Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 8, No. 1

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c f é / ó T

J a h rg a n g V III.

U nterrichtsblätter

1902. Nr. 1.

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O r g a n d e s V e r e i n s z u r F ö r d e r u n g

d e s U n t e r r i c h t s i n d e r M a t h e m a t i k u n d d e n N a t u r w is s e n s c h a f t e n .

B egründet u n ter M itw irkung-von

B e r n h a r d S c h w a l b e , h erausgegeben von

F . P i e t z k e r , P ro fe sso r am G ym nasium zu N ordhausern V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 3 0.

R e d a k tio n : A lle f ü r die R e d a k tio n b estim m ten M itteilu n g en und S en d u n g en w erden n u r an d ie A dresse des P ro f. P i e t z k e r in N o rd liau sen erb eten .

V e re in : A n m eld u n g en und B e itra g s z a h lu n g e n f ü r den V erein (3 M k. Ja h re s b e itra g o der e in m a lig e r B e itra g von 45 Mk.) sind an den S ch atzm eiste r, P ro fesso r P r c s i c r in H an n o v er, L in d e n e rstra sse 47, zu ric h te n .

V erlag: D er B e z u g s p r e i s fü r den J a h rg a n g v o n 6 N um m ern ist 3 M ark, fü r ein zeln e N um m ern 00 P f. Die V e re in sm it

g lie d e r e rh a lte n die Z e its c h rift u n e n tg e ltlic h ; frü h e re J a h r - g ä n g e sin d d urch d e n V e rla g bez. ein e B u c h h d lg . zu b ezieh en . A n z e i g e n k o ste n 25P f. fü r die 3-gesp. N o n p a r.-Z e ile ; bei A ufgabe h a lb e r od. g a n z e r Seiten, sow ie bei W ied erh o lu n g en E rm ä ssig u n g . — B e ilag e g eb ü liren n a c h U e b e re in k u n ft.

N a c h d ru c k d e r e in zeln en A rtik e l is t, w e n n ü b e rh a u p t n ic h t besonders ausgenom m en, n u r m it g e n a u e r A n g ab e d e r Q uelle und m it d er V e rp flic h tu n g d e r E in se n d u n g eines B e le g ex em p lars a n den V e rla g g e s ta tte t.

I n h a l t : V ereins-A ngelegenheiten (S. 1). — D ie erkenntnistheoretischen (tn in d la g e n d er M athem atik. V on P a n 1 X a t o r p (S. 2). — N äherungsw eise A uflösung von num erischen höheren G leichungen. V on P rof. Dr.

R i c h a r d H e g e r (S. 8). — D ynam ische B etrac h tu n g en üb er m echanische F nndam entalhegriffe. V on T h . S c h w ä n z e (S. 11). — V ereine und V ersam m lungen. [H auptversam m lung zu G iessen, Pfingsten 1901 ; 46. V ersam m lung d eutscher P hilologen und S chulm änner zu S tra ssb u rg ; 73. V ersam m lung deu tsch er N atu rfo rsch er und A erzte zu H am b u rg 1901] (S. 14). — Schul- und U niversitäts-N achrichten [N aturw issenschaft!. F erienkursus zu B erlin] (S. 18). — L ehrm ittel-B esprechungen (S. 19). — Biicher- B esprechungen (S. 20). — Z u r Bespr. eingetr. B ü ch er (S. 21.) — A nzeigen.

V e r e i n s - A n g e l e g e n h e i t e n .

W ie bereits in Nummer 3 des abgelaufenen Jahrganges zur K enntnis der Vereinsmitgliedev g eb rach t w orden ist, w ird die e l f t e H auptversam m lung in der Pfingstw oche d. J. in D ü s s e l d o r f abgehalten werden.

Anm eldungen zu V orträgen fü r die allgemeinen Sitzungen, wie für die Sitzungen der F achabteilungen sind auch je tz t noch sehr willkommen. W ir bitten, sie an den Vorsitzenden des O rtsausschusses, H errn O berrealsclm l-D irektor Prof. V i e h o f f in D üsseldorf oder an den Ilau p tv o rsta n d zu H änden von Prof. P i e t z k e r (Nordhausen) zu richten.

