LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ 20 kwietnia 2021

SZKOŠA PONADPODSTAWOWA

ZADANIE 1.

Wyka», »e spo±ród dowolnych siedmiu liczb naturalnych mo»na wybra¢ dwie liczby a, b takie,

»e ró»nica a

− b

jest podzielna przez 10.

ZADANIE 2.

W zbiorze liczb rzeczywistych rozwi¡» ukªad równa«

( x

+ x(y − 4) = −2 y

+ y(x − 4) = −2.

ZADANIE 3.

a , b, c, d, e s¡ to liczby 7, 8, 9, 10, 11, ale ustawione w innej, przypadkowej kolejno±ci. Wyka»,

»e iloczyn (a − 1)(b − 2)(c − 3)(d − 4)(e − 5) jest liczb¡ parzyst¡.

ZADANIE 4.

W wycinek koªa o promieniu R wpisano okr¡g o promieniu r. Ci¦ciwa ª¡cz¡ca ko«ce promieni wycinka koªa ma dªugo±¢ 2a. Wyka», »e

=

+

.

ZADANIE 5.

Przyprostok¡tne trójk¡ta prostok¡tnego maj¡ dªugo±ci a, b. Wyznacz dªugo±¢ odcinka wyci¦tego z dwusiecznej k¡ta prostego przez przeciwprostok¡tn¡.

ZADANIE 6.

Adam u»yª dwukrotnie ka»dej z cyfr 1, 2, 3, . . . , 9 i utworzyª kilka parami ró»nych liczb pierw- szych w taki sposób, »e suma tych liczb jest mo»liwie najmniejsza. Oblicz t¦ sum¦.

ZADANIE 7.

Funkcja f : R → R speªnia warunek

2f (x) + 3f

= 5x

dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x. Oblicz f(6).