Wykłady z teorii ergodycznej

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Wykłady

z teorii ergodycznej

Janina Kotus

Spis tre´sci

0. Wstep_, 4

1. Pojecia podstawowe_, 6

2. Ergodyczno´s´c 8

2.1 R´ownowa˙zne definicje ergodyczno´sci 8

2.2 Zwiazek mi_, edzy ergodyczno´sci_, a przekszta lce´_, n a gesto´sci_, a orbit_, 11

3. Twierdzenia ergodyczne 12

3.1 Twierdzenia ergodyczne Birkhoffa 12

3.2 Twierdzenia ergodyczne von Neumanna 14

3.3 Maksymalne twierdzenie ergodyczne 15

3.4 Dow´od twierdzenia ergodycznego Birkhoffa 15

4. S labe i silne mieszanie 19

5. W lasno´sci spektralne przekszta lce´n zachowujacych miar_, e_, 20

5.1 Podstawowe w lasno´sci operatora U_T 20

5.2 Dzia lanie operatora U_T na przestrzeniach Hilberta 21 5.3 Dyskretne spektrum i przekszta lcenia ergodyczne 24 5.4 Ciag le spektrum i przekszta lcenia s labo mieszaj_, ace_, 26 5.5 Przeliczalne spektrum Lebesgue’a i przekszta lcenia silnie mieszajace_, 28 6. Entropia metryczna przekszta lce´n zachowujacych miar_, e_, 29

6.1 Rozbicia mierzalne 29

6.2 Entropia rozbicia 30

6.3 Entropia warunkowa rozbi´c 30

6.4 Entropia metryczna przekszta lce´n 31

7. W lasno´sci entropii metrycznej 34

7.1 Twierdzenie Shannona-McMillana-Breimana 34

7.2 Entropia-niezmiennik przekszta lce´n mierzalnych 35 8. Entropia topologiczna przekszta lce´n ciag lych_, 37

9. R´ownowa ˙zne definicje entropii topologicznej 41

10. I zasada wariacyjna 46

11. Formalizm termodynamiczny 49

12. II zasada wariacyjna 52

13. Literatura 57

Wstep_,

Prezentowany materia l stanowi wprowadzenie do teorii ergodycznej, wa˙znej i szybko rozwi- jajacej si_, e dziedziny wsp´_, o lczesnej matematyki. Jest adresowany do student´ow II stopnia stu- diujacych na kierunku Matematyka Przemys lowa, g l´_, ownie na specjalno´sci Mate-matyka w Naukch Technicznych. Do jego zrozumienia wymagana jest znajomo´s´c analizy funk- cjonalnej i rachunku prawdopodobie´nstwa (chodzi g l´ownie o dobra znajomo´s´_, c twierdze´n gra- nicznych). Jest potrzebny do wy lo˙zenia deterministycznej teorii chaosu- przedmiotu obowiazkowego na bloku MNT._,

Celem tego wyk ladu jest zapoznanie student´ow

• z twierdzeniami ergodycznymi i ich zastosowaniami. Poczatki twierdze´_, n ego- dycznych siegaja hipotezy Boltzmanna, znanego fizyka z prze lomu XIX i XX wieku,_, kt´ory zak ladal, ˙ze dla danej funkcji f mierzacej wielko´s´_, c fizyczna, ´srednie warto´sci funk-_, cji f wzgledem czasu s_, a zbie˙zne do ´sredniej warto´sci funkcji f po przestrzeni X. Cho´_, c hipoteza okaza la sie nieprawdziwa, stworzy la podstawy teorii, zwanej dzi´s teori_, a ergo-_, dyczna. To w la´snie twierdzenia ergodyczne pokazuj_, a kiedy i dlaczego zachodz_, a lub nie_, postulaty Boltzmanna. Na wyk ladzie zostana sformu lowane najwa˙zniejsze twierdzenia_, ergodyczne Birkhoffa i von Neumanna. Twierdzenia ergodyczne sa przeformu lowaniem_, twierdze´n granicznych znanych z rachunku prawdopodobie´nstwa i takiego w la´snie ujecia_, rachunku prawdopodobie´nstwa powinien nauczy´c sie student. Klasycznym przyk ladem_, zastosowania twierdzenia ergodycznego w uk ladach hamiltonowskich jest dow´od faktu, ˙ze miara Lebesgue’a jest niezmiennicza dla tych uk lad´ow. Przyk lady zastosowa´n tych twiedze´n w innych dziedzinach zostana dobrane w zale˙zno´sci od poziomu przygo-_, towania i stosownie do zainteresowa´n student´ow.

• z entropia metryczn_, a rozbi´_, c i przekszta lce´n mierzalnych. Pojecie entropii me-_, trycznej pochodzi od Ko lmogorowa i jest uog´olnieniem pojecia informacji. W trakcie_, wyk ladu prezentowane bed_, a r´_, o˙zne definicje entropii i zwiazki mi_, edzy nimi. Entropie_, mierza nieoznaczono´_, s´c uk ladu i sa wa˙znym narz_, edziem do badania chaotyczno´_, sci dy- namiki przekszta lce´n. Miedzy innymi podane b_, edzie twierdzenie Shannona-McMillana-_, Breimanna opisujace jak eksponencjalnie szybko malej_, a miary atom´_, ow kolejnych rozbi´c dla uk lad´ow o dodatniej entropii.