B esonders erw ünscht werden uns nam entlich M einungsäusserungen und Vorschläge hin

sichtlich der S tellung des biologischen U nterrichts im Lehrplan der höheren Schulen sein, dieselbe wird einen w ichtigen Verhandlungsgegenstand auf der bevorstehenden Versammlung bilden. N ur wenn die V e rtreter der einzelnen Lehrfächer seihst immer w ieder Anlass nehmen, ihre Anschauungen und W ünsche betreffs der Stellung und A usgestaltung des U nterrichts in diesen Fächern im V ereinsorgan und nam entlich auf den Vereinsversammlungen zum A usdruck zu bringen, vermag der Verein seine Aufgabe, die in einer m öglichst gleichmässigen W ahrnehm ung der Interessen aller Zw eige des m athem atisch-naturw issenschaftlichen U nterrichts besteht, voll zu lösen.

A uf einen regen Besuch der diesjährigen Versammlung hoffen w ir umsomehr rechnen zu dürfen, als die gleichzeitig in D üsseldorf stattfindenden Ausstellungen der rheinisch-westfälischen In d u strie und der gesam ten deutschen K unst diesen Besuch doppelt lohnend und anregungsreich zu machen versprechen.

F ern e r werden die Vereinsm itglieder in Gemässheit des § 4 der Vereinssatzungen ersucht, den B eitrag für das laufende Ja h r 1902, sow eit es noch nicht geschehen is t. bis zum

I. April d. J. u n ter B enutzung des dieser Nummer beiliegenden Postanw eisungsform ulars an den V ereins-Schatzm eister (Professor

P r e s l e r

in H a n n o v e r , L indenerstrasse 47) einzusenden. Die bis dahin n icht eingegangenen Beiträge werden im Laufe des nächsten V ierteljahrs durch P o st

nachnahm e eingezogen werden (§ 5 der Satzungen).. Die M itgliedschaft des Vereins kann auch durch eine einm alige Zahlung von 45

M.

erworben werden (siehe die Notiz am Kopfe d. Bl.).

D e r V e r e i n s - V o r s t a n d .

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S. 2.

^Un t e r r i c i i t s b l ä t t e r.

Jah rg . VIII. No. 1.

D i e e r k e n n t n i s t h e o r e t i s c k e n G r u n d l a g e n d e r M a t h e m a t i k .

V o rtra g in d e r m a th em atisc h en S ek tio n d er X L V I. V ersam m lu n g deu tsch er P h ilo lo g e n und S ch u lm än n er zu S tra ssb u rg i. E.*)

von

P a u 1 N a t o r p ,

o rd en tl. P ro f. d. P h ilo so p h ie a. d. U niv. M arburg.

