Zadanie 1 (1p.). Znajdź szerokość drzewową następujących grafów:

(1)

APT Algorytmika Problemów Trudnych: Zestaw 5 Semestr letni 2020/2021

Kraków 11 kwiecień 2021

Szerokość drzewowa. Grafy planarne.

Zadanie 1 (1p.). Znajdź szerokość drzewową następujących grafów:

(i) kliki dwudzielnej K

n,n

, (ii) cyklu C

_n

,

(iii) grafu zewnętrznie planarnego G.

Dla każdej z powyższych klas grafów wskaż dekompozycję drzewową świadczącą jej sze- rokość.

Zadanie 2 (1p.). Podaj przykład grafu o szerokości drzewowej 2, który nie jest zewnętrz- nie planarny.

Zadanie 3 (1p.). Posługując się grą w policjantów i złodzieja wykaż, że:

∗ szerokość drzewowa grafu zewnętrznie planarnego wynosi 2,

∗ szerokość drzewowa kratki n × n jest równa n.

Dla każdego z ograniczeń, dolnego i górnego, wskaż odpowiadajace im strategie dla Zło- dzieja i Policjantów, odpowiednio.

Zadanie 4 (1p.). Załóżmy, że graf G ma dekompozycję drzewową T

⁰

o szerokości równej k. Wykaż, że istnieje ukorzeniona (z korzeniem w liściu) dekompozycja drzewowa T = (T, {X

_t

: t ∈ V (T )}) grafu G szerokości k posiadająca O(kn) węzłów, w której każdy liść jest singletonem oraz każdy węzeł X

t

na ścieżce od korzenia do liścia jest:

∗ albo węzłem wprowadzającym wierzchołek v, tzn. X

_t

ma jedno dziecko X

t⁰

takie, że v / ∈ X

_t⁰

oraz X

_t

= X

_t⁰

∪ {v},

∗ albo węzłem zapominającym wierzchołek v, tzn. X

_t

ma jedno dziecko X

_t⁰

takie, że v / ∈ X

_t

oraz X

t

∪ {v} = X

_t⁰

,

∗ albo węzłem łączącym, tzn. X

_t

ma dwoje dzieci X

_t⁰

oraz X

_t⁰⁰

takie, że X

_t

= X

_t⁰

= X

_t⁰⁰

. Jak, w czasie wielomianowym od wielkości grafu G oraz wielkości T

⁰

, skonstruować taką dekompozycję?

Zadanie 5 (2p.). Wykaż, że graf, który nie ma cykli prostych dłuższych niż k, ma szero- kość drzewową co najwyżej k − 1.

Zadanie 6 (1p.). Wykaż, że jeżeli na wejściu znajdują się grafy o szerokości drzewowej co najwyżej k (dane wraz z ładną dekompozycją drzewową), to w czasie 2

^O(k)

n możemy rozwiązać następujące problemy:

∗ testowania istnienia 3-kolorowania,

∗ obliczania ważonego maksymalnego zbioru niezależnego.

Zadanie 7 (2p.). Wykaż, że jeżeli na wejściu znajdują się grafy o szerokości drzewowej co najwyżej k (dane wraz z ładną dekompozycją drzewową), to w czasie 2

^O(k)

Zadanie 1 (1p.). Znajdź szerokość drzewową następujących grafów:

APT Algorytmika Problemów Trudnych: Zestaw 5 Semestr letni 2020/2021

Kraków 11 kwiecień 2021

Szerokość drzewowa. Grafy planarne.

Zadanie 1 (1p.). Znajdź szerokość drzewową następujących grafów:

(i) kliki dwudzielnej K

, (ii) cyklu C

,

(iii) grafu zewnętrznie planarnego G.

Dla każdej z powyższych klas grafów wskaż dekompozycję drzewową świadczącą jej sze- rokość.

Zadanie 2 (1p.). Podaj przykład grafu o szerokości drzewowej 2, który nie jest zewnętrz- nie planarny.

Zadanie 3 (1p.). Posługując się grą w policjantów i złodzieja wykaż, że:

∗ szerokość drzewowa grafu zewnętrznie planarnego wynosi 2,

∗ szerokość drzewowa kratki n × n jest równa n.

Dla każdego z ograniczeń, dolnego i górnego, wskaż odpowiadajace im strategie dla Zło- dzieja i Policjantów, odpowiednio.

Zadanie 4 (1p.). Załóżmy, że graf G ma dekompozycję drzewową T

o szerokości równej k. Wykaż, że istnieje ukorzeniona (z korzeniem w liściu) dekompozycja drzewowa T = (T, {X

: t ∈ V (T )}) grafu G szerokości k posiadająca O(kn) węzłów, w której każdy liść jest singletonem oraz każdy węzeł X

na ścieżce od korzenia do liścia jest:

∗ albo węzłem wprowadzającym wierzchołek v, tzn. X

ma jedno dziecko X

takie, że v / ∈ X

oraz X

= X

∪ {v},

∗ albo węzłem zapominającym wierzchołek v, tzn. X

ma jedno dziecko X

takie, że v / ∈ X

oraz X

∪ {v} = X

,

∗ albo węzłem łączącym, tzn. X

ma dwoje dzieci X

oraz X

takie, że X

= X

= X

. Jak, w czasie wielomianowym od wielkości grafu G oraz wielkości T

, skonstruować taką dekompozycję?

Zadanie 5 (2p.). Wykaż, że graf, który nie ma cykli prostych dłuższych niż k, ma szero- kość drzewową co najwyżej k − 1.

Zadanie 6 (1p.). Wykaż, że jeżeli na wejściu znajdują się grafy o szerokości drzewowej co najwyżej k (dane wraz z ładną dekompozycją drzewową), to w czasie 2

n możemy rozwiązać następujące problemy:

∗ testowania istnienia 3-kolorowania,

∗ obliczania ważonego maksymalnego zbioru niezależnego.

Zadanie 7 (2p.). Wykaż, że jeżeli na wejściu znajdują się grafy o szerokości drzewowej co najwyżej k (dane wraz z ładną dekompozycją drzewową), to w czasie 2

n możemy rozwiązać problem znajdowania minimalnego zbioru dominującego.

Strona 1/1