Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 3. – na wtorek 25.03.2014
Zadanie 1. Archimedes w pracy O równowadze figur plaskich podał aksjomatykę, w której siódmy aksjomat głosił: Środek ciężkości figury wypukłej leży wewnątrz tej figury. Uzasadnij ten fakt.
Zadanie 2. Dane są zorientowane pola a1, a2, a3, a4, a5 trójkątów A5A1A2, A1A2A3, A2A3A4, A3A4A5, A4A5A1. Oblicz pole pięciokąta A1A2A3A4A5.
Zadanie 3. W płaszczyźnie czworokąta BCDE leży punkt A. Wykaż, że zorientowane pola spełniają warunek SABE· SACD+ SACE· SADB+ SADE· SABC = 0
Zadanie 4. Udowodnić twierdzenie Gaussa: Jeśli przedłużenia przeciwległych boków czwo- rokąta przecinają się, to środek odcinka łączącego powstałe punkty leży na prostej przecho- dzącej przez środki przekątnych tego czworokąta.
Zadanie 5. Prosta k ma w układzie odniesienia ABC równanie −2x + 5y − 3z = 0. Który z punktów A, B, C leży najbliżej prostej k? Czy prosta k przecina odcinek BC?
Zadanie 6. Punkt Q ma w układzie odniesienia ABC współrzędne [α1, α2, α3]. Pro- ste AQ, BQ, CQ przecinają przeciwległe boki trójkąta ABC odpowiednio w punktach A1, B1, C1. Jakie współrzędne barycentryczne ma w układzie odniesienia A1B1C1 punkt M , który w układzie odniesienia ABC ma współrzędne [µ1, µ2, µ3]?
Zadanie 7. Udowodnić, że punkt P o współrzędnych barycentrycznych [µ1, µ2, µ3] leży na okręgu opisanym na trójkącie odniesienia A1A2A3 wtedy i tylko wtedy, gdy ma miejsce równość µ1|P A1|2+ µ2|P A2|2+ µ3|P A3|2= 0.
Zadanie 8. Podać warunek wystarczający na to, by proste dane we współrzędnych ba- rycentrycznych równaniami ax + by + cz = 0 i a0x + b0y + c0z = 0 były równoległe.
W dalszych zadaniach można uprościć notację używając współrzędnych barycentrycznych prostych: trójek proporcjonalnych współczynników w tradycyjnym równaniu. W tej notacji trójka [a, b, c] odpowiada prostej zadanej równaniem ax + by + cz = 0.
Przez v × w oznaczamy iloczyn wektorowy v, w ∈ R3.
Zadanie 9. Wykaż, że prosta przechodząca przez dwa różne punkty A i B ma współrzędne A × B.
Zadanie 10. Udowodnij, że punkt wspólny prostych k i m ma współrzędne k × m.
Zadanie 11. Co, dla danych punktów A, B, C, D opisuje wyrażenie (A × B) × (C × D)?
Zadanie 12. Udowodnij twierdzenie Routha:
Jeśli punkty K, L, M dzielą odpowiednio boki trójkąta ABC tak, że BK
KC = λ, CL
LA = µ, AM M B = ν
i jeśli punkty P, Q, R są odpowiednio przecięciami odcinków AK z BL, BL z CM i CM z AK, to
pole(KLM ) = λµν + 1
(λ + 1)(µ + 1)(ν + 1)· pole(ABC) pole(P QR) = (λµν − 1)2
(λµ + µ + 1)(µν + ν + 1)(νλ + λ + 1) · pole(ABC).
Zadanie 13. Wyprowadź z twierdzenia Routha twierdzenie Cevy i twierdzenie Menelaosa.
1
Następne cztery zadania dotyczą modelu płaszczyzny rzutowej opisanego za pomocą współ- rzędnych barycentrycznych i łączą aktualną tematykę ćwiczeń z treścią wykładu. Pierwsze jest ważne, więc na pewno omówimy je na ćwiczeniach, ale warto wcześniej przynajmniej przeczytać treść ze zrozumieniem. Pozostałe są słabiej związane z tym, czym chcemy się zajmować, ale jeśli kogoś zainteresują, to zachęcam do rozwiązywania.
Zadanie 14. Sprawdź, że płaszczyzna uzupełniona punktami o zerowej sumie współrzęd- nych (barycentrycznych) jest modelem płaszczyzny rzutowej, czyli spełnia aksjomaty A1 ∀abAB ab|AB ⇔ a = b ∨ A = B;
A2 ∀ab ∃C ab|C;
A3 ∀AB ∃c AB|c;
A4 ∃abcdABCD ab|A ∧ bc|D ∧ cd|C ∧ da|B ∧ ab 6 |C ∧ bc 6 |B ∧ cd 6 |A ∧ da 6 |D.
Zadanie 15. Wykaż, że zamiana współrzędnych afinicznych na barycentryczne nie zmie- nia stopnia tworu algebraicznego (czyli zbioru zer pewnego układu równań wielomiano- wych; dla uproszczenia można rozważyć zbiór zer jednego równania wielomianowego).
Zadanie 16. Funkcję n zmiennych nazywamy jednorodną w stopniu k jeśli dla dowolnego a i dowolnych x1, . . . , xn spełnia warunek f (ax1, . . . , axn) = akf (x1, . . . , xn). Udowodnij tożsamość Eulera: jeśli funkcja f jest klasy C1 i jest jednorodna w stopniu k, to
x1
∂f
∂x1 + · · · + xn ∂f
∂xn = kf.
Zadanie 17. Uogólnij tożsamość Eulera na pochodne rzędu m i wyprowadź stąd wniosek, że jeśli funkcja klasy Cm jest jednorodna w stopniu m, to jest wielomianem.
2
