O rozkładach granicznych sum r-punktowych zmiennych losowych

L. K ubik (Warszawa)

O rozkładach granicznych sum r-punktow ych zmiennych losow ych

Rozpatrzmy ciąg serii niezależnych zmiennych losowych £nk (k =

= 1 , 2 n — 1 , 2 , . . . ) , przyjmujących z dodatnim prawdopo­

dobieństwem tylko wartości 1 i 0 :

(1) P{Źnk = 1) = Vnk, = 0) = 1-Pftfc.

Kitanin [2] udowodnił, że jeżeli

( 2 ⁾

oraz (3)

lim max pnk = 0

те-м зо

lim Y p nk = а Ф 0,

to ciąg dystrybuant zmiennych losowych rjn == JT1 £nk jest zbieżny do

dystrybuanty rozkładu Poissona. *=1

W artykule tym zajmiemy się uogólnieniem tego wyniku. W tym celu przypomnijmy definicję granicznie stałych zmiennych losowych oraz twierdzenie dotyczące rozkładów granicznych sum takich zmiennych losowych:

D efinicja . Zmienne losowe £nk (k = 1, 2 , . .. , kn) n — 1, 2 , . . . ) nazywamy granicznie stałymi, jeśli dla dowolnego e > 0

lim maxP(|£nJfe—mnk\ > e) = 0 ,

Ł II П— УО О

gdzie mnk jest medianą zmiennej losowej £nk.

T wierdzenie pomocnicze ([1], str. 130). Na to, żeby przy odpowie­

dnim wyborze stałych A n rozkłady sum kn

£n ~ £nk A n fc-1

(4)

granicznie stałych niezależnych zmiennych losowych były zbieżne do rozkładu granicznego, potrzeba i wystarcza, żeby istniały takie funkcje M(u), N (u) i stała a, że

1. w punktach ciągłości funkcyj M (u) i N (u) przy n oo

kn u

v J dFnk(x + mnk) -> M{u) (#<0),

k = 1 —oo kn oo

j dFnk{x + mnk) -> —N(u) (u > 0);

fc=l U

kn

2. lim lim Л / x 2 dFnk (x + mnk) — ( J a ? dFnk {x + тпкЩ =

e-»-0 n—>oofc=l Щ <е l*|<e

____

kn

= lim lim Y \ j x 2dFnk{x + m nk) — i j xdFnk{x + m nk)Y] = a2.

£—>0 rŁ->00 |a;|<e |Ж|<8

Fnk(x) oznacza dystrybuantę zmiennej losowej £nk.

Stałe A n można wyznaczyć ze wzoru

kn kn

(5) A n = £ j +*»«*) +

fc=l |ж|<г fc=l

gdzie y{r) jest dowolną stałą.

Logarytm funkcji charakterystycznej rozkładu granicznego daje wzór Lćvy’ego:

log9>(<) = iyt — \a2t2 +

+ (еШ- г

—00 ' O '

Zauważmy, że rozpatrywane przez Kitanina zmienne losowe są gra­

nicznie stale.

Eozpatrzmy teraz nieco ogólniejsze zmienne losowe $nk, miano­

wicie takie, że

r

(6)

(* = 1 , 2 , . ••,»•),

№e zmniejszając ogólności możemy przyjąć, że

< Ш < 4 S < . . . < « £ ! № = 1 , 2 » = 1 , 2 , . . . ) . M ech a g f4 —ejj = «Ы (* = 1 , 2 , r - l ) .

mt

1 + u2 dN (u).

Udowodnimy następujące twierdzenie:

T wierdzenie . Klasa rozkładów granicznych sum (4) granicznie sta­

łych niezależnych zmiennych losowych £пк o rozkładzie (6) spełniających warunek

(7) lim max = lim min 4 ł = z^ > 0 {i = 1 , 2 , . . . , r —1)

n— кхэ l<A:<fcn n— к »

jest identyczna z klasą kompozycji r ( r —1) rozkładów Poissona postaci

P {X t! = V + а д = - y r L>

(8) ,

Р ( Г « = +

i

przy czym zij = Z = 0 ,

2 ,

? = i, i + l , r —1 ; i = 1 , 2 ,

. .. , r —1, А$^+1, ^ +1>i > 0 (A = 0 oznacza, że odpowiednia zmienna losowa degeneruje się do jednopunktowej zmiennej losowej).

Dowód podaje jednocześnie metodę otrzymania dowolnego roz­

kładu rozważanej klasy jako granicy sum zmiennych losowych spełnia­

jących założenia twierdzenia.

D o w ó d . Dla każdego n ponumerujmy zmienne losowe |nfctak, aby

»».* = «& dla 4*~ч < & < * !? (о = &”> < 41» < . . . < # > = icn).

