Cwiczenia nr 12, GAL I.2, 19.5.2020 Przestrzenie afiniczne I
Zadanie 1. Znajdź kombinację afiniczną punktów (1, 1, 0), (1, 0, 2), (1, 2, −1) z wagami 2, −3, 2.
Zadanie 2. Rozważamy E(Rn). Czy (1, 2, . . . , n) ∈ af{(1, 0, 0, . . . , 0), (1, 1, 0, . . . , 0), . . . , (1, 1, . . . , 1)}?
Zadanie 3. Niech k1, k2, k3, k4 będą prostymi na E(R2) takimi, że k1 k k2 i k3 k k4 oraz {p} = k1 ∩ k3, {q} = k1 ∩ k4, {r} = k4 ∩ k2, s = k2 ∩ k4. Przedstaw s jako kombinację afiniczną punktów p, q, r.
Zadanie 4. Rozważamy trójkąt o wierzchołkach m1, m2, m3. Udowodnij, że środkowe przeci- nają się w jednym punkcie będącym środkiem ciężkości punktów m1, m2, m3 (z wagami 1/3).
Zadanie 5. [Twierdzenie Cevy.] Na bokach m1m2, m2m3, m3m1 trójkąta 4(m1, m2, m3) za- znaczamy punkty n3, n1, n2 tak, że punkty te dzielą boki trójkąta w stosunkach a : b, c : d i e : f , odpowiednio. Udowodnij, że proste mini, gdzie i = 1, 2, 3, przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy b·d·fa·c·e = 1.
Zadanie 6. Opisz za pomocą równań liniowych podprzestrzeń
H = af{(1, 0, 1), (−2, 1, 0), (2, 0, 3), (0, 1, 4)}.
Zadanie 7. Przedstaw w postaci H = p+V podprzestrzeń afiniczną af{(1, 2, 1), (0, 1, 1), (−1, 0, 1)}.
Zadanie 8. Przedstaw w postaci H = af{. . .} przestrzeń afiniczną (1, 0, 1)+lin{(1, 1, 0), (0, 1, 1)}.
Zadanie 9. Niech p1 będzie kombinacją afiniczną punktów p2, . . . , pnz wagami różnymi od ze- ra. Udowodnij, że pijest kombinacją afiniczną pozostałych punktów p1, . . . , pi−1, pi+1, . . . , pn.
Zadanie 10. Znajdź równanie płaszczyzny π ⊂ R3 przechodzącej przez punkt A = (1, 3, 1), do której równoległe są proste l1 : (2, 0, 0) + lin{(1, 2, 1)} i l2 : x2 = y−13 = z−2−3.
Zadanie 11. Niech
l1 = (3, 2, 1) + lin{(1, 0, 2)}, l2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y − 3z = 4, x + 3y − 6z = 2}.
Załóżmy, że prosta l ⊂ R3 przechodzi przez punkt (5, 2, 1) i przecina obie proste l1, l2. Opisz prostą l układem równań i wyznacz jej punkty przecięcia z prostymi l1, l2.
Zadanie 12. Niech p = (4, 5, 2, 7) ∈ Q4 oraz
l1 = af{(1, 1, 1, 1), (0, −1, 0, 1)}, l2 = af{(2, 2, 3, 1), (1, 2, 2, −2)}.
(a) Wyznacz prostą l ⊂ Q4zawierającą punkt p oraz przecinającą proste l1 i l2. Wyznacz punkty pzrecięcia prostej l z prostymi l1 i l2.
(b) Wyznacz taką prostą l, aby proste l, l1 były skośne oraz aby nie istniała prosta zawierająca punkt p i przecinająca obie proste l oraz l1.
Zadanie 13. Znajdź parametr t ∈ R taki, że punkt p = (3, 0, t, −1) jest kombinacją afiniczną punktów p1 = (1, 0, 1, 0), p2 = (2, 0, 1, 0), p3 = (1, −1, 0, 2), p4 = (1, 1, 1, 1).
Zadanie 14. Niech H ⊂ R4 będzie dwuwymiarowa podprzestrzenią w R4 opisaną układem równań
x1− 2x2+ x4 = 2, 2x1+ 2x2− x3− x4 = 0
natomiast l prostą o przedstawieniu parametrycznym (1, 1, 0, 0) + t(1, 0, 3, 4). Czy istnieje prosta, która przechodzi przez punkt p = (2, 1, 3, −1) i przecina zarówno płaszczyznę H jak i prostą l?
Zadanie 15. Dane są dwie płaszczyzny
H = (0, 1, 0, 0, 0)+lin{(1, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0)}, K = (1, 0, 0, 0, 1)+lin{(0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}
w euklidesowej przestrzeni afinicznej R5 ze standardowym iloczynem skalarnym. Wskazać prostą prostopadłą do obu płaszczyzn i mającą z nimi punkt wspólny. Czy prosta ta wyznaczona jest jednoznacznie?
Zadanie 16. Oblicz liczbę prostych l w przestrzeni afinicznej Kn i liczbę płaszczyzn w K2 i K3, gdzie K jest ciałem skończonym, p-elementowym.
2