I c h h ä t t e n i c h t d e n M u t , m i c h , a ls N i c h t f a c h m a n n , a n M a t h e m a t i k e r z u w e n d e n , w e n n i c h n i c h t s a c h l ic h e G r ü n d e d a f ü r z u e r k e n n e n g l a u b t e , d a s s d ie L o g ik , d ie E r k e n n t n i s k r i t i k e n g e F ü h l u n g m i t d e r M a t h e m a t i k z u s u c h e n h a t ; n i c h t u m s ie z u b e l e h r e n , m e h r , v o n i h r 7.ii l e r n e n , g e n a u e r , i h r e M i t a r b e i t a n e in ig e n i h r e r s c h w e r s t e n A u f g a b e n z u e r b i t t e n , d ie o h n e d ie M ith ilf e d e r M a t h e m a t i k n i c h t z u b e w ä l ti g e n s i n d . I c h d e n k e d a b e i n i c h t so s e h r a n e in e n b e s o n d e r e n Z w e ig u n s e r e r W i s s e n s c h a f t , d e m , n a c h d e m e r la n g e in a r i s t o t e l i s c h e r T r a d i t i o n e r s t a r r t w a r , d u r c h d ie m a t h e m a t i s c h e B e h a n d l u n g n e u e s L e b e n z u g e f i i l i r t w o r d e n i s t : d ie S y l l o g i s t i k , s o n d e r n ic h d e n k e a n d ie g a n z a l l g e m e in e T e n d e n z d e r n e u e r e n M a t h e m a t ik , s ic h z u e in e r r e i n lo g i s c h e n G e s t a l t u n g d u r c h z u - a r b e i te n , so d a s s d ie B e r u f u n g a u f „ A n s c h a u u n g “ m e h r u n d m e h r ü b e r f lü s s ig w i r d . D ie K o n s e q u e n z d ie s e s B e s t r e b e n s m u s s d a h in f ü h r e n , d a s s m a n n i c h t z u f r i e d e n i s t , i n d e r M a t h e m a t ik ü b e r h a u p t , w ie in j e d e r W i s s e n s c h a f t , lo g is c h z u v e r f a h r e n , d . h . W i d e r s p r u c h - z u m e id e n u n d , w a s m a n b e h a u p t e t , z u b e w e is e n , s o n d e r n d a s s m a n s i c h d ie w e i t e r g e li e n d e A u f g a b e s t e l l t , a u c h a ls V o r a u s s e t z u n g n i c h t s z u z u la s s e n , w a s i r g e n d n o c h a u s f u n d a m e n t a l e r e n V o r a u s s e t z u n g e n h e r - l e i t b a r , a ls o n o c h n i c h t s c h l e c h th i n e in f a c h is t.

D ie F r a g e a b e r n a c h d e n l e t z t e n V o r a u s s e t z u n g e n e i n e r so f u n d a m e n t a l e n W i s s e n s c h a f t , w ie d ie M a t h e m a t ik , f ü h r t u n m i t t e l b a r in d a s H e r z d e r P h i l o s o p h i e a ls E r k e n n t n i s k r i t i k . N u n l ä s s t s ic h z w a r v e r s t e h e n , d a s s d ie P f a d f i n d e r d e r W i s s e n s c h a f t , d ie E n t d e c k e r u n d E r o b e r e r n e u e r P r o v in z e n m a t h e m a t i s c h e r E r k e n n t n i s , in d e r W a h l i h r e r V o r a u s s e t z u n g e n m ö g l i c h s t w e n i g b e e n g t s e i n w o l l e n ; u n d s ie s i n d e s a m w e n ig s t e n , w e n n m a n ih n e n ü b e r h a u p t j e d e V o r a u s s e t z u n g g e s t a t t e t , d ie n i c h t e in e n in n e r e n W i d e r s p r u c h e in s c lili e s s t . A b e r , n e b e n d e r A u f g a b e d e r E n t w i c k e l u n g d e r K o n s e q u e n z e n a u s g e g e b e n e n V o r a u s s e t z u n g e n b e s t e h t j e d e n f a l l s n o c h d ie a n d e r e , d e s Z u r ü c k g e h e n s a u f d ie l e t z t e n e r r e i c h b a r e n G r u n d la g e n . F ü r d ie s e A u f g a b e s o l l t e v o r a lle m d e r L e h r e r d e r M a t h e m a t ik V e r s t ä n d n i s h a b e n , d e n n l e h r e n h e i s s t , w is s e n s c h a f t l i c h e W a h r h e i t im G e is t e d e s L e r n e n d e n v o m e r s te n A n f a n g a n a u f b a u e n ; es h e i s s t , sie a u s e r s t e n , w e n n e s s e in k a n n , d e n e r s t e n , s c h l e c h t h i n f u n d a m e n t a l e n V o r a u s s e t z u n g e n e n t w ic k e ln . A b e r a u c h r e i n s a c h l ic h a n g e s e h e n , i s t d ie F r a g e n a c h d e n l e t z t e n V o r a u s s e t z u n g e n n u n e in m a l n i c h t z u u m g e h e n . A u s d e m E in -

*) S. S. 14.

