AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2009/10 MATEMATYKA - ETAP I
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Na p´o lsferze o promieniu R le˙zaιdwa styczne do siebie okreιgi o promie- niu r. Wyznacz najwieιkszaιodleg lo´s´c mieιdzy dwoma punktami nale˙zaι- cymi do tych okreιg´ow.
2. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
√x2+ 2x + 1 − 2x > 0.
3. Kran A nape lnia basen wodaι w ciaιgu 10 godzin, a kran B w ciaιgu 15 godzin. W ciaιgu ilu godzin nape lniony zostanie basen, je˙zeli oba krany beιdaι dzia la´c jednocze´snie?
4. Znajd´z wszystkie rozwiaιzania r´ownania 4 cos 2x sin 2x + 1 = 0 nale˙zaιce do przedzia lu (−π; π).
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW 5. Wyznacz zbiory A ∩ B oraz A \ B, gdzie
A = {x ∈ IR : x4+ x3 − 3x2− x + 2 ≥ 0}, B = {x ∈ IR : log0,5(x + 3) ≥ log0,5(6 − 2x)}.
6. Oblicz pole tr´ojkaιta, majaιc dane dwie proste 4x + 5y + 17 = 0 i x − 3y = 0, zawierajaιce ´srodkowe tr´ojkaιta, oraz jeden jego wierz- cho lek A = (−1, −6).
7. Ile jest r´owna´n postaci
x2− px + q = 0,
kt´ore majaι dwa pierwiastki mniejsze od 7, przy czym liczby p i q saι ca lkowite i dodatnie.
