Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 7, No. 1

J a h r g a n g V II.

U ntfrriclitsblätter

1901. N r. 1.

liir

Mathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung

des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

Prof. Dr. B. S c h w a lb e ,

D ir e k to r d e s D o r o th c c n s tü d t. R e a lg y m n a s iu m s z u B e rlin .

H erausgegeben von

und

Prof. F r. P ie tz k e r ,

O b e r le h r e r a m K ö n ig l. G y m n a s iu m zu N o r d h a u s e u .

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 30.

R e d a k tio n : A l l e f ü r d i e R e d a k t i o n b e s ti m m t e n M i t t e i l u n g e n u n d S e n d u n g e n w e r d e n n u r a n d ie A d r e s s e d e s P r o f . P i e t z k e r i n N o r d l i a u s e n e r b e t e n .

V e r e in : A n m e l d u n g e n u n d B e i t r a g s z a h l u n g e n f ü r d e n V e r e in (3 M k . J a h r e s b e i t r a g o d e r e i n m a l i g e r B e i t r a g v o n 15 M k .) s i n d a n d e n S c h a t z m e i s t e r , P r o f e s s o r P r c s l e r i n H a n n o v e r , L i n d e n e r s t r a s s o 4 7 . z u r i c h t e n .

V e rla g : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e r n i s t 3 M a r k , f ü r e i n z e l n e N u m m e r n 60 P f . D ie V e r e i n s m i t - g l i e d c r e r h a l t e n d i e Z e i t s c h r i f t u n e n t g e l t l i c h ; f r ü h e r e J a h r ­ g ä n g e s in d d u r c h d e n V e r l a g b e z . e i n e B u c h h d l g . z u b e z i e h e n . A n z e i g e n k o s t e n 2 6P f . f ü r d i e ä - g e s p . N o n p a r . - Z e i i e ; b e i A u f g a b e h a l b e r o d . g a n z e r S e i t e n , s o w i e b e i W i e d e r h o l u n g e n E r m ä s s i g u n g . — B e i l a g e g e b ü h r e n n a c h U e b e r e i n k u n f t . N a c h d r u c k d e r e i n z e l n e n A r t i k e l i s t , w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e s o n d e r s a u s g e n o m m e n , n u r m i t g e n a u e r A n g a b e d e r Q u e lle

u n d m i t d e r V e r p f l i c h t u n g d e r E i n s e n d u n g e i n e s B e l e g e x e m p l a r s a n d e n V e r l a g g e s t a t t e t .

I n h a l t : V ereinsangclegenheiton (S. 1). — Z u r M ethode des m athem atischen S chulunterrichts. Von .T. H e r m e s (S. 2.) — E in e einfache M ethode d er B estim m u n g 'd er W ellenlängen des L ichtes. V on B e r u h . H o f f ­ m a n n (S. 6). — G eom etrisches aus d er O bersekunda. V on R u d o 1 f B ö g e r (S. 8). — Schul- und U niversitätsnachrichten [N euordnung des höheren Schulwesens in Preussen. — L ehrpläne fü r dio darstellende Geom etrie] iS. 12). — V ereine und V ersam m lungen [72. V ersam m lung deutscher N a tu r­

forscher und A er/.te zu A achen] (S. 12). — Lehrm ittel-B esprechungen (S. H i ) . — Bücher-B esprechungen (S. lß).~— Z u r B esprechung eingetr. B ücher (§¡17). — A nzeigen.

V er e in s -A n g e le g e n h e ite n .

W ie bereits in Nummer 3 des abgelaufenen Jahrganges zur Kenntnis der Vereinsm itglieder gebracht worden ist, wird die z e h n t e Hauptversam m lung in der Pfingstwoche d. J. in G i e s s e n abgehalten werden. Der D irektor des Realgymnasiums daselbst, H err Dr. R a u s c h , hat den Vorsitz des dortigen Ortsausschusses übernommen.

Anmeldungen zu V orträgen für die allgemeinen Sitzungen, wie für die Sitzungen der Fachabteilungen sind auch je tz t noch sehr willkommen. W ir bitten, sie an H errn D irektor R a u s c h oder an den H auptvorstand zu Händen von Prof. P i e t z k e r (Nordliausen) zu richten.

F erner werden die Vereinsmitglieder in Gemässheit des § 4 der Vereinssatzungen ersucht, den B eitrag für das laufende V ierteljahr 1901, soweit es noch nicht geschehen ist, bis zum 1. A pril d. J . u nter Benutzung des dieser Nummer beiliegenden Postanweisungsform ulars an den Vereins-Schatzm eister (Professor Presler in H a n n o v e r , Lindenerstrasse 47) einzusenden. Die bis dahin nicht eingegangenen Beiträge werden im Laufe des nächsten Vierteljahrs durch Post- nachnalime eingezogen werden (§ 5 der Satzungen). Die M itgliedschaft des Vereins kann auch durch eine einmalige Zahlung von 45

M.

erworben werden (siehe die Notiz am Kopfe d. Bl.).

Z ur E rleichterung für die Kassenführung, wie zur Ersparnis für die M itglieder selbst, w ürde es dienen, wenn die an demselben Orte wohnenden Vereinsmitglieder ihre B eiträge zusammen in e i n e m Posten einsenden wollten. Die ausserhalb des Deutschen Reiches wohnenden Vereins­

m itglieder w erden noch besonders um direkte Einsendung ersucht, um die durch Postnachnahm e erwachsenden W eiterungen und Mehrkosten zu vermeiden.

Ein neues Verzeichnis der Vereinsmitglieder, deren Zahl während des vergangenen Jahres auf m ehr als 900 gestiegen ist, w ird voraussichtlich im Laufe des Jahres erscheinen.

D e r V e r e in s V orstand.

S. 2.

IJN TER R IC H TSB LÄ TTER .

Jahrg. VII. No. 1.

Z ur M eth o d e d e s m a th e m a tis c h e n S c h u lu n te r r ic h ts .

V on

J . H e r m e s (O snabrück.)

U nter „M ethode“ will ich in ursprünglicher B edeutung des W ortes den W eg verstanden wissen, den man beim U nterrichte einschlägt, um ein bestim mtes Ziel zu erreichen.

Solcher W ege w ird es viele geben und dies deckt sich m it dem „U nterrich tsblätter 1895;

No. 2 “ erw ähnten Aussprache von F. K l e i n :

„W onach man jedes Sem ester eine andere Methode haben k an n “.

Man wird aber gern in R ücksicht auf die noch nicht völlig entw ickelten K räfte der Schüler einen kurzen, vielleicht ein wenig schmalen, doch nicht zu steilen P fad der L andstrasse vor- ziehn, die allerdings w eitere Ausblicke und U ebersichten g e sta tte t und für den, der ohne F ü h rer geht, auch sicherer zum Ziele führt.

D er L ehrer ist hier aber der F ü h rer und kennt das Terrain und weiss auch in jedem Falle, was er den K räften der Schüler zumuten kann.

Hierin ist m itenthalten, was P i e t z k e r a. a. O rt 1899; No. 3 und 4 in seinem Auf­

sätze: „System und Methode im exaktw issen­

schaftlichen U n te rric h t“ an die Spitze stellt, nämlich das „psychologische M oment“.

Unser Ziel ist nun, allgemein gesprochen, freilich der durch die M athem atik verm ittelte Teil der Gesam tbildung des Schülers. Es ge­

hört dazu [und das wird im Prinzip auch nirgends b e s tritte n !] ebensowohl A) eine gewisse F e rtig ­ k eit im Lösen von Aufgaben also im „H euri­

stischen“ und „Induktiven“, als auch B) die erworbene Fähigkeit, ein Lehrgebiet „system a­

tisch “ zu durchdringen und eventuell irgend ein R esultat „deduktiv“ sicher stellen zu können, nam entlich auch einen falschen Satz als solchen zu erkennen.

Spezieller gefasst ist aber unser Ziel das in den Lehrplänen angegebene, doch beabsich­

tige ich in diesem Aufsätze nur die daselbst auch angeführte „ a n a l y t i s c h e G e o m e t r i e “ und zw ar in denkbar geringstem Umfange, aber doch abgerundet, in A ngriff zu nehmen.