f a c h e n h a u t d o c h d a s Z u s a m m e n g e s e t z te s ic h a u f . I s t e r w i e s e n , d a s s e in e V o r a u s s e t z u n g e in f a c h e r is t, so s t e h t e s f o r t a n n i c h t in u n s e r e r W a h l , s ie z u G r u n d e z u le g e n o d e r d ie m i n d e r e i n f a c h e ; s ie l i e g t e b e n z u G r u n d e , u n d d ie T h e o r ie , d ie e tw a s a n d e r e s z u G r u n d e le g t , v e r f ä h r t u n s a c h l ic h . A u c h i s t e s u n n ö t i g , f ü r d ie s e F o r d e r u n g s ic h e r s t a u f d e n p s y c h o l o g i s c h e n o d e r b io lo g is c h e n G r u n d d e r D e n k ö k o n o m ie z u s t ü t z e n . J e d e n f a l l s w i r d a m E n d e d e r R e c h n u n g d ie W a h r h e i t d e r S a c h e d e n S ie g b e h a l t e n , a ls o i s t j e d e s V e r f a h r e n , d a s n i c h t d e r W a h r h e i t d e r S a c h e e n t s p r i c h t , g e w is s a u c h e it le K r a f t v e r s c h w e n d u n g . A b e r , w e n n e s so is t, so i s t d ie ö k o n o m i s c h e B e g r ü n d u n g g a n z ü b e r f l ü s s i g ; e s g e n ü g t s i c h r e i n a n d ie S a c h e z u h a l t e n . M e in e A b s i c h t i s t n u n , I h n e n v o n e in ig e n V e r s u c h e n in d e r e b e n b e z e i c h n e te n R i c h t u n g B e r i c h t z u g e h e n , w ie g e s a g t , n i c h t in d e r M e in u n g , S ie e t w a s s o n d e r l i c h N e u e s z u le h r e n , m e h r , v o n I h r e r K r i t i k z u l e r n e n , j e d e n f a l l s a b e r , I h r I n t e r e s s e f ü r d ie s G e b ie t v o n F r a g e n a n z u r e g e n . E s h a n d e l t s i c h u m d ie l e t z t e n g e m e i n s a m e n G r u n d l a g e n d e r A r i t h m e t i k u n d G e o m e t r i e , d e r e n B i o s l e g u n g n i c h t s g e r i n g e r e s b e d e u t e n w ü r d e , a ls e in e r e i n l o g i s c h e D e d u k t i o n d e s R a u m e s w ie a u c h d e r Z e it . D ie b e z ü g li c h e n U n t e r s u c h u n g e n s i n d n i e d e r g e l e g t in z w e i A b h a n d l u n g e n , d ie e in e a u s A n la s s d e s i n t e r n a t i o n a l e n p h i l o s o p h i s c h e n K o n g r e s s e s h e i d e r P a r i s e r W e l t a u s s t e l l u n g , d a h e r in f r a n z ö s i s c h e r S p r a c h e v e r ö f f e n t l i c h t :

N om bre, tem ps et espace'')-,

d ie a n d e r e „ Z u d e n l o g i s c h e n G r u n d l a g e n d e r n e u e r e n M a t h e m a t i k “ , im „ A r c h iv f ü r S3Ts t e m a t i s c h e P h i l o s o p h i e “ **). I c h w e r d e a b e r h i e r e in e n e tw a s a n d e r e n W e g e i n s c h l a g e n , d a ic h g l a u b e , d a s s a u f d ie s e m n e u e n W e g e d e r B e w e i s g a n g lo g is c h s t r e n g e r w ir d , o b g le i c h e r z u k e in e m a n d e r e n E r g e b n i s f ü h r t .