• z formalizmem termodynamicznym a zw laszca z pojeciem tzw. ci´_, snienia topo- logicznego. Jest to odpowiednik swobodnej energii w mechanice statystycznej. Dzi´s for- malizm termodynamiczny s lu˙zy miedzy innymi do szacowania wymiar´_, ow u lamkowych,

g l´ownie wymiaru Hausdorffa fraktali. Policzenie bezpo´srednio takiego wymiaru rzadko kiedy jest mo˙zliwe. Dla zbior´ow samopodobnych mo˙zna policzy´c wymiar Minkowskiego.

Jednak jak pokazuje geometria fraktalna wymiar Hausdorffa lepiej oddaje strukture_, fraktali ni˙z wymiar Minkowskieo. Ten bardzo wyrafinowany spos´ob liczenia wymia- ru zaproponawa l kilkana´scie lat temu fizyk - D. Ruelle. Jako przyk lad zastowania mo˙zna poda´c oszacowania wymiaru Hausdorffa dziwnych atraktor´ow wystepuj_, acych w_, r´ownaniach r´ozniczkowych czastkowych._,

• W za laczonym materiale om´_, owiono uk lady ergodyczne, s labo i silnie mieszajace. Wyk lad_, mo˙ze zosta´c rozbudowany o uk lady Ko lmogorowa i Bernoulliego, zagadnienie ist- nienia i konstrukcji miar niezmienniczych a zw laszcza miar niezmienniczych z mak- symalna entropi_, a. S_, a to miary dla kt´_, orych osiagane jest supremum w I zasadzie_, wariacyjnej opisanej w 10 rodziale. Mo˙zna tak˙ze om´owic miary Gibbsa, kt´ore re- alizuja supremum w II zasadzie wariacyjnej udowodnionej w 12 rodziale. Stany_, Gibbsa sa przedmiotem bada´_, n analizy multifraktalnej i jest to jedna z propozycji kon- tynuowania tego wyk ladu.

1 Pojecia podstawowe_,

Niech (X, B, m) oznacza przestrze´n probabilistyczna tzn. X jest zbiorem, B σ-algebr_, a_, podzbior´ow X a m : X → IR⁺ miara taka, ˙ze m(X) = 1._,

Definicja 1.1. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (X_{, 1}, B₁, m₁), (X₂, B₂, m₂).

Odwzorowanie T : X1 → X2 nazywamy mierzalnym je´sli dla ka˙zdego A ∈ B2 jego przeciwobraz T⁻¹(A) ∈ B₁.

Definicja 1.2. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (X_{, 1}, B₁, m₁), (X₂, B₂, m₂).

Mierzalne przekszta lcenie T : X1 → X2 zachowuje miare, je´_, sli ∀A ∈ B2

m₁(T⁻¹(A)) = m₂(A). (1.1)

Uwaga 1.3. Je´sli X₁ = X₂ to warunek (1.1) zapiszemy nastepuj_, aco_,

m(T⁻¹(A)) = m(A). (1.2)

Definicja 1.4. Dane sa dwie przestrzenie probabilistyczne (X_{, 1}, B₁, m₁), (X₂, B₂, m₂).

Przekszta lcenie T : X1 → X2 nazywamy izomorfizmem je´sli T jest bijekcja oraz T i T_, ⁻¹ zachowuja miar_, e w sensie Definicji 1.2._,

Definicja 1.5. Przestrzenie probabilistyczne (X₁, B₁, m₁), (X₂, B₂, m₂) nazywamy izomorficznymi je´sli istnieje przekszta lcenie T : X1 → X2, kt´ore jest izomorfizmem.

Przyk lad 1 Niech f : [0, 1] → [0, 1] bedzie przekszta lceniem zdefiniowanym wzorem_, f (x) = 2x|mod1.

Pokaza´c, ˙ze f zachowuje miare Lebesgue’a._,

Przyk lad 2 Zdefiniujemy przekszta lcenie Gaussa. Niech τ : [0, 1) → [0, 1), je´sli x = 0, to τ (x) = 0, je´sli x 6= 0 to τ (x) = {_x¹}, gdzie {¹_x} oznacza cze´s´_, c u lamkowa liczby_, ¹_x. Przekszta lcenie Gaussa definiuje rozwijanie liczb z przedzia lu [0, 1) w tzw. u lamki la´ncuchowe. Znale´z´c miare niezmiennicz_, a dla przekszta lcenie Gaussa._,

Dla prawie wszystkich przekszta lce´n zachowujacych miar_, e zachodzi nat_, epuj_, ace twierdzenie_, zwane Twierdzeniem Poincar´e o powracaniu.

