DYSKRETNA TRANSFORMATA FOURIERA OKNA CZASOWEGO SKONSTRUOWANEGO ZA POMOCĄ FUNKCJI GAMMA

W ładysław ZA PA ŁA Politechnika Śląska, G liw ice

DYSKRETNA TRANSFORMATA FOURIERA OKNA CZASOWEGO SKONSTRUOWANEGO ZA POMOCĄ FUNKCJI GAMMA

Streszczenie. W referacie przedstaw iono dyskretne okno czasow e bez listków bocznych w dziedzinie częstotliw ości. O kno skonstruow ano za po m o cą funkcji gam ma. W yznaczono dyskretną transform atę Fouriera dla tego okna czasow ego, a następnie przedstaw iono jego charakterystyki częstotliw ościow e.

DISCRETE FOURIER TRANSFORMATION OF THE TIME WINDOW CONSTRUCTED BASING ON GAMMA FUNCTION

Sum m ary. Discrete tim e w indow w ithout side lobes in frequency dom ain has been presented in the paper. The w indow has been constructed basing on gam m a function. Discrete Fourier transform ation o f this w indow has been determ ined and next its frequency characteristics have been presented.

1. Wprowadzenie

O kna czasow e prezentow ane w literaturze skonstruow ane są w następujący sposób:

w (t) = f ( t ) • R (t)

gdzie: w(t) - okno czasowe, f(t) - funkcja czasu, R(t) - okno prostokątne.

(1)

O kno prostokątne m a postać:

534 W. Zapała

Funkcja czasu f(t) spełnia w arunki:

f(t) =

1 dla t = O O < y < 1 dla |t| < t y # 0 dla Itl>t

(3)

1 dla t = 0

0 < y < 1 dla |t| < x

(4)

0 dla |t| > x

P om nożenie funkcji czasu f(t) przez okno prostokątne R(t) zapew nia, że okno czasow e w (t) spełnia podstaw ow e zależności:

w (t) =

K ażde okno czasow e w (t) skonstm ow ane w edług tego schem atu nie je s t ciąg łą fu nkcją czasu. A zatem , każde okno skonstm ow ane w przedstaw iony pow yżej sposób m a w dziedzinie częstotliw ości zarów no listek głów ny, ja k rów nież listki boczne.

O kno czasow e przedstaw ione w referacie zostało skonstm ow ane w zupełnie inny sposób, poniew aż okno je s t zbudow ane za p o m o c ą funkcji czasu, która nie je s t m nożona przez okno prostokątne. T aka k onstm kcja je s t m ożliw a w czasie dyskretnym , ja k to zostało w yjaśnione w dalszej części referatu.

2. Objaśnienie konstrukcji okna czasowego

R ozpatrzm y n astęp u jącą funkcję czasu ciągłego:

gdzie: T (x ) - funkcja gam m a zm iennej x, t - czas ciągły, -oo < t < + co,

i - param etr, który w ystępuje w definicji okna prostokątnego (rów nanie (2)),

T - okres próbkow ania, funkcja f(t) będzie próbkow ana za pom ocą tego odstępu czasow ego.

Przyjm ując założenie, że — = k , funkcja (5) m oże być zapisana w rów now ażnej postaci:T

f (t) = r(k + i)-r (k + i) ( k + i ) + —

•r

k=0, 1 ,2 ,. . (

6

Funkcja czasu ciągłego przedstaw iona pow yżej przyjm uje następujące w artości:

gdy k = 0

f ( t ) =

1

. 1f TTt^l sin

i r J r i + - - r i

7 lt

T

( - l) k • r ( k +1) • r ( k +1) - sin

(

7tt T

---1

T ^{- + i}

gdy k >1

W czasie dyskretnym (np. kiedy = n ) w artości tej funkcji m ogą być obliczone zgodnie ze w zorem :

f ( n T ) = lim f ( t)

t-» n T

W ynik końcow y uzyskany przez autora je s t następujący:

k! k!

n = 0, ± 1 ,..., ± k f(n T ) = -j (k + n)! ( k - n ) !

