4.5.Momentyzmiennychlosowychosłynnychrozkładach RachunekprawdopodobieństwaRozdział4.Zmiennelosowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

4.5. Momenty zmiennych losowych o słynnych rozkładach

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

rozkład dwupunktowy (Bernoulliego). . .

X ∼ Be(p)

X – liczba sukcesów w pojedynczej próbie Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, 0 ¬ p ¬ 1

P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p,

EX = p, VarX = p(1 − p) Dowód:

rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

X ∼ Bin(n, p)

X oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami i prawdopodobieństwem sukcesu p

P(X = k ) = n k

!

p^k (1 − p)^n−k, dla k = 0, 1, . . . , n

EX = np, VarX = np(1 − p) Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...

Przypomnienie

E(X1+ X2+ . . . + Xn) = EX1+ EX2+ . . . + EXn.

Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.

Rozkład Poissona

X ∼ Po(λ).

Zmienna o rozkładzie Poissona z parametrem λ > 0 jest dobrym przybliżeniem zmiennej losowej o rozkładzie

dwumianowym z parametrami n i p (dla „dużych” n i „małych” p, tzn. gdy np → λ przy n → ∞)

P(X = k ) = λ^k

k!e^−λ k = 0, 1, 2, . . .

EX = λ, VarX = λ Uzasadnienie wzorów z definicji: ...

Przypomnienie z analizy:^P∞_t=0^x_t!^t = e^x

rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1. . .

X ∼ Geom(p)

X oznaczaliczbę prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1, wykonanychdo uzyskania pierwszego sukcesu.

P(X = k ) = (1 − p)^k−1p, dla k = 1, 2, 3 . . .

EX = 1

p, VarX = 1 − p p² Uzasadnienie dla wartości oczekiwanej: ...

Przypomnienie

Dla X skupionej na nieujemnych liczbach całkowitych EX =^P∞_n=1P (X ­ n) .

rozkład ujemny dwumianowy

X – liczba prób do uzyskania r –tego sukcesu

Rozkład zmiennej losowej o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r i p:

P(X = k ) = k − 1 r − 1

!

(1 − p)^k−rp^r, dla k = r , r + 1, r + 2, . . .

EX = r

p, VarX = r (1 − p)

p² Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...

Przypomnienie

E(X1+ X₂+ . . . + X_n) = EX1+ EX2+ . . . + EXn.

Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.

Uwaga

W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na r –tą porażkę.

X –liczba prób do uzyskania r-tego sukcesu;

Y –liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu;

Z –liczba sukcesów do uzyskania r-tej porażki;

EX = r

p, VarX = r (1 − p)

p²

Przypomnienie

E(aX + b) = aEX + b, Var(aX + b) = a²VarX ..

Uwaga

W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na r –tą porażkę.

X –liczba prób do uzyskania r-tego sukcesu;

Y –liczba porażek do uzyskania r-tego sukcesu;

Z –liczba sukcesów do uzyskania r-tej porażki;

EX = r

p, VarX = r (1 − p)

p²

EZ = rp

1 − p, VarZ = rp

(1 − p)²

rozkład hipergeometryczny

X – liczba elementów specjalnych w przypadku losowania n różnych elementów z urny, w której jest N elementów w tym m elementów specjalnych (n ¬ m, N − m)różnychelementów

P(X = k ) =

m k

N−m n−k

N n

dla k = 0, 1, . . . , n

EX = nm

N, VarX = nm

N ·N − m

N ·N − n N − 1 Dowód wzoru na wartość oczekiwaną: ...

Przypomnienie

E(X1+ X₂+ . . . + X_n) = EX1+ EX2+ . . . + EXn.

Poprawność wzoru na wariancję pokażemy przy innej okazji.

Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]. . .

X ∼ U([0, 1])

ma rozkład z gęstością

f (x ) = ( ₁

b−a dla a ¬ x ¬ b

0 w przeciwnym wypadku

−→prawdopodobieństwo geometryczne!

EX = a + b

2 , VarX = (a − b)² 12 . Uzasadnienie wzorów: ...

Rozkład wykładniczy z parametrem λ. . .

X ∼ Exp(λ)

ma rozkład z gęstością i dystrybauntą:

f (x ) =

(λe^−λx dla x ­ 0

0 w p.p. F (x ) =

(0 dla x < 0, 1 − e^−λx dla x ­ 0,

EX = 1

λ, VarX = 1 λ². Uzasadnienie:

Przypomnienie

Jeżeli X ­ 0 oraz p > 0, to

EX^p= p Z +∞

0

t^p−1P(X > t)dt,

rozkład normalny N(µ, σ

). . .

X ∼ N(µ, σ²)

ma rozkład z gęstością

f (x ) = 1

√

2πσ²e⁻

(x −µ)2 2σ2

EX = µ, VarX = σ²

Zmienne losowe - podsumowanie

zmienna losowa X o rozkładzie dyskretnym o rozkładzie ciągłym

definicja skupiona na przeliczalnej liczbie wartości (atomów)

A = {x₁, x₂, . . .}

istnieje funkcja f (gęstość) taka, że P (X ∈ B) =R

Bf (x , y ) dx opis rozkładu podanie prawdopodobieństw atomów

P (X = x ) dla x ∈ A = {x1, x₂, . . .}

podanie gęstości f : R → R+

P (X ∈ B) = P

x ∈BP (X = x ) R

Bf (x )dx własności rozkładu Jeśli A–zb. atomów

P

x ∈AP (X = x ) = 1

f (x ) ­ 0, (x ) ∈ R

R

R f (x )dx = 1 F (s, t) =

dystrybuanta w punkcie s ∈ R

=P

x ¬sP (X = x ) Rs

−∞f (x )dx

Eh(X ) = P

ih(x_i)P (X = xi) R∞

−∞h(x )f (x )dx