I c h g i n g d o r t so z u W e r k e , d a s s ic h z u n ä c h s t d ie G e s e tz e d e r Z a h l h e r l e i t e t e a u s d e n G r u n d g e s e t z e n d e r „ q u a n t i t a t i v - q u a l i t a t i v e n S y n t h e s i s “ , d . h . a u s d e n b e id e n , ü b e r h a u p t f u n d a m e n t a l s t e n , v o n e i n a n d e r u n t r e n n b a r e n D e n k v e r f a h r e n , d u r c h d ie w ir , e in e r s e i t s e in M a n n i g f a l t i g e s a ls s o l c h e s , a n d e r e r s e i t s j e n e E i n h e i t e in e s M a n n i g f a lt ig e n , d ie e in e n D e n k i n h a l t k o n s t i t u i e r t , g e d a n k l i c h e r z e u g e n . E s e r w ie s s ic h , d a s s d ie Z e i t , in i h r e n r e i n m a t h e m a t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n , m i t A b s e h u n g d a g e g e n v o n i h r e n e x i s t e n t i e l l e n B e s ti m m u n g e n ( w ie , d a s s z w e i Z e i t e n s i c h in d e r E x i s t e n z a u s s c h lie s s e n , w e n n d ie e in e , d a n n n i c h t d ie a n d e r e in d e r E x i s t e n z g e g e b e n i s t u . d g l.) s i c h v ö ll ig d e c k t m i t d e n E i g e n s c h a f t e n d e r s t e t i g e n h o m o g e n e n e in d i m e n s io n a le n Z a h lr e ih e . B e id e s d e c k t s i c h a b e r

*) In : Bibliothèque du congrès international de p h i

losophie. Vol. I. (P aris, A . Colin. 1900), p. 342—389.

**; Bd. V II, 1901, S. 177—209 und 372—384.

(3)

1902.

^{N o .}

1.

^Di e e r k e n n t n i s t h e o r e t i s c h e n Gr u n d l a g e n d e r Ma t h e m a t i k.

S. 3.

ferner, wenn man wiederum von den existenti

ellen Eigenschaften des Raumes absieht (z. B.

dass die Teile des Raumes sich in der Existenz bedingen und geben, dass sie koexistieren), auch m it dem Grundgebilde des Raumes, der geraden Linie. Es fragte sich n u r noch, oh auch das einzige übrig bleibende Unterscheidungsm erkm al des R au m es, die M ehrdim ensionalität, und ob etwa auch ein Gesetz für die Dimensionen des Raumes sich auf der gleichen Grundlage, näm

lich der der reinen Zahl, ableiten lasse. H ier kam mir zu Hilfe einerseits der B egriff der gew öhnlichen komplexen Zahl, insbesondere in ] der E rw eiterung zum Hamiltonschen Quaternion- j begriff, andererseits die extensionale A lgebra Grassmanns. Ich glaubte zwischen beiden eine j w esentliche Verbindung, und dam it zugleich die verm isste Grundlage zu finden für das Gesetz der räumlichen Dimensionen.

Ich glaube nun, wie gesagt, dass das E r

gebnis stehen b le ib t; dagegen finde ich es je tz t richtig, die U ntersuchung etw as anders und zw ar radikaler einzufädeln, indem ich zunächst so w enig von der Zahl wie vom Raume rede, sondern von Setzung (Denksetzungj schlechtweg, dann fortschreite zu Reihen von Setzungen, die sich nach bestim m ten Gesetzen aufbauen und endlich in einem System abschliessen sollen.

Es soll sich dann zeigen, dass die G rundeigen

schaften und Gesetze einerseits der Zahl, anderer

seits der Zeit und des Raumes darin gegeben sind. Ich will versuchen, diesen neuen Gang m einer Bew eisführung in aller Kürze zu skizzie

re n ; freilich auf die Gefahr, dass die Beweis

führung, der notw endigen Kürze halber, nicht in aller A bsicht vollständig sein kann. Man w ird aber auf Grund der beiden angegebenen Ab

handlungen das Fehlende m eist ergänzen können.

