LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

16 kwietnia 2015

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Uzasadnij, »e liczba S jest podzielna przez 45, gdy S = 111 . . . 1

| {z }

2015cyfr

+ 222 . . . 2

| {z }

2015cyfr

+ 333 . . . 3

| {z }

2015cyfr

+ . . . + 999 . . . 9

| {z }

2015cyfr

.

ZADANIE 2.

Dany jest okr¡g o

o ±rodku S oraz okr¡g o

przechodz¡cy przez S, przecinaj¡cy okr¡g o

w punktach A i B. Z punktu A poprowadzono prost¡, przecinaj¡c¡ okr¡g o

w punkcie C, za±

okr¡g o

w punkcie D. Udowodnij, »e trójk¡t BCD jest równoramienny.

ZADANIE 3.

W kwadracie o boku o dªugo±ci 3 wybrano dowolnie dziesi¦¢ punktów. Wyka», »e w±ród tych punktów zawsze znajd¡ si¦ dwa, których odlegªo±¢ jest nie wi¦ksza ni» √

2 . ZADANIE 4.

Wyka», »e dla ka»dej liczby caªkowitej n liczba

(n

− 7n + 2016) jest caªkowita.

ZADANIE 5.

W klasie jest 30 uczniów. Siedz¡ oni w pi¦tnastu dwuosobowych ªawkach tak, »e poªowa dziewcz¡t siedzi z chªopcami. Rozstrzygnij, czy mo»na uczniów tej klasy tak posadzi¢, aby poªowa chªopców siedziaªa z dziewcz¦tami.

ZADANIE 6.

W okr¡g o wpisany jest taki pi¦ciok¡t ABCDE, »e |AE| = |BC| = |CD|. Proste AB i DE przecinaj¡ si¦ w punkcie F . Udowodnij, »e ±rodek okr¦gu opisanego na trójk¡cie BDF le»y na okr¦gu o.

ZADANIE 7.

Rozwi¡» ukªad równa«



 

 

x −

= 0

y −

= 0

z −

= 0.