Twierdzenie 1.6. Niech T : X → X bedzie zachowuj_, acym miar_, e przekszta lceniem prze-_, strzeni probabilistycznej (X, B, m). Je´sli E ∈ B oraz m(E) > 0, to prawie ka˙zdy punkt x ∈ E w sensie miary m powraca do zbioru E niesko´nczenie wiele razy.

Powy˙zsze twierdzenie mo˙zna sformu lowa´c nastepuj_, aco:_,

∃F ⊂ E taki, ˙ze m(F ) = m(E) i ∀x ∈ F ∃ ciag liczb naturalnych {n_, i}^∞_i=1 o w lasno´sciach n1 < n2 < n3. . . , Tⁿⁱ(x) ∈ F ∀ni.

Dow´od Niech

N ≥ 0, E_N :=

∞

[

n=N

T⁻ⁿ(E).

Wtedy T∞

N =0EN jest zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow nale˙zacych do X, kt´_, orych dodatnia p´o ltrajektoria powraca do zbioru E niesko´nczenie wiele razy. Niech

F = E ∩

∞

\

N =0

E_N.

Jest to zbi´or tych punkt´ow nale˙zacych do E, kt´_, ore powracaja do zbioru E niesko´_, nczenie wiele razy. Z definicji zbioru F wynika, ˙ze je´sli x ∈ F to istnieje ciag liczb naturalnych {n_, i}^∞_i=1 o w lasno´sciach

n₁ < n₂ < n₃. . . , Tⁿⁱ(x) ∈ E ∀n_i. Ponadto, dla ka˙zdego n_i mamy, ˙ze Tⁿⁱ(x) ∈ F , poniewa˙z

T^nj−ni(Tⁿⁱ(x)) ∈ E dla ∀n_j. Pozostaje udowodni´c, ˙ze m(F ) = m(E). Poniewa˙z

T⁻¹(E_N) ⊂ E_{N +1}

oraz T zachowuje miare, m(E_{, N}) = m(E_{N +1}). W konsekwencji m(E₀) = m(E_N) dla ∀N . Poniewa˙z

E₀ ⊃ E₁ ⊃ E₂ ⊃ . . . to

m(

∞

\

N =0

E_N) = m(E₀).

Wynika stad, ˙ze m(F ) = m(E ∩ E_{, 0}) = m(E), gdy˙z E ⊂ E₀

Uwaga 1.7. Twierdzenie Poincar´e o powracaniu nie zachodzi dla przestrzeni z niesko´nczona_, miara._,

Np. X = ZZ. Miare m zdefiniujemy nast_, epuj_, aco m(k) = 1 dla ∀k ∈ ZZ. Zatem m(ZZ) = ∞._, Niech T : ZZ → ZZ, T (x) = x + 1 oraz E = {0}. Wtedy E_N = S∞

n=NT⁻ⁿ({0}) ma miare_, niesko´nczona, za´s_, T∞

N =0E_N = ∅.

2 Ergodyczno´s´c

W tym rozdziale zak ladamy, ˙ze (X, B, m) jest przestrzenia probabilistyczn_, a, T : X → X_, przekszta lceniem zachowujacym miar_, e, tzn._,

∀A ∈ B m(T⁻¹(A)) = m(A).

Definicja 2.1. Przekszta lcenie T nazywamy ergodycznym je´sli ∀B ∈ B takiego,

˙ze m(T⁻¹(B)) = m(B) zachodzi:

m(B) = 0 lub m(B) = 1.

2.1 R´ownowa ˙zne definicje ergodyczno´sci

R´o˙znice symetryczn_, a zbior´_, ow definiujemy nastepuj_, aco_,

A ÷ B := (A − B) ∪ (B − A).

Twierdzenie 2.2. (X, B, m)-przestrze´n probabilistyczna, T : X → X przekszta lcenie zachowujace miar_, e. Wtedy nast_, epuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne.

i) T jest ergodyczne

ii) jedynymi zbiorami B ∈ B takimi, ˙ze m(T⁻¹(B)) ÷ B) = 0 sa takie zbiory dla kt´_, orych m(B) = 0 lub m(B) = 1.

iii) ∀B ∈ B takiego, ˙ze m(B) > 0 mamy, ˙ze m(

∞

[

n=1

T⁻ⁿ(B) = X

iv) ∀A, B ∈ B takich, ˙ze m(A) > 0, m(B) > 0 istnieje n ∈ IN takie, ˙ze m(T⁻ⁿ(A ∩ B) > 0.

Dow´od

(i)=⇒ (ii) nie bedziemy dowodzi´_, c. Przerobi´c na ´cwiczeniach.

(ii) =⇒ (iii). Niech A ∈ B oraz m(A) > 0. Zdefiniujemy A1 =

∞

[

n=1

T⁻ⁿ(A).