0 n = ± (k + l), ± ( k + 2),.

(8⁾

(9)

Tak więc, w czasie dyskretnym , okno czasow e m oże być przedstaw ione w postaci:

w (n T ) = f(n T ) (10)

tzn. bez m nożenia funkcji f(nT) przez okno prostokątne.

W dalszych rozdziałach referatu zostało udow odnione, że dyskretne okno czasowe skonstruow ane w przedstaw iony pow yżej sposób nie m a listków bocznych w dziedzinie częstotliw ości.

3. Równania opisujące dyskretne okno czasowe

R ów nania opisujące dyskretne okno czasow e z a le żą od przedziału czasu, w którym okno je st zdefiniow ane.

536 W. Zapała

3.1. Pierw sza postać okna czasow ego

W tym przypadku dyskretne okno czasow e w (nN) m a następującą postać w dziedzinie

N - U . Z z ł , r Z ± I . r [ N + 1

czasu:

‘ - ' - - ' (11)

n!-(N —n —1)1 T (n + 1) • T (N - n) gdzie: N - liczba naturalna, N = l, 2, 3 , . . . ,

n - liczba całkow ita, n=0, ±1, ± 2 , . . . .

N astępujące zależności są spełnione bez jakiegokolw iek dodatkow ego w arunku nałożonego na d y sk retn ą funkcję czasu

0 < w i,N) <1 dla 0 < n < N -1 (12)

w (nN )= 0 dla n < 0 lub n > N (13)

K orzystając z rów nań (11), (12) i (13), m ożna obliczyć dysk retn ą transform atę F ouriera p rezentow anego okna czasow ego w sposób, ja k następuje:

w ‘N> (jm T )= X w ńN )' e ' JnmT= r |

N + l ł j N + l j Ł 1 e~jmoT

■n 2 J ^ or(n + l ) - r ( N - n )

Z

V5t-rl

N

cos( ooT) 2

N - l j( N - l) to T

• e 2 (14)

3.2. D ruga postać okna czasow ego

G dy długość N okna czasow ego je s t lic zb ą nieparzystą, tzn. N = 2k+1, w ted y okno czasow e m oże być przedstaw ione w postaci:

,( 2 k + l) _ _ k! k! r(k +1) ■ r(k + 1) (k + n)! ( k - n ) ! T (k + n + 1) • T (k - n + 1)

(15)

gdzie: k je s t n ieujem ną liczb ą całkow itą, k=0, 1, 2, ... , oraz n je s t liczb ą całkow itą, n=0, ± 1,

± 2 , . . . , .

W tedy następujące zależności są praw dziw e bez jakiegokolw iek dodatkowego w arunku

0 < w l 2k+1) <1 dla |n| < k (16)

w<2k+1) = 0 dla Inl > k (17)

D yskretna transform ata F ouriera tego okna czasow ego je s t przedstaw iona za p om ocą wzoru

w n2k+1>(jnjT ) = ¿ w (n2k+1) ■e-jnroT = r ( k + l ) T ( k + l)- £

-jn to T

T (k + n + 1) ■ f ( k - n +1)

Vzt • r ( k + 1)

r

cos(— )

n k +

(18)

3.3. Trzecia postać okna czasow ego

K iedy długość N dyskretnego okna czasow ego je s t liczbą parzystą, tzn. N=2k, w tedy okno czasow e m oże być przedstaw ione w postaci:

w l2k>=-

k4 ) H ) rk4 ) rk4

(k + n - l ) ! - ( k - n ) ! r ( k + n ) - r ( k - n + l)

gdzie: k je st w tedy lic zb ą naturalną, k = l, 2, 3, ... , oraz n jest, ja k poprzednio, liczbą całkow itą, n=0, ± 1, ± 2 , . . . , .