Nicht, als ob von derselben, sow eit sie im Schulunterrichte behandelt wird, eine besondere F örderung der Raum vorstellungen zu erw arten wäre, sondern, weil gerade durch sie, wie mir scheint, der Schüler von der in B) verlangten auf das „System atische“ gerichteten Schulung das N ötigste zu gewinnen vermag.

Meine Aufgabe is t nun, den P fad zu skiz­

zieren, den ich hierbei einschlage und zwar a b g e s e h e n v o n A), der B ehandlung einzelner A ufgab en, was freilich die m eiste Z eit des U nterrichts beansprucht. [Einige Beispiele finden sich am Schlüsse],

W ollte man nämlich B) beim U n terrichte [

völlig vernachlässigen, um noch m ehr Zeit zu den Aufgaben zu gew innen, so würde die Schulung eine einseitige genannt werden müssen.

Die Form mancher Sätze der analytischen Geometrie lässt es w ünschensw ert erscheinen, w enn die Schüler zuvor (also in U I oder O II) schon über die algebraischen A usdrücke, die bei der Auflösung linearer Gleichungen auf- treten, u n terric h tet sind.

Dies sei je tz t zunächst besprochen.

I. L i n e a r e G l e i c h u n g e n .

Es w ird vorausgesetzt, dass lineare Gleichun­

gen und dazu gehörige Aufgaben bereits durch­

genommen und eingeübt sind. Dann lässt sich die folgende D arstellung in drei bis vier Stunden bew ältigen, die keineswegs im Gebiete der Gleichungen n ützt, sondern nur anregen und für spätere Zwecke vorbereiten soll und mehr als V ortrag, wenn auch nicht ohne eingestreute F ragen zu denken ist, um V erständnis und Aufm erksam keit zu beleben..

[Auch der Begriff eines Index muss schon bei früherer Gelegenheit (Reihen) erö rtert sein, so dass: a a

0

a i a a a ' a " unterschieden und nicht im entferntesten m ehr m it a 2, a

3

. verw echselt werden], —

1) Können wohl die W erte der U nbekannten x und y aus folgender Gleichung a i x -f- b i y — ö bestim m t werden ?

W ird der F a ll, dass x = 0 und zugleich y =

0

ist, als selbstverständlich ausgeschlossen, so k önnte die Gleichung, die kein freies Glied hat, etw a so behandelt w erden.

Man dividiere durch y und erhält dann für

x — b i

- den W e rt: o d er, was dasselbe ist.,

y

a i

+ bl

; es kann also nu r das V erhältnis der

— ai

U nbekannten zu einander erm ittelt w e rd e n ; x : y = -)~ b i : — a i . E iner der U nbekannten könnten w ir einen beliebigen W e rt erteilen, z. B. x — : 1 oder auch y = : 1 setzen. *)

W ir erhalten dann e i n e Gleichung m it e i n e r Unbekannten.

D enken w ir uns in der Zeile über der Gleichung + und — geschrieben, also f "r , ~~

Uix-f-biy = 0, so kann das erhaltene R esu ltat x : y — — [— b i : — a i so aufgefasst werden, als h ätte man das -[- m it dem in der Diagonale stehenden b i, das — m it dem in der anderen Diagonale befindlichen a i m ultipliziert, eine Auffassung, die im Verfolg von N utzen sein wird, wenn w ir dieses s u p e r - p o n i e r t e P lus und Minus nicht hinschreiben, sondern nur am ersten und zw eiten P latze w irk ­ sam denken.

*) Bei E i n s ä t z e n schreibe nach dem G leichheits­

zeichen ein K o lo n ; B estim m ungsgleichung: x - I. A u f­

lösung x ; - : 4, also 4 = 4 identisch.

1901. No. 1.

_Zu r Me t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 3.

2) W ir nehmen nun zu der eben behandelten Gleichung noch die Gleichung a x -j- b y =

0

hin­

zu, so dass w ir zugleich a x -f- b y =

0

und a i x - |- b i y =

0

erfüllen sollen und dabei von x =

0

und y ==

0

absehen mögen. Es ist leicht einzusehen, dass ohne eine B e d i n g u n g zwischen den vier Koeffizienten nicht dasselbe Verhältnis aus jed er Gleichung erhalten werden kann; setzen wir den W e rt für

y ^nämlich 4~ bi

— ai aus der unteren Gleichung in a . b ]

c l . D 1

die obere ein, so wird -}- b =

0

oder auch a b i — b a i :

der F o r m :

ai

0 erhalten. Es soll nun unter

| jjj der eben gewonnene Aus­

druck: a b i — b a i verstanden w erden, der als

— j— a b i | — b jai j gedeutet werden möge, worin -f- und — an die beiden P lätze der oberen Zeile superponiert gedacht sind und jm| = : m sein soll.

Die B e d i n g u n g s g l e i c h u n g w ird also Lj bj l = 0 [zwischen den Buchstaben bleibe a b ein Raum oder es kann auch ein Semikolon (;) gesetzt werden.]

3) Vertauschen w ir die beiden gegebenen a i x -j- b i y ==

0

Gleichungen, 0* so kann die Be­

dingungsgleichung

' ! 1

j

' 1

=

0

an sich keine andere gew orden sein, doch dürfen die linken

lai bk noch Seiten, also oben und je tz t |ft b nicht als identisch angesehen werden, denn es könnte ein F ak to r hinzugetreten sein.

In der That, wie die Vergleichung des Gliedes -f- a b i und — b i a zeigt, ist der F a k to r : minus gewonnen.

S a t z : Die V ertauschung zweier (der beiden) Zeilen bei einer zweidimensionalen Form dieser A rt verändert das Vorzeichen ihres W e rtes;

ä h n lich : i ai bi ai bi;

m a m bj a b *

4) W ären die Koeffizienten beider Gleichungen dieselben, so w ürde die Bedingungsgleichung a b a b ] = 0 als Bedingung keinen Sinn haben können, die linke Seite müsste also schon an sich d. h. identisch gleich Null sein [oder auch aus 3) zu schliessen]. S a t z : Sind zwei (die beiden) Zeilen einer zweidimensionalen Form die nämlichen, so ist die Form identisch Null.

5) W ir m ultiplizieren die gegebenen Gleichun­

gen a x + b y =

0

I m it | , . . . und ai x

4

- b, y =

0

} m it

v

uncI addieren.

Die erhaltene Gleichung x ( a f - f " a i ?? ) _f"

y (b £ 4~ t>i i;) = 0 denken w ir an Stelle der letzten Gleichung. W ir können sie erfüllen,

wenn w ir a f -{- a i >; =

0

setzen und auflösen.

und b f b i ?;

Das erfordert die Bedingung jb b j = 0 ; In diesem Falle bleibt nur a x -j- b y = 0 allein übrig und es tr itt keine w eitere Bedingung hin­

zu. Daher muss die ursprüngliche Bedingungs-

! a b

gleichung jaj

0

m it der hier erhaltenen a ai

|b bi = 0 identisch sein, denn ein F ak to r tritt nicht auf, wie die Vergleichung von a b i m it a b i zeigt. S a t z : „Es können die Zeilen einer zweidimensionalen Form der Reihe nach zu Kolonnen gem acht werden, ohne den W e rt der Form zu ändern“.

1

') Es seien die Gleichungen ai x

4

bi y

4

ci z =

0

a

2

x + I

12

y + c

2

z =

0

gegeben, die scheinbar drei, eigentlich nur zwei U nbekannte haben, man könnte z = : 1 setzen vgl. 1). W ir fassen ai x -|- bi y in einen W ert nii und ai x -j- b

2

y in den W e rt

1112

zusammen, indem w ir für x und y schon die gefundenen W erte eingesetzt denken.

Aus den G leichungen:

n u

4

c i z =

0

m ä + C2Z = 0 folSf c nach 2)

|ai x 4 - b i y ; oder auch „ \ .

:;l2

x + b

2

y ;

oder wegen der nach 5) erlaubten kolonnen- weisen Berechnung und nach Um stellung d e r Summanden

h i y ; c f

mi cf m 2 ^ca!

ci' C2

= 0

= 0

a i x

4 2

x

iai ci

x I

a 2 c 2

Cl + ,

c

2

!b2 y I —

0

oder auch + y bi ci

|b

2

c

2

! x : y i b i c i

= + ib2C2!