Zatem T⁻¹(A₁) ⊂ A₁. Poniewa˙z m(T⁻¹(A₁)) = m(A₁), to m(T⁻¹(A₁)) ÷ A₁) = 0. Z (ii) wiemy, ˙ze m(A1) = 0 lub m(A1) = 1. Przypadek m(A1) = 0 nie mo˙ze zachodzi´c, bo T⁻¹(A₁) ⊂ A₁ i m(T⁻¹(A₁)) = m(A₁) > 0. Zatem m(A₁) > 0.

(iii) =⇒ (iv) Niech m(A) > 0 i m(B) > 0. Z (iii) mamy, ˙ze m(

∞

[

n=1

T⁻ⁿ(A)) = 1, zatem

0 < m(B) = m B ∩

∞

[

n=1

T⁻ⁿ(A)

!

= m

∞

[

n=1

B ∩ T⁻ⁿ(A)

! . Stad_,

m B ∩ T⁻ⁿ(A)
> 0 dla pewnego n ≥ 1.

(iv) =⇒ (i) Niech B ∈ B i T⁻¹(B) = B. Je´sli 0 < m(B) < 1, to 0 = m(B ∩ (X − B)) = m(T⁻ⁿ(B) ∩ (X − B)) dla n ≥ 1 co przeczy (iv).

Oznaczenia

L¹(m) = L¹(X, B, m) = {f : X → CI ca lkowalne wzgledem miary m}_, L¹(X, B, m) jest przestrzenia Banacha z norm_, a_,

||f ||₁ = Z

X

|f |dm

Uto˙zsamiamy funkcje, kt´ore poza zbiorem miary zero sa r´_, owne.

Twierdzenie 2.3. (X, B, m)-przestrze´n probabilistyczna, T : X → X przekszta lcenie zachowujace miar_, e. Wtedy nast_, epuj_, ace warunki s_, a r´_, ownowa˙zne.

i) T jest ergodyczne

ii) je´sli f jest mierzalna w sensie miary m oraz spe lnia r´ownanie (f ◦ T )(x) = f (x) dla

∀x ∈ X, to f = const p.w.x ∈ X w sensie miary m

iii) je˙zeli f jest mierzalna w sensie miary m oraz spe lnia r´ownanie (f ◦ T )(x) = f (x) dla p.w.x ∈ X w sensie miary m, to f=const dla p.w.x ∈ X w sensie miary m

iv) je´sli f ∈ L²(m) i f (T (x)) = f (x) dla ∀x ∈ X, to f (x) = const dla p.w.x ∈ X w sensie miary m

v) je´sli f ∈ L²(m) i f (T (x)) = f (x) dla p.w.x ∈ X, to f (x) = const dla p.w.x ∈ X w sensie miary m

Dow´od

Poka˙zemy dowody tylko dw´och implikacji. Pozosta le przerobi´c na ´cwiczeniach.

(i) =⇒ (iii) Niech T bedzie ergodyczne, f jest funkcj_, a ca lkowaln_, a w sensie miary m tak_, a, ˙ze_, dla p.w. x ∈ X, f ◦ T = f . Za l´o˙zmy, ˙ze f jest funkcja rzeczywist_, a tzn. f : X → IR. Dla_, funkcji zespolonych rozpatrujemy oddzielnie cze´s´_, c rzeczywista <f i urojon_, a =f . Dla k ∈ ZZ_, oraz n > 0 definiujemy zbiory

X(k, n) = {x : k

2ⁿ ≤ f (x) ≤ k + 1

2ⁿ } = f⁻¹ k

2ⁿ,k + 1 2ⁿ



Wtedy

T⁻¹(X(k, n)) ÷ X(k, n) ⊂ {x : (f ◦ T )(x) = f (x)}

Stad_,

m(T⁻¹(X(k, n)) ÷ X(k, n)) = 0.

Z Twierdzenia 2.2 wynika, ˙ze m(X(k, n)) = 0 lub m(X(k, n)) = 1. Dla ka˙zdego ustalonego n ∈ IN mamy, ˙ze

[

k∈ZZ

X(k, n) = X.

Poniewa˙z zbiory tworzace t_, e sum_, e s_, a parami roz l_, aczne, to istnieje dok ladnie jeden k_{, n} taki, ˙ze m(X(k_n, n)) = 1. Niech

Y =

∞

\

n=1

X(k, n).

Wtedy m(Y ) = 1. Poniewa˙z f = const na Y , to f = const dla p.w. x ∈ X w sensie miary m.

(i) =⇒ (iii) Niech T⁻¹(E) = E dla E ∈ B. Wtedy χE ∈ L²(m) i (χE ◦ T )(x) = χE dla

∀x ∈ X. Zatem z (iv) wynika, ˙ze χ_E = const dla p.w. x ∈ X w sensie miary m. Stad_, χ_E = 0 dla lub χ_E = 1 p.w. x ∈ X w sensie miary m oraz m(E) = R

Eχ_Edm = 0 lub m(E) =R

EχEdm = 1.