N astępujące zależności są w ów czas spełnione bez jakiegokolw iek dodatkow ego warunku nałożonego na dyskretną funkcję czasu

0 < w ^ 2k) <1 d l a - k + l < n < k (

20

538 W. Zapała

= O d la n < -k + l lu b n > k (21) D yskretna transform ata F ouriera tej postaci okna czasow ego je s t w yrażona w zorem :

4. Charakterystyki częstotliwościowe okna czasowego

Funkcje opisane rów naniam i (14), (18) i (22) s ą funkcjam i okresow ym i zm iennej tnT o okresie rów nym 271. A zatem , poniżej zo stan ą przedstaw ione charakterystyki częstotliw ościow e w głów nym przedziale - n < tnT < + ji . C harakterystyka am plitudow a je s t następująca:

Z rów nania (23) w ynika, że przedstaw ione dyskretne okno czasow e nie m a listków bocznych w dziedzinie częstotliw ości.

C harakterystyka fazow a m a postać:

r(k + n ) - r ( k - n + l)

e -jn m T

(22⁾

(23)

(pJ,N>(tnT) = - - ^ —y ~ - dla - tt < tnT < +7t (24)

Z rów nania (24) w ynika, że charakterystyka fazow a je s t praw dziw ie lin io w ą charakterystyką fazową.

C harakterystyka tłum ienia:

|wnN)(jnjT)|

Y<N>(tnT) = 20 log10[ L _ _ l ] = 20 ■ (N - 1 ) ■ lo g I0

Y^N) (roT = ±7i) = -co R ysunek 1 przedstaw ia w ykres funkcji

2 dla -7t<t¡5T < + tt (25)

(26)

f(tu T ) = lo g |l coT

cos(— ) dla -3.1 < tnT < +3.1 (27)

A by obliczyć Y^N)(raT ), skala osi pionow ej tego w ykresu pow inna być pomnożona przez 20(N-1). N a przykład, je że li długość okna czasow ego je st rów na N =51, to w tedy skala je s t m nożona przez 1000.

Rys. 1. Wykres funkcji opisanej równaniem (27)

Fig. 1. T he ch art o f the function described b y equation (27)

5. Dolnoprzepustowy filtr cyfrowy skojarzony z dyskretnym oknem czasowym

N iech w (t) będzie oknem czasow ym , a w (z) oznacza transform atę Z tego okna czasowego. W tedy m ożna łatw o obliczyć dolnoprzepustow y filtr cyfrow y o transm itancji K (z) skojarzony z w (z) w następujący sposób:

K (z) = w (z ) w (z = 1)

(28)

540 W. Zapała

W celu w yznaczenia transform aty Z dla okna czasow ego przedstaw ionego w referacie najpierw oblicza się sumę:

r N - i w - i

N - l N - l ^ N ^

Sn = I » « » = X

, J l J

n o n=o n l - ( N - n - l ) !

N - l ^{N - l} 1

■ E -nt S n ! - ( N - n - l ) !

(29)

1 -s/tt

ntS n ! - ( N - n - l ) ! f N - 1 , N - 2 ,, (30)

N - 2 (31)

W następnym kroku dyskretne okno czasow e zostaje przedstaw ione w rów now ażnej postaci:

w^{( N ) _}

N - n i N z i h

2 1 1 ( 2

■ = V [ — •-

n!-(N —n - l ) ! " n l - ( N - n - l ) !

i biorąc pod uw agę następ u jącą zależność, która je s t praw dziw a dla dow olnej liczby naturalnej N

N - l \ N - 2

^ n!-(N — n —1)! 2 N

N - l

(33)

gdzie: N - l ( N - l ) !

