹| , 0, 0, |~p¹|) = ~ω0

c (1, 0, 0, 1) , p2 = (m_ec, 0, 0, 0) , a czteropędy cząstek końcowych wyrażają się wzorami

p3 = ~ω c

1, ˆk^= ~ω

c (1, sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) , p4=

E4

c , ~p4

 .

Skąd, wykorzystując wzóra· b = a⁰b⁰− ~a · ~b,otrzymamy

p1· p²− p³· p² = ~(ω⁰− ω)

c m_ec =~m_e(ω⁰− ω) p1· p³ = ~²ω⁰ω

c² (1 − cos θ) .