2.2 Zwiazek mi_, edzy ergodyczno´_, scia przekszta lce´_, n a gesto´_, scia orbit_,

Oznaczenia

- X przestrze´n metryczna zwarta

- B σ-algebra zbior´ow borelowskich (wiadomo, ˙ze jest generowana przez zbiory otwarte) - m : X → [0, 1] miara probabilistyczna taka, ˙ze dla ka˙zdego podzbioru otwartego U ⊂ X_, miara m(U ) > 0. Czasami m nazywa sie miar_, a borelowsk_, a probabilistyczn_, a._,

Twierdzenie 2.4. Niech X przestrze´n metryczna zwarta, B −σ-algebra zbior´ow borelowskich, m : X → [0, 1] miara probabilistyczna borelowska, T : X → X ciag le, T zachowuje miar_, e_, m (tzn. ∀B ∈ B, m(T⁻¹(B) = m(B)) oraz T jest ergodyczne wzgledem miary m (tzn._,

∀B ∈ B je´sli T⁻¹(B) = B to m(B) = 0 lub m(B) = 1). Wtedy prawie wszystkie punkty x ∈ X w sensie miary m maja p´_, o ltrajektorie dodatnie, kt´ore sa g_, este w X tzn. {x ∈ X :_, {Tⁿ(x)}^∞_n=0 jest gesta w x} ma miar_, e 1._,

Dow´od Niech {U_n}^∞_n=0 oznacza baze topologii w X._,

(*) Zbi´or {Tⁿ(x); n ≥ 0} jest gesty w X wtedy i tylko wtedy, gdy_,

x ∈

∞

\

n=1

∞

[

k=0

T^−k(U_n).

Poniewa˙z

T⁻¹(

∞

[

k=0

T^−k(U_n)) ⊂

∞

[

k=0

T^−k(U_n)

oraz T zachowuje miare m i T jest ergodyczne wzgl_, edem m, to_, m(

∞

[

k=0

T^−k(U_n)) = 0 lub m(

∞

[

k=0

T^−k(U_n)) = 1.

Poniewa˙z S∞

k=0T^−k(Un) jest niepusty i otwarty ( a tak˙ze zbiory maja miar_, e dodatni_, a) to_, m(S∞

k=0T^−k(U_n)) = 1. Na mocy (*) to ko´nczy dow´od.

3 Twierdzenia ergodyczne

3.1 Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa

Twierdzenie 3.1. Niech (X, B, m) bedzie przestrzeni_, a probabilistyczn_, a lub przestrzeni_, a z_, miara σ-sko´_, nczona. T : X → X zachowuje miar_, e m, f ∈ L_, ¹(m). Wtedy

1 n

∞

X

i=0

f (Tⁱ(x)) → f^∗ (3.1)

zbiega dla prawie wszystkich x ∈ X w sensie miary m, gdzie f^∗ ∈ L¹(m). Ponadto

f^∗◦ T = f^∗ (3.2)

dla p.w. x ∈ X w sensie m. Je´sli m(X) < ∞, to Z

f^∗dm = Z

f dm. (3.3)

Dow´od Twierdzenia 3.1 podamy na zako´nczenie tego rozdzia lu.

Uwaga 3.2. Je´sli T jest ergodyczne, to f^∗ = const. p.w.x ∈ X w sensie miary m oraz je´sli m(X) < ∞, to

f^∗ = 1 m(X)

Z f dm p.w. x ∈ X w sensie miary m.

Uwaga 3.3. Je´sli (X, B, m) jest przestrzenia probabilistyczn_, a, T jest ergodyczne wzgl_, edem_, miary m, to dla ka˙zdego f ∈ L¹(m)

n→∞lim

∞

X

i=0

f (Tⁱ(x)) = Z

f dm.

Definicja 3.4. Niech (X, B, m)-przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare m,_, f ∈ L¹(m).

Dla punktu x ∈ X ´srednia wzdlu ˙z trajektorii nazywamy granic_, e_,

n→∞lim 1 n

∞

X

i=0

f (Tⁱ(x)),

o ile taka granica istnieje.

Sredni´ a przestrzenn_, a nazywamy ca lk_, e_, Z

X

f dm.

Uwaga 3.5. Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa implikuje, ˙ze dla prawie wszyst- kich x ∈ X w sensie miary m ´srednie wzd lu˙z trajektorii sa takie same jak ´_, srednie przestrzenne dla ka˙zdej funkcji f ∈ L¹(m) wtedy i tylko wtedy gdy T jest ergo- dyczne.

Opowiedzie´c o hipotezie znanego fizyka Boltzmanna, kt´ora zapoczatkowa la dzia l matematyki_, zwany dzi´s teoria ergodyczn_, a. Poda´_, c co najmniej jeden przyk lad zastosowania twierdze´n ergodycznych w innych dzia lach matematyki.