Jeżeli mnk = to zmienna losowa —тпь przyjmuje kolejno z prawdopodobieństwami p£l, p%l,. .. , p%l wartości

—42—42—•••—■ 4*4» — 42— —4*1\...» — «ЙГ4, 0,42,42 +

+ 4fc+1) > • • • > 4 l2+ 4 * ^ + . . . + 4л"1**

Łatwo zauważyć, że przy założeniu (7) zmienne losowe Snk są gra­

nicznie stałe wtedy i tylko wtedy, gdy

lim min р й = 1 {i = 1 , 2 , . . . , r).

n— кхз

7* П

Roczniki P.T.M. Prace Matematyczne IV. 8

Dla Jc spełniających nierówność < к < 1$ mamy 0 dla ж < ай, Pnl dla ай < x < ogl,

£ Pnl

7 = 1

dla ай < ж < аЙ+1),

| a

? =i

dla а£у1} < ж < а<$, l dla ж > а й ,

czyli

0 dla ж < — z{nl — «ЙГ1),

РЙ dla — . .-^ fc _1) < ж < —«2 - * • • - 4 V 1})

F nk { ^ ^ n k ) —

i- 1

7 = 1

7 = 1

i + 1 У, Vnl

7 = 1

£ Vnl

7 = 1

1

dla —4 * 2) < ж < О,

dla 0 < х < гй>

dla « 2 < оо < * 2 + «fi*4 ,

dla £Й+* • • + ^й < ж 2Й +* • • + ^nfc dla x > 41 + ... + z(nul).

Jeżeli istnieją funkcje M{u) i N (w), to są one na mocy twierdzenia pomocniczego równe

iM) M{u) = l i m J dFnk{x + mnk) = ^ l i m ^

' k = 1 —oo

i =i 7Ł-"°°*=zd-i)+1

u

f dFnk (ж + mnk) , 00

N(u) =

kn oo r l,n oo

lim 2 / + mnfc) = - £ Hm ^ (a? + mnfc) .

,ИооЫ м i = l n->00 =г (-£—1) _j_ i

Ponieważ dla dostatecznie dużych n l(*) n u

1 f dFnk{xJr mnk)

dla u < min ( — 4 1 —• • • — 4 * 1}) ,

*<*>

^ 4 1 dla max ( - 41 - • • • — 4 * 1}) < w <

л=г^ -1)+1 i2" 1)< Jfc< I2)

< min ( - 4 1 - - ^nA: _{■ (łrl)),} n ^ ^ и

lit) n i—i

£ £ Pnl dla max ( - i _1)) < U < 0 ,

> = 1 гЙ_1)< *< г?

г^) n co

J' dl? nk(ffi ~}~ mnk) —

n r

^ Pnk dla o < u < m in 4 1 ,

й-^-Ч+х *=<+i p)

£ v*k dla ^ ах < u < min ^ (4 l + 4 *‘ 1)),

A^Z^-^ + l ?=г + 2 n n

£ Pnk dla max ( 4 1 + - - - + 4 Т 2)) < ^ <

< min ( 4 1 + ... + 4 r*-1}),

$ - 1)<fc<ig) 0 dla u > max (41 + . . • + 4 & lf) ,

więc aby istniał rozkład graniczny, muszą istnieć granice

*(<> n

lim J ? p i l s k i dla i, j = 1 , 2 , . . r, i ф j.

łi— >00 /<j _ 1 \

*-*£ 1}+1

(9)

Машу więc l(i) n lim

n—>oo

U

J dFnk{oc + mnk) =

•oo

0 dla u < — 2(1)—... — z{t

Ai! dla < u < - г (2> -

i —1

^ żiy- dla 1=1

— z^ l) < u < 0 ,

id)

oo

I dF nk (x d- Шпк)

n—>oo J

k = t l)+l M J T

1

r

^ кц dla 0 < u < z(i), 1=i+1

źir dla s(l)+• ■ • + з(г-2) < w < s(<)+ . . . + s(r-1), 0 dla u > s(t)+ . . . + 2(r-1).

Funkcje N {u) i M{u) są więc fimkcjami schodkowymi o skokach odpowiednio w punktach zif oraz — z^ (j — i, i-\-1 , r —1 ; i = 1 , 2 , . . . . . . , r —1). Łatwo zauważyć, że <r = 0. Jako rozkłady graniczne można więc istotnie otrzymać tylko rozkłady należące do klasy rozkładów p o ­ danej w tezie twierdzenia.