0

und hieraus jai cij

a

2

ca; '

x : z w ird sieh durch V ertauschung von b m it c ergeben müssen,

als ci bi C 2 ^b2

lai bi]

|a

2

b

2

bi cij b

2

c

2

Die gegebenen Gleichungen:

(superponiert -)- — -f) (ai x + b i y + c i z =

0

\ a

2

x + b 2 y + c 2 z =

0

die Auflösung:

jai bi]

ia

2

b

2

haben also

;: y : z =

a i c f

R2 C2I

1 ^{!ai hi;}

i a

2

b

21

' b i cd _

b

2

c 2i

2') Zu obigen Gleichungen werde a x + b y + c z =

0

hinzugenommen.

Die Bedingungsgleichung erhält man durch Einsetzen der aus 1') gewonnenen W erte in diese letztere G leichung; Sie w ird:

b i c f a, ci jai b f __

b

2

c

2 5

a

2

c2‘

1

c a

2

b 2|

und die linke Seite definiert zugleich, was unter

4 - a

S. 4.

ÜN TERRICH TSBLÄ TTER.

.Jahrg. VII. No. 1.

bei „zeilenweise!-“ B erechnung ver- a b c

ai bi ci a 2 ^{ha c2}

standen werden soll. [Das Cyklische werde auf dieser Stufe noch vermieden]. Es wird immer abwechselnd superponiertes Plus und Minus hinzugefügt, die Unterformen aber so ge­

nommen, wie sie bei E ortlassung der e r s t e n Zeile und der jedesm aligen Kolonne übrig bleiben.

ja b c Die Bedingung ist also: jai b i ci = 0 .

¡a

2

b

2

c

2

3') Aus der D arstellung der F orm : a b c

a i b i ci als Summe betreffender zwei dimen- a

2

b

2

c

2

sionaler Unterform en, m it + a ; — b ; + c der Reihe nach m ultipliziert, folgt schon, dass die V ertauschung zweier m it Indices versehenen Zeilen nach 3) die Form in ihren entgegenge­

setzten W e rt übergehen lässt. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass auch die V ertauschung der beiden ersten Zeilen dasselbe bew irkt,

a b c | lai b i ci a i h i c i und ;a b c a

2

b

2

c 2; a

2

b

2

c

2

dem Schlüsse in 3) nur durch einen F ak to r untei-' scheiden. Das Glied a bi c

2

muss aber in der zwei­

ten Form wegen des superponierten M inus: —bi a c

2

sein. Also t r i t t der F a k to r minus hinzu.

4') und 5') sind völlig analog 4) und 5) und die dort gegebenen Sätze sind also auch für drei dimensionale Form en giltig.

können sich

1")

jm i

ci

d i m 2

c

2

d

2

=

0

, m

3

cg

dß)

a i ci

d i

b i c i

d i;

a

2

c

2d 2 - f

y

j b 2

c

2d o 1

a

3

C

3d3 b s

C

3d 3

j

Ui c i d i x : y = +

b 2

c

2d 2

: —

=

0

übergeht, also a i c i di

a

2

c

2

d

2

jag c

2

dg

ergiebt,

V ertauschung der c m it den d x

a n a n

von

1

I a

11

—

1

; n —

1

i auf !

a nu

nur für analog

Es seien die Gleichungen:

a i x + b i y + c i z 4- d i u =

0

a

2

x b

2

y + c

2

z + d

2

u =

0

a

3

x + b

3

y + cg z

-4

d

3

u =

0

gegeben.

Man fasst a i x - j - b i y zu n n ; a

2

x -f b

2

y zu m

2

und a s x + b

3

y zu

1113

zusammen und h a t dann die Bedingungsgleichung

welclie in

durch Vertauschung der b m it den c w ird x : z, durch

erhalten

Es w ird hier eine w eitere A usführung nicht von nöten sein, da sie die Schüler selbstthätig machen. Es ist klar, dass sich alle Schlüsse auf beliebig viele lineare Gleichungen ausdehnen lassen. Es möchte aber eine solche D urchführung

andere als für Schulzwecke ihren W e rt haben.

Auch die M ultiplikation zweier Eormen ist m it Gleichungen ganz einfach zu bew erkstelligen, aber auch hier glaube ich mich beim kleinsten Umfange begnügen zu müssen.

Die Schlussweise in 5) m öchte allerdings schon die Bezeichnung eines schmalen Pfades, aber doch wohl noch n ich t die eines zu steilen Zuganges verdienen. Im Grunde genommen sind im Vorstehenden nur Gleichungen m it zwei U nbekannten besprochen und es Hesse sich daher auch alles bequem direkt verifizieren.

Zahlenbeispiele müssen ebenfalls geboten werden, [Zeilenweise und kolonnenweise Berechnung].

I I . B e h a n d l u n g d e r a n a l y t i s c h e n G e o ­ m e t r i e i m S c h u l u n t e r r i c h t e . Nach einer Vorbem erkung sollten drei A b­

schnitte zur B esprechung kommen, von denen der d ritte die K egelschnitte b ehandelt; doch will ich ihn in diesem Aufsatze fortlassen, da er sich von anderen D arstellungen hauptsächlich dadurch unterscheiden w ü rd e , dass ich eine Menge D etail übergehe, wovon einiges aller­

dings u nter A) als Aufgabe nachgeholt wird.

Dagegen ziehe ich den Raum in die B e­

trachtung, weil bei geforderter, genauer Aus­

dehnung der für die Ebene gewonnenen Sätze auf den Raum das Interesse des Schülers er- fahrungsgem äss bedeutend zunimmt und er th at- sächlich so nur einen Vorteil von der neuen Disziplin verspürt, abgesehen von der graph i­

schen Methode und den K egelschnitten, die aber als zum zw eiten Grad gehörig, erst später gelehrt werden.

V o r b e m e r k u n g.

Manche Fachgenossen sehen es als unzu­

lässig an, einen Satz, der fü r einen P u n k t in der Ebene des Dreiecks gilt, n u r für d e n Eall zu beweisen, dass der P u n k t etw a innerhalb des Dreiecks liegt und die Ausdehnung des B e­

weises zu übergehen. Prinzipiell haben sie R echt; in der Praxis aber drän gt oft die Z eit so sehr, dass m an, um überhaupt zu einem Abschlüsse und einer A brundung zu kommen, eine solche Z eitersparnis sich g estatten muss.

Freilich möge man es nich t m it Stillschweigen übergehen, sondern die Ausdehnung nur ver­

tagen und Sorge tragen, dass dies dem Schüler auch bew usst bleibt. Es kom m t aber hierbei ein wesentliches Moment hinzu. Eine solche zeitliche Zerlegung in einen vorbereitenden Teil und in eine spätere Vervollständigung ist päda­

gogisch von grossem Vorteile und, wie ich glaube, anzustreben. Man nehme also sin

(a

+

ß)

für spitzen W inkel

u + ß

durch und lasse die A usdehnung auf die ändern Q uadranten für eine spätere W iederholung zur Ergänzung übrig.

H ierin unterscheidet sich nam entlich der L ehr­

gang auf der U niversität von dem auf der Schule.

1901. No. 1.

_Zu r Me t h o d e d e s m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t s.

S. 5.

W enn icli also auch je tz t bei der analy­

tischen Geometrie mich zuerst nur auf den ersten Q uadranten (O ktanten) beziehe, so kann ich freilich das folgende nur als eine „Vorbe­

re itu n g “ angesehen wissen wollen. Die F est­

setzung der Halbaxen als positiv und negativ hat ja etwas W illkürliches an sich, die Be­

ziehung auf ein rechtw inkliges System etwas Erzw ungenes. Je w eniger man sich bei E r­

örterung dieser Schwierigkeiten aufhält, desto besser scheint es mir zu s e in ! Freilich man biete m ehrere Zahlenbeispiele und lasse die er- rechneten R esultate m it der F ig u r vergleichen, [a — (— b) = a H- b.] Man th u t auch gut, den Kreis, dessen M ittelpunkt 0 der K oordinaten­

ursprung ist, gleich vorweg zu nehmen und in den 4 Quadranten zu diskutieren ; man h at ja nach P y th a g o ra s: x

2

-j- v

2

= r

2

oder x

2

-j- y

2

—

X2 y* '

0

oder

r- r ■

¹

⁼

⁰

. was nachher v-

*) Dies ist auch die Stelle, eventuell Diophantiselie Gleichungen als Nebengebiet einzuschalten.