3.2 Twierdzenie ergodyczne von Neumanna

Twierdzenie 3.6. Niech (X, B, m)-przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare_, oraz 1 ≤ p < ∞. Je´sli f ∈ L^p(m), to istnieje f^∗ ∈ L^p(m) takie, ˙ze f^∗ ◦ T = f^∗ dla prawie wszystkich x ∈ X oraz

          1 n

∞

X

i=0

f (Tⁱ(x)) − f^∗(x)          p

→ 0 (3.4)

Wniosek 3.7. Niech (X, B, m)-przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare._, Wtedy T jest ergodyczne ⇐⇒ ∀A, B ∈ B

1 n

n−1

X

i=0

m(T⁻ⁱ(A) ∩ B)) → m(A)m(B).

Dow´od =⇒ Niech T bedzie ergodyczne, f = χ_{, A}. Z twierdzenie ergodycznego Birkhoffa (patrz Tw. 3.1) wynika, ˙ze

1 n

n−1

X

i=0

χ_A(T⁻ⁱ(x)) → m(A) p.w.m.

Mno˙zymy stronami przez χ_B. 1 n

n−1

X

i=0

χ_A(T⁻ⁱ(x))χ_B → m(A)χ_B p.w.m Korzystamy z nastepuj_, acego twierdzenia_,

Lemat 3.8. Je´sli g : X → IR jest ca lkowalna, {f_n} ciag funkcji mierzalnych rzeczywistych_, takich, ˙ze |f_n| < g dla p.w.x ∈ X, ∀n ≥ 1 i istnieje lim_n→∞f_n= f dla p.w. x ∈ X, to f jest ca lkowalna oraz lim_n→∞R f_ndm =R f dm

Doko´nczenie dowodu Wniosku 3.7. Wtedy 1

n

n−1

X

i=0

m(T⁻ⁱ(A) ∩ B) → m(A)m(B)

⇐= Niech T⁻¹(E) = E, E ∈ B. Podstawmy A = B = E w ciagu,_, to dostaniemy, ˙ze 1

n

n−1

X

i=0

m(E) → m(E)² Stad m(E) = m(E)_, ². Zatem m(E) = 1 lub m(E) = 0.

3.3 Maksymalne twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie 3.9. Niech U : L¹_R(m) → L¹_R(m) bedzie dodatnim liniowym operatorem takim,_,

˙ze ||U || < 1. Niech N ∈ ZZ, N > 0 i f ∈ L¹_R(m). Definiujemy

f₀ ≡ 1, f_n := f + U f + U²f + . . . Uⁿ⁻¹f dla n ≥ 1 oraz F_N := max_0≤n≤Nf_n≥ 0. Wtedy

Z

{x∈FN(x)>0}

f dm ≥ 0.

3.4 Dow´od twierdzenia ergodycznego Birkhoffa

Najpierw za lo ˙zymy, ˙ze m(X) < ∞. Je˙zeli f : X → CI, to oddzielnie rozpatrujemy <f i

=f . Dlatego wystarczy rozpatrywa´c tylko funkcje rzeczywiste L¹_IR(m) = {f : X → IR,

Z

|f |^pdm < ∞}

||f ||^p =

Z

|f |^pdm

1/p

. Definiujemy

f^∗(x) := lim sup

n→∞

1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x)) f∗(x) := lim inf

n→∞

1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x))

Wtedy

f^∗(T ) = f^∗ i f∗(T ) = f∗

poniewa˙z, je´sli

a_n:= 1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x))

to  n + 1

n



a_n+1(x) − a_n(T (x)) = f (x)

n . (3.5)

Mamy udowodni´c, ˙ze f^∗(x) = f∗(x) p.w. x ∈ X w sensie m oraz f^∗(x) = f∗(x) ∈ L¹(m).

Niech α, β ∈ IR. Definiujemy zbiory

E_α,β = {x ∈ X : f∗(x) < β i α < f^∗(x)}

Wtedy

{x : f∗(x) < f^∗(x)} = [

α,β

{E_α,β : β < α oraz α, β wymierne}.

Aby udowodni´c, ˙ze f^∗(x) = f∗(x) p.w. x ∈ X w sensie m nale˙zy pokaza´c, ˙ze m(E_α,β) = 0 je´sli β < α. Poniewa˙z T⁻¹(E_α,β) = E_α,β i je´sli przyjac, ˙ze_,

β_α = {x ∈ X : sup

n≥1

1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x)) > α}

to

E_α,β ∩ B_α = E_α,β Wtedy

Z

Eα,β

f dm = Z

Eα,β∩β_α

f dm ≥ αm(Eα,β) = αm(Eα,β) (3.6) Aby udowodni´c (3.6) skorzystamy z nastepuj_, acej w lasno´sci._,

Lemat 3.10. Niech T : X → X bedzie zachowuj_, acym miar_, e przekszta lceniem, (X, B, m)-_, przestrze´n z miara. Je´_, sli g ∈ L¹_IR(m) i

β_α = {x ∈ X : sup

n≥1

1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x)) > α}

to Z

βα

gdm ≥ αm(B_α∩ A) je´sli T⁻¹(A) = A i m(A) < ∞.

Zatem

Z

Eα,β

f dm ≥ αm(E_α,β).

