Zadania z matematyki dyskretnej (zestaw 11)
1. Proszę znaleźć zwartą postać sumy:
m
X
k=0
m k
n k
2. Proszę udowodnić tożsamość X
k
m − r + s k
n + r − s n − k
r + k m + n
=
r m
s n
, całkowite m, n ≥ 0.
Wskazówka: Podstawić
r + k m + n
= P
j
r
m + n − j
k j
3. Liczby n k
oznaczają ilość sposobów podziału zbioru n-elemntowego na k nie- pustych podzbiorów (podzbiorowe liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:
n k
= k n − 1 k
+ n − 1 k − 1
4. Liczby n k
oznaczają ilość sposobów rozmieszczenia n obiektów w k niepustych cyklach (cykliczne liczby Stirlinga). Proszę pokazać, że spełniają one następującą rekurencję:
n k
= (n − 1) n − 1 k
+ n − 1 k − 1
5. Proszę udowodnić, że (a)
x
n= X
k
n k
x
k, dla całkowitych n ≥ 0
(b)
x
n= X
k
n k
x
k, dla całkowitych n ≥ 0
Wskazówka: skorzystać z rekurencji dla liczb Stirlinga.
6. Proszę udowodnić, że (a)
x
n= X
k
n k
(−1)
n−kx
k, dla całkowitych n ≥ 0
(b)
x
n= X
k