■y oder auch

— x — - +

wenn u :

b x — a y -(- a b =

0

, oder auch :

1

=

0

oder auch u x - f v y +

1

=

0

,

1

u n d v = : - r -

a b als zweckmässige

A bkürzungen eingeführt werden. [Man schreibe auch an die Gerade u x -]-■ v y 4 - 1 = 0 heran.]

Die a l l g e m e i n e F o r m : Ax + B y + C = 0

A B

geht nach Division m it C in

ft

x 4- - y + 1 = 0 über und in u x -}- v y -|-

1 0

wenn u = : A ;

B C ist.

x : y 1 :

a

c : |A B |

| : Ai Ci : [Ai Bi' Ellipse und Hyperbel 4- '' 5 — 1 =

0

über­

leitet. a ' ~ b '

Auf schiefwinklige Koordinaten, Verschie­

bung und D rehung des Systems geht man ge­

nauer erst bei den K egelschnitten ein.

Anfangs vermeide ich die W o rte : „Abscisse, Ordinate, K oordinaten“, sogar „analytische Geo­

m etrie“, sondern spreche vom horizontalen und j vertikalen Abstand, [im R a u m e : Front-, quer-, vertikal-] und betone nur, Teile der F igur be=

weglich zu denken, während die Axen fest,

j

bleiben, indem je tz t im Gegensätze zu I mehr U nbekannte als Gleichungen*) vorhanden sind [Begriff der variabeln Grössen],

A b s c h n i t t I.

1) V e r e i n i g t e L a g e von P u n k t P, dessen A bstände x und y sind, und der Geraden ©, | die durch ihre auf den Axen erzeugten A b­

schnitte a und b gegeben ist. Man ziehe OP [Fig.

1

], Die Fläche des Dreiecks OAB, näm­

lich a b ist durch die beiden Teildreiecke ausgedrückt, ' b x - f a y also: b x a y = a b,

Aus A x -| - B y -f- C = 0 und Ai x -[- Bi y -f~

Ci = 0 ergiebt sich der S chnittpunkt beider Linien

B

C Bi Cj| •

W ird Ai x -j- Bi y -f- Ci durch I

und As x -[- IL y -[- C

2

durch II abgekürzt, so w ird I -j-

l

II 0 durch den S chnittpunkt der Geraden I

0

und II 0 identisch erfüllt, also geht I +

X

II

0

durch diesen S ch nittpukt als „S trah l“ [Strahlenbüschel].

Analog: Ptm ktreihe und w eitere Folgerungen, falls man hierbei verweilen w ollte, besser er­

scheint es, sogleich zu

1

') überzugehen, zumal die Schüler diese Ausdehnung auf den Raum selbst- th ätig zu leisten pflegen. [Das „D ualistische“

w erde erst später bei R epetitionen erwähnt.]

1') V e r e i n i g t e L a g e von P u n k t P [Ab­

stände x ; y ; z] und Ebene E, die auf den Axen die A bschnitte a ; b ; c bildet. Man ziehe PO ; AP ; B P ; CP Fig. 2. Das T etraeder O A B C

c

zerfällt in 3 T eiltetraeder; hieraus ~ a b c b

- -

a b z +-

1

c a v + * b e x , schliesslich

b b “ b

u x + v y + w z + l =

0

, wenn u — : --- ; 1 8*

v - : — ; w ==»•": — * eingeführt werden etc.

b c

(Fortsetzung folgt.)

S. G.

Un t e r r i c h t s Bl ä t t e r.

Jahrg. VII. No. 1.

E in e e in f a c h e M e th o d e d e r B e s tim m u n g d e r W e ll e n lä n g e n d e s L i c h t e s

von B e r n h. H o f f m a n n (N ordliausen).

Zu einer annähernden B estim m ung d er W ellen­

längen einzelner L ic h ta rte n g e la n g t m an im U n te rric h t wohl zum eist durch B etrac h tu n g und M essung des G ri- m aldisehen F ransenhildes m ittels fa rb ig e r G läser od er sonstiger Farbenfilter. Die U ngenauigkeiten dieser B e­

stim m ung und ih re B eschränkung a u f einzelne F a rb e n ­ g ebiete kann m an aber um gehen und ein in m ehrfacher H in sic h t viel brauchbareres E rg eb n is erzielen, wenn m an die E rscheinung spektral zerlegt und der photo­

g raphischen P la tte an v ertrau t.

D azu ist n u r notw endig, aus dem d u rch den ersten S p alt erzeugten F ran sen b ild durch einen zweiten, zum ersten senkrecht gestellten S p alt ein schm ales S trahlen­

bündel herauszuschneiden u nd durch ein P rism a zerlegt a u f eine photographische P la tte fallen zu lassen. D er so entstehende sehr charakteristische F ran sen fäch er (B ild 3) ist hoi grösserer B reite des zw eiten Spaltes auch in einiger E n tfe rn u n g au f einem weissen Schirm sichtbar, fü r Hie A usm essung ab er durchaus ungeeignet, weil die Fransen nam entlich am blauen E nde des S pektrum s zu lichtschw ach sind. Dagegen g ie b t eine je nach B ed arf fü r die rote Seite des S pektrum s sen- sitierte P la tte das B ild in ü b erraschender Schärfe, zur V ollkom m enheit fehlen ih r n u r die Fraunhoferschen L in ien . Die müssen vielm ehr durch den ersten S p alt und das P rism a gesondert au f einer der ersten in der L ag e entsprechenden zw eiten P la tte d argestellt w erden.

K o p ie rt m an nun beide P la tte n ric h tig übereinander, so erh ält m an ein zur B estim m ung von W ellenlängen je d e rz e it fertig e s B ild (4), wenn ausserdem noch die . B reite des ersten Spaltes und die G esam tlänge des

L ichtw eges von ihm bis zur P la tte gemessen sind.

lie b e r die A n o rd n u n g des V ersuchs g estatte ich m ir folgende B em erk u n g e n :

Z u r H erstellu n g re in e r F ran sen b ild er is t an d er E in trittsstelle des vom H elio staten kom m enden Sonnen­

lichts in den F ensterladen ein V orspalt von 0,3 bis 0,5 cm B reite anzubringen und das Büschel erst in etw a 2 m E n tfe rn u n g a u f den zuverlässig gearbeiteten H au p tsp alt fallen zu lassen; beide S palte stellt m an zweckm ässig horizontal. Um zerstreutem T ageslicht den E in tr itt zu w ehren, leitet m an den S tra h l wie bei allen d erartig en A rb eiten d u rch einen aus P appe h er­

gestellten, innen geschw ärzten L ichtschacht.

E in e S p altb reite von 0,0317 cm ergab ohne L ic h t­

filter au f einer sensitierten P la tte (V ogel-O bernettersehe E o sin p latte von Perutz-M iinchen) die d urch B ild 1 d a r­

g estellte Beugtm gserscheinung. Die B elichtungsdauer b e lä u ft sich h ie r b e i, g u tes, volles Sonnenlicht voraus­

g esetzt, a u f etw a 5 S ekunden, dabei erscheint m eist die M itte des hellen H a u p tstre ife n s, wie auch im B ilde 1, bereits überbelichtet. U n ter A nw endung einer 0,3 cm dicken S chicht einprozentiger K alium dichrom at- lösung als F arb en filter erh ält m an das Bild 2. Die schon schärfer g etren n ten F ran sen sind b re ite r u nd entsprechen etw a d er W ellenlänge d er D -L in ie ; die B elichtungsdauer b eläu ft sich au f 20 bis 30 Sekunden.

N ich t fü r D sensitierte P la tte n sind fü r diese E rsch ei­

nung n atürlich unverw endbar.

