Transformata Fouriera

Transformata Fouriera

zadania na zaliczenie

Zad. 1. Wyznacz widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe sygnału 1. f (t) = _a^t, 0 ¬ t < a,

2. f (t) = sin³t, 3. f (t) = {t},

Zad. 2. Udowodnij, że transformata Fouriera funkcji parzystej (nieparzystej) jest parzysta (nieparzysta).

Zad. 3. Udowodnij, że transformatą Fouriera funkcji parzystej jest tzw. transformata co- sinusowa zdefiniowana wzorem

fˆ_c(ξ) = 2

Z ∞ 0

f (x) cos 2πξx dx.

Zad. 4. Udowodnij, że transformatą Fouriera funkcji nieparzystej jest tzw. transformata sinusowa zdefiniowana wzorem

fˆ_s(ξ) = −2i

Z ∞ 0

f (x) sin 2πξx dx.

Zad. 5. Wyznacz transformatę Fouriera funkcji

f (x) = x1I_[−a,a](x)

i na podstawie wyznaczonego wzoru oblicz transformaty funkcji f₁(x) = x1I[⁻_2π^{1 ,}_2π¹ ](x), f₂(x) =

x π − 1

2π



1I_[0,1](x) oraz wyznacz transformaty tych transformat.

Zad. 6. Oblicz

1. ^R₀^∞ _(a2+t^2t)(b^{2 2}+t²)dt, 2. ^R₀^∞ _(1+x^dx2)².

Zad. 7. Niech f ∈ L¹(R¹), g(x) = e^2iπx. Oblicz f ∗ g.

Zad. 8. Niech u oznacza funkcję Heaviside’a. Oblicz u ∗ u.

Zad. 9. Wyznacz DFT ciągów

1. x_k= sin k, k = 0, 1, . . . , N − 1, 1

2. x_k= e^k, k = 0, 1, . . . , N − 1.

3. x_k= 2k + 3, k = 0, 1, . . . , N − 1.

Zad. 10. Niech (x_k) i (y_k) będą dwoma ciągami zespolonymi okresowymi, o okresie N , spełniającymi warunki:

∀_k∈Z x_{N −k} = x_k i y_{N −k}= y_k.

Udowodnij, że DFT (X_n) i (Y_n) są rzeczywiste i można je wyznaczyć jako pojedynczą transformatę rzędu N .

2