Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu gamma G(2, λ) o gęstości f (x

Egzamin ze Statystyki Matematycznej, styczeń 2010 Zadanie 1 Niech ˆθ : Rⁿ −→ [0, 1], ˆθ(x₁, . . . , x_n) = ⁿ⁻

Pn

i=11{m}(xi)

n będzie estymatorem parametru θ = 1 − p^m rozkładu dwumianowego B(m, p). Pokaż, że ryzyko średniokwa- dratowe tego estymatora w punkcie θ jest równe _n¹p^m(1 − p^m).

Zadanie 2a Niech X1, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu gamma G(2, λ) o gęstości

f (x) = λ²

Γ(2)xe^−λx1_(0,∞)(x), λ > 0.

Wyznacz estymator największej wiarogodności parametru λ i metodą momentów.

Zadanie 2b Niech X₁, . . . , X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie o gęstości

f_θ(x) = (1

θx^1/θ−1 dla 0 < x < 1;

0 w pozostałych przypadkach,

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wyznacz estymator parametru θ metodą naj- większej wiarogodności i metodą momentów.

Zadanie 3 Niech X1, X₂, . . . , X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Ra- ileigh’a o gęstości

fθ(x) =





 x

σ²e^−2σ2x2 dla x > 0

0 w przeciwnym przypadku,

gdzie σ > 0 jest nieznanym parametrem. Wiadomo, że E_σX_i = σp_π

2 oraz że k-ty moment w rozkładzie Raileigh’a wyraża się wzorem m_k = σ^k2^k/2Γ(1 + k/2). Dobierz stałą c tak, aby statystyka T = c ¯X była estymatorem nieobciążonym parametru σ i oblicz jego wariancję. Porównaj wariancję tego estymatora z kresem dolnym na wariancję estymatora nieobciążonego.

Wskazówka: Wykorzystaj nierówność informacyjną Craméra-Rao.

Zadanie 4 Jaka powinna być minimalna liczebność próby pochodzącej z rozkładu nor- malnego N (µ, σ²), gdzie σ > 0 jest znane, aby przedział ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie ufności 1 − α miał długość nie przekraczającą 2d, d > 0?

Zadanie 5 Niech X1, . . . , Xn będzie próbką losową z rozkładu wykładniczego E(λ).

Skonstruować test jednostajnie najmocniejszy na poziomie α do weryfikacji hipotezy H₀ : λ = λ₀ wobec hipotezy alternatywnej H₁ : λ = λ₁, gdzie λ₁ > λ₀.

Zadanie 6 Obserwujmy pojedynczą obserwację X z rozkładu F . Wiemy, że rozkład F jest albo rozkładem jednostajnym U [0, 1] albo rozkładem wykładniczym E (1).

Skonstruuj najmocniejszy test na poziomie istotności α = 0.05 do weryfikacji hipotezy zerowej H0 : X ∼ U [0, 1] przeciwko hipotezie alternatywnej H₁ : X ∼ E (1). Wyznacz obszar odrzucenia tego testu oraz oblicz jego moc.

Zadanie 7 Podejrzewa się, że preferencje polityczne obywateli pewnego kraju zależą od płci. W celu zweryfikowania tej hipotezy losowo wybrano 500 kobiet i 500 mężczyzn oraz zapytano ich o to czy preferują kandydata K1 czy kandydata K2 (nie można było wstrzymać się od głosu)

Wyniki ankiety były następujące:

Preferuje kandydata K1 Preferuje kandydata K2

Kobiety 225 275

Mężczyźni 275 225

Postaw hipotezę zerową i alternatywną do weryfikacji wyżej opisanego podejrzenia.

Wyznacz wartość statystyki testowej i podaj decyzję statystyka podjętą na poziomie istot- ności α = 0.05.