Z u r prism atischen Z erlegung des M ischfarben- bildes (1) lässt m an es in der E n tfe rn u n g von einem halben M eter au f den zw eiten vertikalen S p alt von 0 ,1 —0,2 cm B reite fallen, d e r u n v errü ck b ar aufzustellen

ist und zweckmässig einen grossen Schirm zum Schutz der P la tte trä g t. D icht h in te r diesem steh t das P rism a m it senkrechter brech en d er K a n te und erst in einem A b stan d e von etw a 2 m folgen A uffangescliirm o d er P la tte . Die B elichtungsdauer b e trä g t h ie r, wenn m an eine grössere Zahl von Fransen auf die P la tte bannen will, etw a eine M in u te ; diese Z e it kann ab er erheblich überschritten w erden, und m an erh ält noch m eh r F ra n ­ sen, als das zur A usm essung der S treifen b reite wohl- geeignete B ild 3 aufw eist.

Die E ig en tü m lich k eit der E osinplatten, zwischen E u n d F w eniger em pfindlich zu sein als zwischen D und E , g e sta tte t von vornherein, die ungefähre L ag e auch d er ü brigen L in ien in diesem B ilde zu bestim m en.

Z u genauer F estlegung d er L inien ist ab er die A uf­

nahm e des durch den nunm ehr vertikal zu stellenden ersten S p a lt und das in seiner L ag e belassenen P rism a entstehenden S pektrum s notw endig. U m seitlichen V erschiebungen des Spektralbildes vorzubeugen, lässt man den zw eiten S p alt zunächst stehen, v eren g t den ersten au f die zu r E rzeugung scharfer L inien erfo rd er­

liche W e ite u n d überzeugt sich, dass die M itte des dabei entstehenden D iftraktionsbildes den zw eiten S p a lt trifft. E rs t dann en tfern t m an den zw eiten S p alt und ste llt die K ollim atorlinse genau central in den L ic h t­

w eg ein.

S ta tt dieses m it einigen Schw ierigkeiten verknüpften V erfahrens kann m an auch durch P arallelstellen und V erengern b eid er S palte ohne K ollim atorlinsc die L age d er H au p tlin ien a u f einer d er P la tte gleichenden T afel von K a rto n p a p ie r andeuten und diese L in ien au f die fe rtig entw ickelte und getro ck n ete P la tte ü bertragen.

In dem d u rch U ebereinander-K opieren des Fransen- fächers und des S p ek tru m s erhaltenen B ilde 4 sind die L in ien D, E , F künstlich v erstärk t, um sie fü r die D ruckvervielfältigung w iderstandsfähig g enug zu m achen.

W ie diese beiden B ild er (3 und 4) zeigen, is t die A nzahl d er zu r genauen A usm essung d er S treifen b reite geeigneten F ächerfransen sehr beträchtlich. M an th u t also g u t, die G esam tbreite von je 10 solcher S treifen zu messen und die M essung solcher G ruppen fü r je d e L in ie so o ft vorzunehm en, als die S ic h tb a rk e it der S treifen erlaubt. Das kann m it einem Z irk el und einer a u f ih re R ich tig k eit gep rü ften M illim eterskala geschehen, bequem er is t eine G lasskala (Zeiss-Jena), die auch sonst zu feineren M essungen an d rer A rt unentbehrlich ist.

Dass m an a u f diese W eise d rei Stellen sicher gew innt, lie g t au f der H a n d ; die S chätzungfehler b etragen stets n u r wenige E in h eiten d er d ritte n Stelle.

E benso ist die d ritte S telle bei d er am besten d u rch dünne H olzleisten vorzunehm enden M essung d er A bstände vom ersten S p a lt zum P rism a und von diesem zur P latte, also des G esam tlichtw egs, sicher. S chw ieriger ist die Feststellung d er Spaltw eite. Präzisionsspalte m it T rom m elablesung sind durchaus n ic h t im m er zu v er­

lässig, ausserdem wohl n u r seltene G äste v in Schul- sam m luugen, also b leib t n u r d er W eg d e r m ikroskopischen A usm essung, m it seinen Schw ierigkeiten.

D er zu erw artende m ittle re G esam tfehler b e tr ä g t nach m einen E rfah ru n g en etw a 5 °/oo b le ib t also er­

h eblich u n ter der G renze, die bei d er geringen Z uver­

lässigkeit unserer S chulapparate im A llgem einen im U n te rric h t als zuverlässig gilt. D afür b ie te t aber d e r F ra n s e n fä c h e r, den m an fü r den U n te rric h t beliebig vervielfältigen kann, ein sehr anschauliches B ild der relativ en G rösse d er W ellenlängen zwischen D und N..

1 9 0 1 . N o . 1. Me t h o d e d e r Be s t i m m u n g d e r We l l e n l ä n g e n d e s Li c h t e s. S . 7 .

Dass m an durch Sensitioren der H a tte m it E rythrosin und Cyanin auch den fehlenden T eil des K otspektrum s erhalten kann, scheint m ir zweifellos, indessen habe ich E rfah ru n g en nach dieser Seite hin ebensow enig gem acht,

wie bezüglich d e r F rage, ob es n ich t zw eckm ässiger ist, im L ichtw eg P rism a und H auptspalt zu ver­

tauschen. Ich behalte m ir vor gelegentlich d arü b er zu berichten.

F ig. 3. Fig. 4.

ÜN TERRICH TSBLÄ TTER.

Jahrg. VII. No. 1.

G e o m e tr is c h e s a u s d e r O b e r s e k u n d a .

V o n R u d o l f B ö g e r i n H a m b u r g .

1. Die folgenden B em erkungen w enden sieh an die­

jen ig en K ollegen, die von d er P lan im etrie, w ie sie uns von den A lten ü b erliefert ist und im w esentlichen noch in unsern T ertien g eleh rt w ird , n ich t b efried ig t sind.

Die M ängel d er P lanim etrie, die im G runde daher rü h ren , dass sie eine R eihe von besondern Füllen all­

gem einer Sätze zu bew eisen h a t, w erden sich kaum vollständig beseitigen lassen; es w ird sich deswegen um die F ra g e handeln, ob sich n ich t durch A ufdeckung d er allgem einen Sätze au f einer höhern S tufe die P lan i­

m etrie zu einem befriedigenden A bschluss auch schon fü r die Schule bringen lässt. A m vollkom m ensten lässt sich dies Ziel in d er U n terp rim a rein geom etrisch er­

reichen (wie ich in m einem L eitfad en Elemente der Geo­

metrie der Lage zu zeigen versucht habe). A b er schon in d er O bersekuuda kann diese E rg än zu n g v o rb ereitet w erden, da m an b ereits au f dieser Stufe, indem m an noch die planim etrische Beweis fo rm beibehält, den Inhalt d er allgem einen Sätze, w enigstens für den K reis, giebt.

Um das Ziel dieser B em erkungen an einem Beispiel zu erläu tern , sei au f den planim etriscken Satz hingew iesen:

S chneidet ein S trahl des P unktes A einen K reis in den P u n k ten K und L , so ist das P ro d u k t A K . A L konstant.

U nw illkürlich d rä n g t sich die F ra g e a u f: W elche B e­

ziehung besteht zwischen dem K reis un d einem Strahl, der ihn n ich t schneidet? Die A ntw ort, welche die P lan i­

m etrie (im engern Sinne) n ic h t zu geben verm ag, findet m an (15) durch eine A usgestaltung des K apitels, das in den L eh rp län en bezeichnet w ird als L eh re von den harm o­

nischen P u n k ten und S trah len , C hordalen und A ehnlich- keitspunkten. Soll dies K ap itel n ich t des innern Z u ­ sam m enhangs entbehren, so müssen ihm , wie es auch in den L ehrbüchern geschieht, einige Sätze über P o l und P olare h inzugefügt w erden. N u r diese erm öglichen eine schärfere Fassung des Begriffs der Chordale, und die L e h re von d er C hordale fü h rt von selbst zu einer E r ­ w eiterung d er A pollonischen B erührungsaufgabe, sow eit u n te r den gegebenen S tücken zwei P u n k te od er zwei T angenten enthalten sind.