• zgodnie z sym bolem N ew tona, n!-(N —n —1)!

ostatecznie dyskretne okno czasow e przyjm uje postać, która je s t dogodna dla obliczenia dyskretnej transform aty Z

<N) = J > N _

2 N~'

^ N - l x

(34)

D yskretna transform ata przedstaw ionego okna czasow ego je s t obliczana zgodnie z d efinicją tej transform acji

w<N>(z) = Z[w<N>] = £ w r . z - " = | ; w i 1N)- ^ =

n= 0 n=0

_ n

~N-1 ’ ¿L N - P

• z

n=0 V

> N - l (35)

wJ,N)( z ) :

N - l

^ l + z “1'

N - 2 (36)

„ ( N )

K (z) - (z)

Wr,N)(Z = 1)

1 + Z

\ N -1

(37)

T ak w ięc, został w yznaczony dobrze znany cyfrow y filtr w ygładzający. N ależy zwrócić uw agę, że schem at obliczeń przedstaw iony w tym rozdziale nie je st odwracalny. Nie je st m ożliw e obliczenie w^,N)(z) n a podstaw ie założenia, że transm itancja filtru K(z) je s t znana.

6. Podsumowanie

W referacie przedstaw ione zostało dyskretne okno czasowe. Okno zostało wyznaczone podczas prac na tem at m etod projektow ania filtrów cyfrow ych o praw dziw ie liniowej charakterystyce fazow ej i m etod dotyczących rekurencyjnych obliczeń cyfrow ych filtrów różniczkujących. Przedstaw ione okno czasow e m a jedynie listek głów ny i nie m a listków bocznych w dziedzinie częstotliw ości. A zatem , okno czasow e ma dobre własności i proponuje się stosow anie tego okna czasow ego do projektow ania filtrów cyfrowych za po m o cą m etody okienkow ania.

542 W. Zapała

LIT E R A T U R A

1. Fichtenholz G .M .: R achunek różniczkow y i całkow y. Państw ow e W ydaw nictw o N aukow e, W arszaw a 1999.

2. G erstenkom T., Ś rodka T.: K om binatoryka i rachunek praw dopodobieństw a. Państw ow e W ydaw nictw o N aukow e, W arszaw a 1974.

3. G raham R .L., K nuth D .E., Patashnik O.: M atem atyka konkretna. Państw ow e W ydaw nictw o N aukow e, W arszaw a 2002.

4. Jo u ry E.I.: P rzekształcenie Z i je g o zastosow ania. W ydaw nictw a N aukow o-Techniczne, W arszaw a 1970.

5. Lyons R.G.: W prow adzenie do cyfrow ego p rzetw arzania sygnałów . W ydaw nictw a K om unikacji i Ł ączności, W arszaw a 2000.

6. Z apała W .: D esigning m ethod o f true linear p hase filters. P roceedings o f the 7th IEEE International C onference on M ethods and M odels in A utom ation and R obotics, vol.2, pp.

1039-1044.P oland, M iędzyzdroje 28-31 A ugust 2001.

7. Z apała W .: Ideal digital differentiating filters. P roceedings o f the 8th IEEE International C onference on M ethods and M odels in A utom ation and R obotics, v o l.l, pp. 549-554.

IEEE C onference N um ber 8119. Poland, Szczecin 2-5 Septem ber 2002.

8. Z apała W .: R ecursive calculations o f digital differentiators. P roceedings o f the 9th IEEE International C onference on M ethods and M odels in A utom ation and R obotics, vol.2, pp. 1251-1256. IEEE C onference N um ber 8780. Poland, M iędzyzdroje 25-28 A ugust 2003.

9. Z apała W.: D iscrete tim e w indow and its frequency characteristics. Proceedings o f the 10th IEEE International C onference on M ethods and M odels in A utom ation and R obotics, v o l.l, p p .691-694. IEEE C onference N um ber 9195. Poland, M iędzyzdroje 30 A ugust -2 Septem ber 2004.

R ecenzent: Prof. dr hab. inż. R ościsław Buń

A bstract

D iscrete tim e w indow w ithout side lobes in frequency dom ain has been presented in the paper. T he w indow has been constructed basing on gam m a function. D iscrete Fourier transform ation o f this w indow has been determ ined and nex t its frequency characteristics have been presented.