Je´sli zastapimy f, α, β odpowiednio przez −f, −α, −β, to poniewa˙z_, (−f )^∗ = −f∗ (−f )∗ = −f^∗

otrzymamy, ˙ze

Z

Eα,β

f dm ≤ βm(Eα,β) Zatem

αm(E_α,β) ≤ βm(E_α,β).

Tak wiec, je´sli β < α to m(E_{, α,β}) = 0. To pociaga za sob_, a, ˙ze f_, ^∗ = f_∗ p.w. x ∈ X w sensie m. Aby udowodni´c, ˙zef^∗ ∈ L¹(m) skorzystamy z lematu Fatou.

Lemat 3.11. Niech (X, B, m) przestrz´n z miara. Niech {f_{, n}} bedzie ci_, agiem funkcji mie-_, rzalnych ograniczonych z do lu przez funkcje ca lkowaln_, a._, Je´sli lim infn→∞fndm < ∞, to lim inf_n→∞f_n jest ca lkowalna oraz

Z

lim inf

n→∞ f_ndm ≤ lim inf

n→∞

Z

f_ndm.

Niech

g_n(x) =      1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x))      .

Wtedy R g_ndm ≤R |f |dm, wiec mo˙zemy zastosowa´_, c lemat Fatou i otrzymamy, ˙ze

n→∞lim g_n(x) =     

n→∞lim 1 n

n−1

X

i=0

f (Tⁱ(x))     

= |f^∗| ∈ L¹(m).

Pozostaje pokaza´c, ˙ze R f dm = R f^∗dm je´sli m(X) < ∞. Niech Dⁿ_k =



x ∈ X : k n



≤ f^∗(x) ≤ k + 1 n



gdzie k ∈ Z, n ≥ 1. Dla ka˙zedego ma lego  > 0 mamy, ˙ze Dⁿ_k ∩ B₍k

n−) = D_kⁿ, gdzie B₍k

n−) zosta l zdefiniowany w Lemacie 3.10, z kt´orego wynika, ˙ze Z

Dⁿ_k

f^∗dm ≤ k + 1

n m(Dⁿ_k) ≤ 1

nm(D_kⁿ) + Z

D_kⁿ

f dm.

Sumujac po k otrzymamy, ˙ze_, Z

X

f^∗dm ≤ m(X)

n +

Z

X

f dm.

Poniewa˙z ta nier´owno´s´c zachodzi dla ka˙zdego n ≥ 1, wiec_, Z

X

f^∗dm ≤ Z

X

f dm Stosujac to do −f zamiast f otrzymamy, ˙ze_,

Z

X

(−f^∗)dm ≤ Z

X

−f dm, zatem

Z

X

f_∗dm ≥ Z

X

f dm.

Ale f^∗ = f∗ p.w. x ∈ X w sensie m, wiec_, R

Xf^∗dm =R

Xf dm.

Niech m(X) = ∞. Je´sli m(X) = ∞, to powy˙zszy dow´od mo˙zna przepisa´c je´sli poka˙ze sie, ˙ze_, m(E_α,β) < ∞ gdy β < α. Za l´o˙zmy, ˙ze α > 0. Niech C ∈ B bedzie takim zbiorem, ˙ze C ⊂ E_{, α,β} i m(C) < ∞. Taki zbi´or istnieje poniewa˙z o X za lo˙zyli´smy, ˙ze jest zbiorem σ-sko´nczonym.

Wtedy

h := f − αχ_C ∈ L¹(m).

Z Maksymalnego Twierdzenia Ergodycznego wynika, ˙ze Z

{x:H_{N (x)}>0}

(f − αχ_C)dm ≥ 0 dla ∀N ≥ 1.

Ale

C ⊂ E_α,β ⊂

∞

[

N =0

{x : H_{N (x)} > 0}, Zatem

Z

X

|f |dm ≥ αm(C).

Stad_,

m(C) ≤ 1/α Z

X

|f |dm dla ∀C ∈ B,

gdzie C ⊂ E_α,β i m(C) < ∞. Poniewa˙z X jest σ-sko´nczona, to m(E_α,β) < ∞. Je´sli α ≤ 0 to β < 0, wiec powy˙zsze rozumowanie mo˙zemy zastosowa´_, c do −f, −β zamiast f, β i dosta´c, ˙ze m(E_α,β) < ∞.

4 S labe i silne mieszanie

(X, B, m) - przestrze´n probabilistyczna T : X → X zachowuje miare m._,

Z Twierdzenia Ergodycznego wynika, ˙ze

T jest ergodyczne ⇐⇒ ∀A, B ∈ B lim

n→∞

1 n

∞

X

n=0

m(T⁻ⁱ(A ∩ B)) = m(A)m(B).

Definicja 4.1. (X, B, m) - przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare m._, a) T jest s labo mieszajace je´_, sli ∀A, B ∈ B

n→∞lim 1 n

∞

X

n=0

|m(T⁻ⁱ(A ∩ B)) − m(A)m(B)| = 0.

a) T jest silnie mieszajace je´_, sli ∀A, B ∈ B

n→∞lim m(T⁻ⁿ(A ∩ B)) = m(A)m(B).