Diese A usdehnung d er A pollonischen A ufgabe auf

„ im ag in äre“ S tücke habe ich als besondere Fälle von Sätzen ü b e r das P o larfeld zw eiter O rdnung bereits in m einem L eh rb u ch d er Ebenen Geometrie der Lage gegeben. Dass sich die d o rt gegebenen K o n stru k ­ tionen aber auch m ühelos au f elem entarem W ege bew eisen lassen, w ird erst im folgenden gezeigt. Da diese Z eitsch rift n ich t der O rt ist, eine D arstellung in L eh rb u ch fo rm zu geben, so sind die allgem ein bekannten einleitenden Sätze ohne B egrü n d u n g gegeben. Ih re A ufzählung w ar n ö tig , um den V erallgem einerungen der P lanim etrie, au f die allein es h ier ankom m t, ihre rich tig e Stelle anzuweisen.

2. Als G rundlage der neuern G eom etrie kann m an den Satz des M enelaus wählen. — A us ihm w erden u n m ittelb ar ab g eleitet

3. D er Satz des Ceva;

4. D er Satz üb er die harm onischen P u n k te am V iereck (aus ihm der Satz ü b e r die harm onischen S tra h le n );

5. D er Satz des Desargues ü b er perspektiv liegende D re ie c k e ;

6. D er Satz des Pascal ü b er das K reissechseck. — W ich tig er noch als d er allgem eine Satz des Pascal ist seine B eschränkung a u f das V iereck:

7. Die T angenten zw eier E cken eines K reisvierecks schneiden sich in einem P u n k te d er zugeordneten D iagonallinie (wenn m an u n te r „zugeordneter“ D iagonal­

linie diejenige versteht, die die beiden n ic h t in der Seite liegenden D iagonalpunkte verbindet).

A u f den S ätzen 4 u n d 7 lässt sich aufbauen 8. D ie Polarenlheorie. — Diese g ieb t m an am besten gleich in der allgem einsten (auch für K egel­

schnitte geltenden) F o rm , indem m an ausgeht von der folgenden K o n stru k tio n : D ie G erade, welche den P u n k t P m it einem beliebigen K reisp u n k te S verbindet, schneidet den K reis noch in einem zw eiten P u n k te S , ; zeichnet m an den von P durch S und Sj harm onisch g etren n ten P u n k t U und ferner den S c h n ittp u n k t T der T angenten in S und S t, so heisst die V erbindungslinie U T die P o lare des P u n k tes P. — W egen des (a u f N r. 4 und 7 sich stützenden) Beweises, dass die so k o n stru ierte G erade allein von d e r L ag e des P unktes P , n ich t aber von der AVahl des K reispunktes S abhängt, d a rf ich wohl a u f § 4 m eines L eitfadens verweisen.

D ieser Beweis lässt sich zusam m enfassen in den S a tz : In d er P o lare des P unktes P liegen

a) die von P durch den K reis harm onisch getrennten P u n k te ;

b) die S ch n ittp u n k te derjenigen T angentenpaare, deren B eriilirungssehnen durch P g e h e n ;

c) zwei D iagonalpunkte jed es K reisvierecks, dessen d ritte r D iagonalpunkt P ist.

Z u sa tz. L ie g t d er P u n k t P ausserhalb des K reises, i so kann m an zur K o n stru k tio n d e r P olare die T angenten

| benutzen; dann e rg ie b t sich:

a) G ehen d urch P zwei T an g en ten , so ist die V e r­

b indungslinie d e r B erüh ru n g sp u n k te die P o lare;

b) D ie P o lare eines K reispunktes ist seine T angente.

9. A us den drei Teilen von N r. 8 ergeben sich noch drei K onstru k tio n en der Polare. W ä h lt m a n die letzte, so e rg ie b t s ic h , wenn m an als einen S trah l des P unktes P den D urchm esser w ählt, (weil die drei H öhen eines D reiecks d u rch einen P u n k t gehen) d e r L e h rs a tz : Die P o lare und d er D urchm esser eines P u n k tes stehen a u f einander senkrecht.

10. N en n t m an einen P u n k t den P ol ein er G erade, wenn die G erade die P o lare des P u n k tes ist, so kann m an nach N r. 9 den P o l einer G erade konstruieren, in ­ dem m an au f dem D urchm esser, w elcher au f der G erade senkrecht steht, den von d er G erade d urch den K reis harm onisch g etren n ten P u n k t zeich n et, und den Satz bew eisen: Die P o laren der P u n k te einer G erade gehen d urch einen P u n k t, den Pol der G erade (E lem ente N r. 39).

11. Konjugierte Punkte. Zwei P u n k te heissen hin­

sichtlich eines K reises k o n ju g iert, wenn d er eine in der P o lare des ändern lieg t. — I n einer G erade g ie b t cs d ah er zu jed em P u n k te einen ihm k o njugierten P u n k t.

D er In b e g riff d er k o n ju g ierten P u n k tp a a re ein er G erade heisst die P unktinvolution dieser G erade.

12. Z um uneigentlichen P u n k t einer G erade p er­

h ä lt m an den k onjugierten (den F luchtpunkt d er G e­

rade) , indem m an (9) vom K reism ittelp u n k t 0 a u f p das L o t O F fällt.

13. S ind A B ; X Y vier harm onische P u n k te und 0 die M itte von A B . so ist

0 X • 0 Y = 0 A

2

—

A usdrücklich sei d a ra u f hingew iesen, dass m an, um allgem ein gültige Beweise zu erhalten, im G egen­

satz zu den m eisten L eh rb ü ch ern vom Satz des M ene- laus an, die S treck en n ich t bloss ih rer G rösse, sondern

1901. No. 1

_Ge o m e t r i s c h e s a u s d e r Ob e r s e k u n d a.

S. 9.

auch ih re r R ichtung nach zu unterscheiden hat, sodass, welches auch die Lage d er P u n k te A B C ist, die G leichung

A B + B C = A C

ric h tig ist. liei dem angeführten Satz h a t m an z. B. aus X A : N B = — Y A : Y B zu bilden :

(X 0 + OA) (XO + 015) -)- (YO + OA) (YO + OB) =

0 und aus dieser G leichung v erm ittelst der w eitern Vor­

aussetzung

0A = — OB

den L ehrsatz abzuleiten.

14. Potenz einer Gerade. I s t A (Fig. 1) ein be­

liebiger P u n k t der G erade p, so erh ält m an (9; 10) den k onjugierten B , indem m an von dem Pol P

der G erade p au f O A das Lot füllt. A us . d er Aelin- lich k eit d er D reiecke F B P und F A 0 erg ieb t sich FA • F B = — F P • FO = - (FO + O P) FO = — FO 2 + O P • O F. Das P ro d u k t F A - F B ist,a lso k o n stan t; es heisst die P otenz (der Involution) d er G erade p. B e­

zeichnet m an es d u rch (p)2 und b ea c h te t noch (13), dass O P • 0 1 ' = r? ist, so h a t m an

(p)2 = F A • FB = - F O 2 + r 2.

Z usatz. Eine Punktinvolution ist gegeben, wenn ih r F lu c h tp u n k t (12) und ih re Potenz, b ek an n t ist.

15. Potenz einen Punktes. Is t A (F ig. 1) ein be­

liebiger P u n k t, p ein b elieb ig er S trahl von A , F d er F lu c h tp u n k t von p und B d er dem P u n k te A in (p)2 konjugierte, so heissc das P ro d u k t A F • A B die Potenz des P unktes A. E s ist

A F • A B =-= A Q ■ A 0 = (AO + OQ) AO = AO2 — OQ • OA.

Bezeichnen w ir die Potenz, des P u n k tes A durch so ist also

(A)2 = A F • A B = AO2 — r2 • -

D ieser Satz ist die V erallgem einerung des in der E in leitu n g erw ähnten Satzes. S chneidet näm lich die G erade p den K reis (Fig. 2) in K und L , so ist F die

AZ

-Mitte von K L und B von A durch K und L harm o­

nisch g e tre n n t (8 a), d aher

A F ■ A B = A F (A F + F B ) = F A 2 - FA • F B = (13) A F 2 — F L 2 = (A F + F L ) (A F + F K ) = A L A K .

Z usatz. A us (p)2 = F A • F B (14) und (A )2 = A F • A B folgt (p)2 + (A )2 = F A • F B + A F • A 11 =

F A (FB + B A) — F A 2.

