LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

STYCZE‹ 2016

SZKOŠA PONADGIMNAZJALNA

ZADANIE 1.

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD oraz taki punkt E le»¡cy wewn¡trz trapezu,

»e k¡ty ^AED i ^BEC s¡ proste. Punkt S jest punktem przeci¦cia przek¡tnych trapezu.

Wyka», »e je»eli E 6= S, to prosta ES jest prostopadªa do podstaw trapezu.

ZADANIE 2.

Wyka», »e

3

r

120 +

q

120 + √

120 + . . . jest liczb¡ naturaln¡.

ZADANIE 3.

Rozstrzygnij, czy istnieje czworo±cian, w którym ±rodki okr¦gów opisanych na ±cianach le»¡

na jednej pªaszczy¹nie.

ZADANIE 4.

Liczby 1, 2, 3, 4, . . . , 32, 33 umieszczono w wierzchoªkach 33-k¡ta foremnego, a nast¦pnie na

±rodku ka»dego jego boku zapisano sum¦ liczb stoj¡cych na jego ko«cach. Czy istnieje takie rozstawienie tych liczb w wierzchoªkach wielok¡ta, aby wszystkie liczby zapisane na ±rodkach jego boków byªy liczbami podzielnymi przez 4?

ZADANIE 5.

Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R speªniaj¡ce warunek

f (x + y) − f (x − y) = 4xy

dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y.