Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 2. – na wtorek 18.03.2014
Zadanie 1. W kąt P AQ wpisano krąg styczny do ramion kąta w punktach P i Q. Na odcinkach AP i AQ obrano odpowiednio punkty B i C tak, że prosta BC jest styczna do tego samego okręgu w punkcie T . Proste BQ i CP przecinają się w punkcie M . Wykazać, że punkty A, T, M są współliniowe.
Zadanie 2. Ostrosłup czworokątny ABCDW , w którym ABCD jest równoległobokiem, przecięto płaszczyzną otrzymując cworokąt A1B1C1D1 (punkt A1 leży na krawędzi AW itd.).
Wiedząc, że |A1W |
|AW | = 1
3, |B1W |
|BW | = 1
5, |C1W |
|CW | = 1
4, obliczyć |D1W |
|DW |.
Zadanie 3. W trójkącie ABC mamy |AB| = |AC|. Na bokach AB i AC dane są odpo- wiednio punkty P i Q takie, że |BP | = n|P A| i |AQ| = n|QC|. Obliczyć, w jakim stosunku prosta P Q dzieli wysokość AM trójkąta.
Zadanie 4. Udowodnić twierdzenie Newtona: Środek M okręgu wpisanego w czworokąt ABCD leży na odcinku łączącym środki przekątnych tego czworokąta.
Zadanie 5. Punkty styczności okręgu wpisanego w czworokąt mają masy równe długości boków na których leżą. Wykazać, że ich środkiem ciężkości jest środek tego okręgu.
Zadanie 6. Trzy muchy o jednakowej wadze wędrują po bokach nieważkiego trójkąta w ten sposób, że nie zmienia się ich środek ciężkości. Wykaż, że jeśli przy tym jedna z nich obejdzie trójkąt dookoła, to ich środek ciężkości pokrywa się ze środkiem ciężkości jednakowo obciążonych wierzchołków trójkąta.
Zadanie 7. Skonstruować samą linijką środek ciężkości równomiernie obciążonej po- wierzchni litery L i litery T rozumianych jako sumy pewnej liczby prostokątów.
Zadanie 8. Figura środkowo symetryczna narysowana na kratkowanym papierze jest sumą pewnej liczby figur złożonych z czterech kratek, a mianowicie pewnej liczny prosto- kątów i pewnej liczby „liter” L. Wykazać, że liczba tych ostatnich jest parzysta.
Zadanie 9. Gdzie leżą punkty, których jedna ze współrzędnych barycentrycznych jest równa 0, a gdzie te, których dwie współrzędne są zerowe?
Zadanie 10. Układem odniesienia jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne ma- ją długości a i b. Oblicz współrzędne barycentryczne spodka wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
Zadanie 11. Przez punkt X leży wewnątrz trójkąta odniesienia ABC. Proste przecho- dzące przez X i równoległe do AC i BC przecinają bok AB odpowiednio w punktach K i L. Wykaż, że współrzędne barycentryczne X to [|BL|, |AK|, |LK|].
Zadanie 12. Oblicz współrzędne barycentryczne a) środka okręgu opisanego na trójkącie odniesienia, b) jego środka okręgu wpisanego,
c) jego ortocentrum.
Zadanie 13. W układzie odniesienia ABC punkt X ma współrzędne arealne (czyli barycentryczne o sumie 1) (α, β, γ). Wykaż, że−−→
XA = β−−→
BA + γ−→
CA.
Zadanie 14. W układzie odniesienia ABC punkt X ma współrzędne arealne (α, β, γ).
Wykaż, że jeśli punkt M jest środkiem ciężkości ABC, to 3−−→
XM = (α − β)−−→
AB + (β − γ)−−→
BC + (γ − α)−→
CA.
1