Uwaga 4.2

1. Ka ˙zdy uk lad silnie mieszajacy jest s labo mieszaj_, acy._, 2. Ka ˙zdy uk lad s labo mieszajacy jest ergodyczny_,

Uwaga 4.3

1. W lasno´s´c silnego mieszania oznacza, ˙ze ∀A, B ∈ B ciag {T_, ⁻ⁿ(A)} staje sie_, asymptotycznie niezale ˙zny od ka ˙zdego innego zbioru B ∈ B.

2. Ergodyczno´s´c T oznacza, ˙ze ∀A ∈ B ciag ´_, srednich {T⁻ⁿ(A)} staje sie asymp-_, totycznie niezale ˙zny od ka ˙zdego innego zbioru B ∈ B.

5 W lasno´sci spektralne przekszta lce´n zachowujacych miar_, e_,

(X, B, m) - przestrze´n z miara_,

L⁰(m) = L⁰(X, B, m) = {f : X → CI mierzalna wzgledem m}_,

Definicja 5.1. Niech (X, B, m) - przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare._, T indukuje operator U_T : L⁰(m) → L⁰(m) zdefiniowany

(U_Tf )(x) = f (T (x)) dla ∀f ∈ L⁰(m), x ∈ X.

5.1 Podstawowe w lasno´sci operatora U_T

-U_T operator liniowy : L⁰(m) → L⁰(m) - U_T(f g) = U_T(f )U_T(g)

- je´sli f ∈ L⁰(m) i f ≥ 0, to UTf ≥ 0 czyli UT jest operatorem dodatnim.

Lemat 5.2. Niech (X, B, m) - przestrze´n probabilistyczna, T : X → X zachowuje miare._, Je´sli f ∈ L⁰(m), to

Z

U_Tf dm = Z

f dm, przy czym je´sli jedna ze stron nie istnieje to druga tak˙ze.

Dow´od Dla uproszczenia zak ladamy, ˙ze f jest funkcja rzeczywist_, a. Rozpatruj_, ac oddzielnie_, cze´s´_, c dodatnia i ujemn_, a funkcji mo˙zna za lo˙zy´_, c, ˙ze f jest dodatnia. Niech f ≥ 0. Zak ladamy dalej, ˙ze f jest tzw. funkcja prost_, a tzn. ˙ze_,

f =

n

X

i=1

a_iχ_Ai,

a_i ∈ IR, A_i ∈ B, gdzie o zbiorach A_i zak ladamy, ˙ze sa roz l_, aczne. Takie funkcje s_, a mierzalne,_, za´s ca lka z nich wynosi

Z

f dm =

n

X

i=1

a_im(A_i).

Wtedy

Z

UTf dm = Z

UT n

X

i=1

aiχAi

! dm =

Z ⁿ X

i=1

aiχ_T⁻¹_(Ai)(x)dm

=

n

X

i=1

a_im(T⁻¹(A_i)) =

n

X

i=1

a_im(A_i) = Z

f dm.

Je´sli f nie jest funkcja prost_, a, to przybli˙zamy j_, a rosnacym ci_, agiem funkcji prostych {f_{, n}}_n∈IN. Wtedy {U_T(f_n)}_n∈IN jest tak˙ze rosnacym ci_, agiem funkcji prostych d_, a˙z_, acych do U_{, T}f . Korzy- stajac z powy˙zszego otrzymamy, ˙ze_,

Z

U_Tf dm = lim

n→∞

Z

U_Tf dm = lim

n→∞

Z

f_ndm = Z

f dm.

Twierdzenie 5.3. Niech p ≥ 1. Wtedy

U_T(L^p(X, B, m)) ⊂ L^p(X, B, m) oraz

||U_T||_p = ||f ||_p dla ∀f ∈ L^p(X, B, m) czyli U_T jest izometria._,

Dow´od Niech f ∈ L^p(m). Zdefiniujmy funkcje F (x) = |f (x)|_, ^p. Poniewa˙z F (x) ∈ L⁰(m), mo˙zemy zastosowa´c Lemat 3.8 z kt´orego wynika, ˙ze ||U_T||_p = ||f ||_p.

5.2 Dzia lanie operatora U_T na przestrzeniach Hilberta

Rozpatrujemy dalej przestrze´n Hilberta L²(m). Iloczyn skalarny na L²(m) jest zdefiniowany nastepuj_, aco_,

(f, g) = Z

f gdm,

||f || = (f, f )¹² norma w L²(m).

Definicja 5.4. Przestrze´n L²(m) jest o´srodkowa, je´sli (X, B, m) ma przeliczalna baz_, e tzn._,

∃{E_n}^∞_n=1, E_n ∈ B takie, ˙ze ∀ > 0, ∀B ∈ B takich, ˙ze m(B) < ∞ istnieje E_n takie, ˙ze m(B ÷ E_n) < .