LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ

15 kwietnia 2014

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Wyka», »e je»eli a, b, c, d s¡ liczbami nieparzystymi, to nie istnieje taka liczba caªkowita x, aby speªniona byªa równo±¢

x

+ ax

+ bx

+ cx + d = 0.

ZADANIE 2.

Rozwi¡» ukªad równa«

( x

+ 2y

− 2yz = 100 2xy − z

= 100.

ZADANIE 3.

Wyznacz wszystkie funkcje f : R \ {0} → R speªniaj¡ce równanie 2f (x) + 3f

= x

dla ka»dej liczby rzeczywistej x ró»nej od 0.

ZADANIE 4.

Wysoko±¢ i ±rodkowa poprowadzone z jednego wierzchoªka trójk¡ta tworz¡ z bokami tego trój- k¡ta jednakowe k¡ty. ‘rodkowa ma dªugo±¢ a. Oblicz promie« okr¦gu opisanego na tym trój- k¡cie.

ZADANIE 5.

Na okr¦gu wybrano 2015 punktów, z których 2014 pokolorowano na biaªo oraz jeden na czer- wono. Których wielok¡tów o wierzchoªkach w tych punktach jest wi¦cej: wielok¡tów o biaªych wierzchoªkach czy wielok¡tów z jednym wierzchoªkiem czerwonym?

ZADANIE 6.

Czy istnieje liczba naturalna n taka, »e w zapisie dziesi¦tnym liczby 2

ka»da z cyfr 0, 1, 2, . . . , 9 wyst¦puje 1000 razy?

ZADANIE 7.

Prosta przechodz¡ca przez ±rodki przek¡tnych AC i BD czworok¡ta ABCD przecina boki AD

i BC w punktach, odpowiednio, M i N. Wyka», »e trójk¡ty AND i BCM maj¡ równe pola.