Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 16.

(1)

1. Niech

f (x, y) =







xy(x²− y²)

x²+ y² , dla (x, y) 6= (0, 0), 0 , dla (x, y) = (0, 0).

Pokaż, że:

a) punkt (0, 0) jest punktem krytycznym tej funkcji,

b) wszystkie pochodne cząstkowe drugiego stopnia ^∂_∂x²^f₂, ^∂_∂y²^f₂, _∂x∂y^∂²^f oraz _∂y∂x^∂²^f istnieją w punkcie (0, 0), ale

∂²f

∂x∂y(0, 0) 6= ∂²f

∂y∂x(0, 0).

c) punkt (0, 0) nie jest lokalnym ekstremum funkcji f . 2. Niech f (x, y) = (y − x²)(y − 3x²). Pokaż, że

a) f⁰(0, 0) = (0, 0),

b) dla każdego (a, b) ∈ R²\ {(0, 0)}, funkcja h(t) = f (ta, tb) ma lokalne minimum dla t = 0, c) funkcja f nie ma lokalnego ekstremum w (0, 0).

3. Niech A = {(x, y, z) ∈ R²: 2x − 3y + z = 1}. Znajdź punkt p ∈ A najbliższy do punktu (3, −2, 1).

4. Znajdź maksymalną możliwą objętość cylindra, którego wysokość plus średnica podstawy nie przekracza 108cm.

5. Znajdź i sklasyfikuj lokalne ekstrema funkcji:

a) f (x, y) = x³+ y³+ 3xy + 3, b) f (x, y) = e^−x⁴^−y⁴.

Znajdź maksymalną objętość równoległościanu, którego suma długości trzech krawędzi (długość, szerokość i głębokość) nie przekracza 108 cm.

Znajdź maksymalną objętość równoległościanu, którego suma długości trzech krawędzi (długość, szerokość i głębokość) nie przekracza 54 cm.

1