Łatwo pokazać, że każdy z tych rozkładów rzeczywiście można otrzy­

mać jako rozkład graniczny. Przypuśćmy, że mamy z góry dane liczby z{i) > 0, kiJ+1, kj+lfi > 0 {j = i, ś + 1 , ..., r —1 ; i = 1 , 2 , . . . , r —1). Weźmy pod uwagę zmienne losowe £nk o rozkładzie (6), przyjmując lcn = n, 1$ —

= [in/г], оЦ = 0, «fij = 2(1), agj = г(1) + г(2), . .. , a $ = J£z(v) dla wszyst-

V = 1

kich n i fc oraz rf]. = k^r/n dla 7£~х) < ~k < #>, г, j = 1 , 2 , . . . . .. , r, j ^ г, i dla dostatecznie dużych w.. Takie zmienne losowe są oczywiście granicznie stałe. Warunki (7) i (9) są spełnione i jako rozkład graniczny dla sum (4) otrzymujemy rozkład występujący w tezie twier­

dzenia z danymi z góry stałymi z{i) > 0, ki>j+1, kj+1>i > 0. Stałe bif i ctj

możemy uzyskać przez odpowiedni wybór stałej y{x). Twierdzenie jest

więc udowodnione.

Uwaga. Jeżeli w warunku (7) przyjąć, że з(г) = O dla s wskaźników (,§ < r —1), to jako rozkład graniczny dla sum (4) otrzymujemy kompo­

zycję i f —s){r—я— 1) rozkładów Poissona.

Łatwo zauważyć, że wspomniany na początku wynik Kitanina wynika z powyższego 'twierdzenia. Istotnie, rozpatrując zmienne losowe o roz­

kładzie (1) spełniające warunki (2) i (3) mamy

r = 2, aSl = 0, 4 22 = z£l = z(1) = eu = 1 ,

= -t ^{Pnk i} p\Jt ~ Pnk oraz dla dostatecznie dużych n

czyli

Mamy więc

mnk = аЦ == 0 (k = 1 , 2 , . .. , kn) ,

7(1) _ 7(2) _ 7.

tn — — fvn .

Л12 = lim £ Vnl = hm pnk =

A=1

Л21 = 0 .

Na mocy naszego twierdzenia dystrybuantą graniczną dla ciągu dystrybuant zmiennych losowych £n określonych wzorem (4) jest dystry- buanta rozkładu Poissona. Zmienne losowe Cn różnią się od rozpatry­

wanych przez Kitanina zmiennych losowych rjn stałą A n. Jednakże ze wzoru (5), biorąc т < 1 i y(r) = 0, dostajemy dla n dostatecznie dużych A n = 0, czyli rjn = С».

P r a c e c y t o w a n e

[1] B. W . G n ie d e n k o i A. N . K o łm o g o r o w , Rozkłady graniczne sum zmiennych losowych niezależnych, Warszawa 1957.

[2] Л. Ф. К и т а н и н , Распределение Пуассона, асимптотические разложе­

ния, У ч . зап. Ленингр. Гос. Пед. Ин-та им. Герцена 111 (1955), str. 170-171.

Л.

(Варшава)

О П Р Е Д Е Л Ь Н Ы Х Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я Х Д Л Я СУММ С Л У Ч А Й Н Ы Х В Е Л И ­ Ч И Н , К А Ж Д А Я ИЗ К О Т О Р Ы Х П РИ Н И М А Е Т г З Н А Ч Е Н И Й

Р Е З Ю М Е

В работе доказана следующая теорема:

Т Е О Р Е М А .

Класс предельных распределений для сумм

асимптотически

постоянных независимых случайных величин l-nk, которых закон распределения

дается формулой (6) при выполнении условия (7) совпадает с классом композиций r (r — 1) распределений Пуассона вида (8).

Из этой теоремы непосредственно вытекает результат Китанина [2], кото­

рый показал, что если закон распределения независимых случайных величин дается формулой (1) и если выполнены условия (2) и (3), то предельным распре-

делением для сумм fn = £ £пк является распределение Пуассона.

i

L .

(Warszawa)

ON T H E L IM IT IN G D IS T R IB U T IO N S OF SUMS OF r-V A L U E D R A N D O M V A R IA B L E S

S U M M A R Y

In this paper the following theorem is proved:

T

. The class of limiting distributions of sums (4) of asymptotically con­

stant independent random variables which are distributed according to the distribution law (6) is equal, under condition (7), to the class of convolutions of r(r— 1) Poisson distri­

butions of the form (8).

From this theorem immediately follows the result of Kitanin [2]. Kitanin provod that if independent random variables £nk are distributed according to the distribution law (1) and if conditions (2) and (3) hold, then the limiting distribution of sums

Cn = £ £nk is Poisson distribution.

fc=i