10. Chordaie. D er M ittelp u n k t des K reises ist der Pol der uneigentlichen (unendlich fernen) Ge­

rad e (8 a). I s t A ein P u n k t dieser uneigentlichen Ge­

rade, so schneidet das im K reism ittelp u n k te 0 au f AO errich tete L o t die uneigentliche G erade in dem konju­

gierten P u n k te B. K o n stru ie rt m an den dem P u n k t A

hinsichtlich eines zw eiten K reises 0 , k onjugierten P u n k t, so erh ält m an denselben P u n k t, weil die au f AO un d AO, errichteten L ote einander p arallel sind, m it ändern W orten, sich in dem selben P u n k t der uneigentlichen G erade schneiden. A lle K reise erzeugen d aher in der uneigentlichen G erade dieselbe Involution.

D efinition: E in e G erade, in w elcher zwei K reise dieselbe Involution erzeugen, heisst eine Chordaie der beiden K reise. '

L eh rsatz: Zw ei K reise haben stets (ausser der uneigentlichen noch) eine eigentliche Chordaie.

Erste K onstruktion der Chordaie. Man g eh t von einer beliebigen G erade p (Fig. 3) au s; in dieser

erzeu g t d er K reis 0 eine In volution (p)2, d er K reis 0 , eine Involution (p),2. M an zeichnet von. (p)2 und (p),2 die F lu ch tp u n k te F und F „ indem m an (12) von 0 und 0 , au f p die L o te fällt, und k o n stru iert (14) zu F den in (p ),2 konjugierten P u n k t G , und zn F , den in (p)2 ko njugierten P u n k t G. Das von d er M itte M d er S trecke G G , au f die Z entrale 0 0 , gefällte L o t M H is t die C hordaie d er beiden K reise.

Beweis : (M )2 = (15 Z) M F 2 - F F , • F G = M F 2 - (F M + M F ,) (F M - f MG) = - M F , • F M — F F , • -MG = M F • M F , + i/s F F ,- G G ,.

B ild et m an die P otenz des P unktes M fü r den zw eiten K reis, so erh ält m an denselben W ert. D er P u n k t M h a t also fü r beide K reise dieselbe P o ten z;

d aher h a t das durch ihn gehende L o t der Z entrale fü r beide K reise dieselbe In v o lu tio n ; denn (15 Z) fü r die beiden K reise is t die Involution dieser G erade TIM2 — (IM)2.

Zweite K onstruktion der Chordaie. Man g eh t von einem beliebigen P u n k te P (Fig. 4) aus, zeichnet zu

diesem die P olare p fü r den ersten K reis O und die P olare p , für den zweiten K reis 0 ,. ] '| V erbindet m an den S ch n ittp u n k t P , von p und p , m it P, so ist das von d er M itte M d er S treck e P P , au f die Z en tra le gefüllte L o t M H die Chordaie.

B ew eis: B ezeichnet m an den F usspunkt des von 0 a u f die G erade P P , gefällten L o tes durch F , so is t (15 Z) die Potenz des P unktes M fü r den ersten K reis

Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. VII. No. 1.

(IM)2 = M F 2 - F I>. F F , = M F 2 - (F M + M P) (FM •+■ M P ,) = M F - — (FM + M P) (F M — M P ) =- M P 2.

Da sicli fü r den zw eiten K reis derselbe W ert der P o ten z von M ergiebt, so is t auch (15 Z) die Potenz d e r G erade M H fü r beide K reise dieselbe.

17. Im aginäre Stücke. Is t die P o ten z einer Invo­

lution positiv, so haben F A und F B im m er dasselbe V orzeichen. A u n d B liegen also im m er a u f derselben S eite des F lu chtpunktes F . E s g ie b t d aher in diesem F all zwei (O rdnungs-) P u n k te K und L , fü r welche F K = — F L gleich der W urzel aus der positiven Potenz ist. F ä llt daher A in den O rdnungspunkt K (o d er L ), so fällt auch B in K (oder L ). F ä llt ab er ein P u n k t m it seinem k o njugierten zusam m en, liegt er m it ändern W o rte n in seiner P olare, so is t er (8 Z) ein K reisp u n k t.

F ü r den F all also, dass die Potenz einer Invo lu tio n positiv ist, kom m t die B edingung, dass ein K reis in ein er G erade eine gegebene In volution erzeugen soll, d a ra u f hinaus, dass der K reis d u rch zwei gegebene P u n k te gehen soll. J e d e A ufgabe, bei d e r ein K reis d u rch zwei P u n k te gehen soll, lässt sich dem nach ver­

allgem einern zu einer A ufgabe, bei der d er K reis eine gegebene P u nktinvolution erzeugen soll.

A nm erkung. AVeil eine Involution, wenn sic positiv ist, zwei K reispunktc v e rtritt, so ersetzt m an auch all­

gem ein .,In v o lu tio n “ durch „zwei K reisp u n k te“ und n en n t diese, w enn die Potenz d er Involution negativ ist, im aginär. D as AVort im ag in är aber, dem keine V orstellung entspricht, w ird besser verm ieden.

18. A u fg ab e: E in e n K reis zu zeichnen, der d urch einen gegebenen P u n k t L g eh t und in einer gegebenen G erade p eine gegebene In v o lu tio n erzeugt (d er durch drei gegebene P u n k te geht).

K o n s tru k tio n : W ir errichten im F lu ch tp u n k te F (F ig . 5) a u f p das L ot, w elches die durch den gegebenen

P u n k t L zu p gezogene P arallele in Q schneidet, und ziehen durch Q zu L F die P arallele, w elche p in A schneidet. V on dem P u n k t B, w elcher dem P u n k t A in der Involution (p)3 k o n ju g iert ist, fällen w ir au f L F das L ot, welches (L F in K und) das in A au f p e rric h te te L o t in L , schneidet. D er üb er dem D urch­

messer L L , geschlagene K reis (d er d u rch K geht) ist d e r verlangte.

Bew eis: Die Potenz des P u n k tes B für den ge­

zeichneten K reis ist (15)

(B)3 == B K . B L , B F . BA = B F (B F + F A ) = BF-’ — F A . F B ;

folglich (15 Z) is t die d u rch den gezeichneten K reis in p bestim m te In volution (die m it d er gegebenen übereinstim m ende) F A . FB .

19. A u fg a b e : E inen K reis zu zeichnen, d e r eine gegebene G erade 1 b e rü h rt und in einer gegebenen G erade p eine gegebene Involution erzeugt (durch zwei gegebene P u n k te geht).

K o n stru k tio n : S chneidet die T an g en te 1 (F ig . ö)

die G erade p in A und ist B d e r dem P u n k te A in d er gegebenen Involution (p )2 k o n ju g ierte P u n k t und F d er F lu c h tp u n k t von p, so zeichnet man zu A F und A B die m ittlere P roportionale, die m an von A aus auf 1 ab träg t. I n dem erhaltenen E n d p u n k t E (oder E ,) zeichnet m an a u f 1 die Senkrechte, welche das im F lu c h t­

p u n k t F au f p errich tete L o t in O (O j) schneidet. D er m it O E (Oj E [) um 0 (O.j) geschlagene K reis ist der verlangte.

Bew eis: D ie Potenz des P unktes A fü r den ge­

zeichneten K reis ist (15)

(A )3 = AO 2 — O E 2 = A E - = A F . A B ; folglich (15 Z) ist die P otenz d er G erade p :

p3 = F A 3 - (A ,2 == F A 2 — A F • A B = F A (F A A B) = F A • FB .

A nm erkung. Die A ufgabe h a t keine Lösung, wenn A F und A B entgegengesetzte R ich tu n g en haben (da es in diesem F alle keine m ittle re P ro p o rtio n ale zu A F und A B giebt).

20. A u fg a b e : E inen K reis zu zeichnen, fü r den eine Involution p2 und ein P u n k t ü des im F lu c h t­

p u n k t F a u f p errich teten L otes als M ittelp u n k t ge­

geben ist.

K o n stru k tio n : M an v erb in d et 0 m it einem b e ­ liebigen P u n k t A von p u nd fällt von dem dem P u n k te A in (p)2 k o njugierten P u n k t B au f OA das L ot, welches O F in G schneidet. D ie m ittlere P ro p o rtio n ale zu OG und O F ist d e r R adius des gesuchten K reises.

