LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

25 kwietnia 2016

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Wyka», »e suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie mo»e by¢ kwadratem liczby naturalnej.

ZADANIE 2.

Funkcja f : R → R speªnia warunki:

a) f (x + y) = f (x) + f (y) dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y;

b) f (1) = 1 . Wyznacz f

. ZADANIE 3.

Dany jest czworok¡t wypukªy ABCD. Punkty K i L le»¡ odpowiednio na odcinkach AB i AD, przy czym czworok¡t AKCL jest równolegªobokiem. Odcinki KD i BL przecinaj¡ si¦

w punkcie M. Wyka», »e pola czworok¡tów AKML i BCDM s¡ równe.

ZADANIE 4.

Znajd¹ wszystkie liczby pierwsze p o tej wªasno±ci, »e liczba 19p + 1 jest sze±cianem pewnej liczby caªkowitej.

ZADANIE 5.

Wyka», »e dla ka»dej liczby naturalnej n liczba 4444 . . . 4

| {z }

7ncyfr 4

7777 . . . 7

| {z }

ncyfr 7

4444 . . . 4

| {z }

7ncyfr 4

+ 2016 jest zªo»ona.

ZADANIE 6.

Dany jest trójk¡t ostrok¡tny ABC oraz jego wysoko±ci AD i BE. Punkty P i Q s¡ rzutami prostok¡tnymi odpowiednio punktów A i B na prost¡ DE. Wyka», »e |P E| = |QD|.

ZADANIE 7.

Rozwi¡» ukªad równa«



 

 

 

 



 

 

 

 



x

− 3x

+ 4 = x

x

− 3x

+ 4 = x

x

− 3x

+ 4 = x

. . .

x

− 3x

+ 4 = x

x

− 3x

+ 4 = x

.