Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
IV rok matematyki, specjalno´s´c zastosowania rach. probab. i statystyki r.a. 2010/2011, Lista nr 4
1. Udowodni´c naste
‘puja
‘ce twierdzenia o estymatorach minimaksowych:
(a) Je˙zeli δ0 jest bayesowska
‘ regu la
‘ decyzyjna
‘ wzgle
‘dem rozk ladu a priori τ0 i R∗(θ, δ0) ≤ r(τ0, δ0) dla ka˙zdego θ ∈ Θ, to istnieje warto´s´c gry, δ0 jest regu la‘minimaksowa‘, a τ0 jest rozk ladem najmniej korzystnym.
(b) Je˙zeli δn jest bayesowska
‘ regu la
‘ decyzyjna
‘ wzgle
‘dem rozk ladu a priori τn, n ≥ 1, i limn→∞r(τn, δn) = c < ∞ oraz istnieje regu la decyzyjna δ0, dla kt´orej R∗(θ, δ0) ≤ c dla ka˙zdego θ ∈ Θ, to istnieje warto´s´c gry i δ0 jest regu la
‘minimaksowa
‘. (c) Je˙zeli δ0 jest rozszerzona
‘regu la
‘bayesowska
‘oraz R∗(θ, δ0) = c dla ka˙zdego θ ∈ Θ, to δ0 jest regu la
‘minimaksowa
‘.
(d) Je˙zeli δ0 jest minimaksowa
‘regu la
‘decyzyjna
‘, wyznaczona
‘jednoznacznie, to δ0 jest regu la dopuszczalna ‘
‘.
(e) Je˙zeli regu la decyzyjna δ0 jest dopuszczalna i ma sta le ryzyko na zbiorze Θ, to δ0 jest regu la‘ minimaksowa
‘.
2. Udowodni´c naste
‘puja
‘ce twierdzenie Girshicka i Savage’a:
Je˙zeli statystyka T ma rozk lad prawdopodobie´nstwa o ge
‘sto´sci wzgle
‘dem σ-sko´nczonej miary µ postaci
f (t; θ) = C(θ)eθth(t), θ ∈ Θ = R,
oraz γ(θ) = Eθ(T ), to T jest estymatorem dopuszczalnym i minimaksowym funkcji γ(θ), przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja straty ma posta´c L(θ, a) = [γ(θ) − a]2/[σ2(θ)], gdzie σ2(θ) = Varθ(T ).
(Wskaz´owka: zob. J.B. Wyk lady ze statystyki matematycznej, str. 169-170 i 203.) 3. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu normalnego N (m, 1), m ∈ R.
Udowodni´c, ˙ze ´srednia pr´obkowa X jest estymatorem minimaksowym i dopuszczalnym ´sredniej m przy kwadratowej funkcji straty.
4. Przypu´s´cmy, ˙ze zbi´or warto´sci estymowanej funkcji γ(θ) jest przedzia lem [a, b] i funkcja straty L(θ, a) ma naste
‘puja
‘ce w lasno´sci: jest dodatnia dla a 6= γ(θ); przyjmuje warto´s´c zero, gdy a = γ(θ); dla ka˙zdej ustalonej warto´sci θ ro´snie, gdy a oddala sie
‘ w kt´orymkolwiek kierunku od γ(θ). Udowodni´c, ˙ze wtedy ka˙zdy estymator, kt´ory z dodatnim prawdopodobie´nstwem przyjmuje warto´sci spoza przedzia lu [a, b], jest estymatorem niedopuszczalnym.
5. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu o cia
‘g lej dystrybuancie postaci Fθ(x) = F (x − θ), θ ∈ R, x ∈ R, gdzie F jest rozk ladem symetrycznym wzgle
‘dem zera. Wyz- naczy´c asymptotyczna
‘wzgle
‘dna
‘efektywno´s´c (ARE) mediany pr´obkowej ˜X wzgle
‘dem ´sredniej X dla naste
‘puja
‘cych rozk lad´ow F : a) logistycznego z ge
‘sto´scia
‘f (x) = e−x(1 + e−x)−2, b) Studenta z ν ≥ 3 stopniami swobody,
c) Laplace’a z ge‘sto´scia‘f (x) = 12exp−|x|,
d) F (x) = (1 − ε)Φ(x) + εΦ(x/τ ), ε ∈ [0, 1], τ > 0.
(Wskaz´owka: zob. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, str. 333.)
6. Udowodni´c, ˙ze dla rozk ladu F z jednomodalna
‘ge
‘sto´scia
‘f , symetryczna
‘wzgle
‘dem zera i spe lniaja
‘ca
‘warunek: f (x) ≤ f (0) dla wszystkich x, zachodzi nier´owno´s´c eX,X˜ (F ) ≥ 1
3, przy czym dolna granica jest osia
‘gnie
‘ta dla rozk ladu jednostajnego.
(Wskaz´owka: zob. E.L. Lehmann, Teoria estymacji punktowej, str. 337.) 7. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘ z rozk ladu normalnego N (m,σ2), m ∈ R, σ > 0. Estymatorem NW parametru σ jest statystyka
Sn= vu utXn
i=1
(Xi− X)2/n.
a) Udowodni´c, ˙ze statystyka Sn2 jest zgodnym asymptotycznie normalnym (CAN) estymatorem parametru σ2 i obliczy´c informacje
‘Fishera I(σ2).
b) Obliczy´c informacje
‘Fishera I(σ). Czy Snjest estymatorem CAN parametru σ?
c) W przypadku, gdy m jest znane, statystyka
ˆ
σ(X) = 1 n
rπ 2
Xn i=1
|Xi− m|
jest nieobcia
‘˙zonym estymatorem parametru σ. Obliczy´c jego ARE wzgle
‘dem estymatora Sn. 8. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu wyk ladniczego Ex(λ), λ > 0.
(a) Znale´z´c dolne ograniczenie Cram´era-Rao dla wariancji nieobcia
‘˙zonego estymatora funkcji niezawodno´sci R(t) = e−λt.
(b) Czy wariancja estymatora opartego na dystrybuancie empirycznej, ˆR(t) = 1 − Fn(t; X), osia‘ga to ograniczenie?
(c) Czy wariancja estymatora NJMW tej funkcji, okre´slonego wzorem
R(t; X) =ˆ
1 − t
T
n−1
1(t,∞)(T ),
gdzie T = Pn
i=1Xi (zob. J.B. Wyklady ze statystyki matematycznej, Wyd. II, str. 153), osia
‘ga to ograniczenie?
(d) Czy estymator NJMW jest estymatorem CAN?
(e) Estymatorem NW niezawodno´sci R(t) jest statystyka exp(−nt/T ). Czy jest to estymator CAN? Jaka jest jego asymptotyczna wariancja?
St10-lista-4.tex
6.1.2011 r. J. Bartoszewicz