B ew eis: F ü r den gezeichneten K reis ist die Potenz d e r in p erzeugten In v o lu tio n (14)

- O F 2 -|- O F • OG — O F (FO + OG) = - FO • F G = F A • F B .

A nm erkung. H ab en OG u nd 0 1 ' entgegengesetzte R ich tu n g en , so h a t die A u fg ab e keine Lösung (der K reis w ird „ im ag in är“ ; das ihn v ertreten d e P o larfeld a b er lässt sich zeichnen). Die angegebene B estim m ungs­

weise eines K reises .ist, w ie h ie r n u r nebenbei erw äh n t w erden k a n n , die allgem einste u n d darum frucht­

b a rs te ; aus ih r fliessen im G runde die säm tlichen hier gegebenen K onstruktionen.

21. A u fg ab e: E in en K reis zu zeichnen, der in einer gegebenen G erade eine gegebene Involution erzeu g t und einen gegebenen K reis b e rü h rt (d er durch zwei gegebene P u n k to g eh t und einen gegebenen K reis b erü h rt).

K o n s tru k tio n : M an k en n t die Involution, welelie d er gesuchte K reis in p erzeugt, und ebenso die I n ­ volution, die d er gegebene K reis in p in d u ziert. A us beiden erh ält m an durch die erste in N r. 1G angegebene K o n stru k tio n den T u n k t M d e r C hordaie d er beiden K reise. D a diese C hordaie auSserdem eine T an g en te des gegebenen K reises sein soll, so ist sic durch M bestim m t. K o n stru ie rt m an ihren B erü h ru n g sp u n k t L, so ist noch die A ufgabe 18 zu lösen.

1901. No. 1.

Ge o m e t r i s c h e s a u s

22. Konjugierte Strahlen. D efinition: Zwoi S trahlen heissen hinsichtlich eines K reises konjugiert, wenn der

■eine durch den P ol des ändern geht. — I s t P ein be­

lie b ig e r P u n k t und a ein beliebiger S trahl von P, so lieg t (10) der Pol B von a in d e r P olare p von P ; P B = b ist d er dem S trah le a von P konjugierte. Man e r h ä lt also die säm tlichen konjugierten S trahlonpaarc e in es P u n k tes P , w enn m an aus P die Puuktinvolution -seiner P o lare p projiziert. Dio beiden Strahlen f und u von P , welche den F lu c h tp u n k t und den uueigent- lich en P u n k t von p projizieren, stehen au f einander -senkrecht (9 ); k en n t m an ausser diesem rechtw inkligen S trah len p aarc fu von P noch irgend ein zweites a b , so is t die Strahleninvolution ( P ) s von P bestim m t (14 Z).

F ä llt ein S trahl 1 m it seinem konjugierten zu­

sam m en, g eh t also ein S trahl durch seinen Pol, so ist

•er eine T angente des K reises (17). — Z eichnet m an zu -einer G erade p den P ol P für den K reis 0 und den P ol P j fü r deu K re is 0 ,, so ist die V erbindungslinie T’F i= = P i d er G erade p für beide K reise konjugiert.

D efinition: E in P u n k t, in dem zwei K reise dieselbe

■Strahleninvolution erzeugen, heisst ein A ehnlichkeits- p u n k t (die B egriffe C hordaie und A chnlichkeitspunkt s in d hiernach dual).

L eh rsatz: Die beiden Punkte, welche die Z en­

trale zweier K reise nach dem V erhältnis der R adien teilen, sind A ehnlichkeitspuukte.

B ew eis: T eilt S die Z entrale 0 0 , nach dem V er­

hältn is r : r , (oder — r : r , ) und ist p eine beliebige

■durch S gehende G erade, so erhält m an dio Pole von p, Indem m an von den M ittelpunkten a u f p die Lote G E und 0 , F , fällt, welche die K reise in den P unkten C D und C, D, schneiden und a u f diesen L o ten die von p durch die K reispunkte CD und Cj 1), harm onisch g etren n ten P unkte P und P , zeichnet; die d er G erade p für beide K reise gem einsam konjugierte G erade P P , = p , g eh t aber durch S , weil die V erbindungs­

linien CO, und DD, durch S gehen.

Z usatz: Ist p (Fig. 7) eine beliebige (n ich t durch

8 gehende) G erade und p , die ih r für beide K reise k onjugierte, so w erden p und p, durch die Aclin- liehkeitspunkte S und S[ harm onisch getrennt.

B ew eis: Die vier G eraden CC,, DD,, CD,, C, D bilden

•ein V ierscit, von dem S und S,, C und D, C, und D, j e zw ei Gegcneoken sind. Die R ich tig k eit der B ehauptung folgt aus dem S a tz : Die drei P u n k te, welche von einer beliebigen G erade durch j e zwei Gcgencckcn eines V icrscits harm onisch g e tre n n t sind, liegen in einer G e ra d e .

23. A ufgabe: E inen K reis zu zeichnen, der in einem gegebenen P u n k te P eine gegebene S trahlcn- involution erzeugt, und durch einen gegebenen P u u k t

L g eh t (der zwei gegebene G eraden berü h rt und durch einen gegebenen P u n k t geht).

K o n stru k tio n : Die beiden konjugierten Strahlen

; von (P )-, welche au f einander senkrecht stehen, seien f und u (Fig. 8 ;; dem S trah l P L = c sei in (P)'2 der

DER ÖBERSEKUNDA. S. 11.

S trah l c, konjugiert, w elcher das in L a u f P L errich tete L o t in A schneiden m öge. Von den beiden Parallelen, die m an durch L zu f u nd ti ziehen kann, schneidet im m er die eine die S trecke P A aussen, die andere innen. M an w ählt diejenige (in d er F ig u r die Parallele zu u), welche P A aussen (in D) schneidet. M au zeich­

n e t die m ittlere P ro p o rtio n ale D E zu DA und D P und fällt von E au f P L das L o t, welches f in dem M ittel­

punkte 0 des gesuchten K reises schneidet.

Bew eis: Den N achweis, dass c, d u rch den Pol von c geht, fü h rt man dadurch, dass m an z eig t, dass E d er Pol von c, also (8 Z) E L eine T angente, also E L senkrecht au f OL ist. W ir bezeichnen die P unkte, in denen f von LD, LA, L E geschnitten w ird, durch F , P j, 0 , ; fern er verbinden w ir den P u n k t D1, in w elchem EO die G erade FD schneidet, m it P.

D L : DD, - DA : D E — D E : D P ; folglich PD, parallel E L ; folglich

F P : F 0 , FD , : FL = FO : F l ’, ;

folglich FO . F O , = F F . F P , ; folglich, da L P , L L P . auch LO, i L O , m ithin LO, eine T angente des ge­

zeichneten K reises. Da fern er E O die M itte lse n k re c h te der vom K reis au f P L ausgeschnittenen Sehne ist, so g eh t auch die T angente des zweiten E ndpunktes dieser Sehne durch E ; E ist d ah er d er Pol von P L (8 Z).

A nm erkung. D a sich D E von D aus auch in ent­

gegengesetzter R ich tu n g ahtragcu lässt, so h a t die A uf­

gabe stets zwei Lösungen.

24. A ufgabe: E in en K reis zu zeichnen, der in einem gegebenen P u n k t P eine gegebene S trah len ­ involution erzeugt und eine gegebene G erade 1 be­

rü h r t (der drei gegebene G eraden berührt).

K onstruktion : Die beiden au f einander senkrecht stehenden Strahlen u und f Fig. 9) von (P /2 mögen die gegebene T angente 1 in Q und Q, sch n eid en ; ferner möge dem S tra h l c von (P )J, w elcher 1 in dem un- eigentlichen P u n k te U schneidet, der S tra h l c, homolog sein, w elcher 1 iti A schneidet. M an fällt von P auf 1 das L o t PD und zeichnet zu AD und A Q die m ittlere Proportionale, welche m an a u f 1 von A aus nach beiden Seiten hin ab träg t. Das in dem E n d p u n k t E (oder E ,) auf 1 errich tete L o t schneidet u in dem M ittelpunkte 0 des gesuchten K reises, der den H albm esser O E hat.