Es scheint sehr n a tü rlic h , auszugehen von der einfachen a b s o l u t e n Setzung (in der Zahl:

der E inh eit); dann erst überzugehen zur Setzung des Anderen zum E inen, als der einfachsten r e l a t i v e n Setzung; und auf diesen ersten Grundlagen dann w eiter zu bauen. Allein da

bei ergeben sich Schw ierigkeiten. Es scheint dann nicht in ganz homogener logischer E n t

w ickelung die Null und die negative Zahl h er

geleitet werden zu können, und die Schw ierig

keiten wachsen, wenn man zum Im aginären und Irrationalen fortzuschreiten versucht. Aber der w ahrhaft letzte Grundbegriff des m athem atischen und alles strengen Denkens überhaupt ist viel

mehr die Relation. Es ist Täuschung, dass man die Termini voraus haben könnte, um erst aus ihrem Z usam m entritt die Relation hervorgehen zu lassen. M it R echt fragte bereits P la to : W aren die zwei etw a nicht zwei, bevor man sie zusam m entliat? M athem atik hat überhaupt nichts zu thun, sie h at nur zu betrachten, und zw ar zuletzt nichts anderes als Relationen. Die

I R elata sind erst gesetzt durch die R elation als deren Termini. W ill man von der absoluten i Setzung ausgehen, so entsteht, hinsichtlich der

; Zahl, sogleich die Schwierigkeit, was das Fun-

! dam entale ist, die Null oder die Eins. F ü r die Null, ohne die Eins, will sich überhaupt

j

kein haltb arer Sinn ergeben, sie sag t den Aus- [ gangspunkt, den letzten B ezugspunkt der Zalfi- I Setzung, ein A usgangspunkt aber will sich nicht

| denken lassen ohne das was davon ausgeht, ein B ezugspunkt nicht ohne etw as, das sich darauf bezieht. S etzt man als erstes die Eins, ohne die Beziehung zur Null darin m itdenken zu wollen, so ist zur Null und zur relativen Zahl n ur durch W illkürdefinition, nicht in ho

mogener logischer W eiterentw ickelung zu ge

langen. Also ist vielmehr auszugehen von der e i n f a c h e n r e l a t i v e n S e t z u n g , von der Setzung der einfachen R e la tio n , im Zahlaus

druck :

1

zu 0 ; wo

0

den letzten Bezugspunkt, 1 das erste in Bezug auf die Null gesetzte be

sagt. Das Merkmal der „E infachheit“ dieser letzten G rundrelation, auf der alle w eiteren in der M athem atik zu betrachtenden Relationen sich aufbauen sollen, b esa g t: dass der Inh alt des darin Gedachten erschöpfend und in strenger Id e n titä t bestim m t sei allein durch die ange

gebenen Elemente, die Eins und die Null, ohne . irgend eines sonstigen, von aussen hinzukommen

den Bestim m ungsstücks zu bedürfen. F ü r unser I stren g genetisches Vorgehen sollte zw ar der Ausschluss anderw eitiger Bestimm ungsstücke sich von selbst verstehen, aber ich betone ihn eben, um dam it zu betonen, dass w ir streng genetisch, aufbauend vorgehen, nicht eine, wie man sagt, „ gegebene “ M annigfaltigkeit oder dergleichen voraussetzen, um sie dann erst zu BegriiT zu bringen.

Alle reinen Denksetzungen ohne U nterschied aber setzen nicht einzelnes, existentes, sondern allgemein bestehende, immer wiederum anzu- wendeude Relationen. So ist also unsere G rund

relation auch immer wiederum setzbar; so zwar, dass diese w iederholten Setzungen derselben (der A rt nach derselben, numerisch aber verschie

denen) Relation gleichfalls zu einander in R e

lation gesetzt werden. Dies geschieht so, dass, nachdem erst die Eins in Beziehung auf die Null gesetzt w a r, nun ein neues, eine neue Eins gesetzt wird in Beziehung auf das vorige Endglied (Eins) als nunmehriges Ausgangsglied (also als relative Null). Ich erhalte so eine Reihe, die sich etwa schreiben lässt:

< f l

( T i

<r i

(4)

S. 4.

^Un t e r r i c h t s b l ä t t e r

Jahrg . V III. No. 1.

oder, in einer Schreibung, die in den Zeichen seihst, nich t blos in der räum lichen Anordnung, erstens die Verschiedenheit und zweitens die O rdnung der einfachen Setzungen zum A us

druck b rin g t:

( T l l ' i T ? . ,

wo die übergeschriebenen Bogen die Im m er

gleichheit der R elation jedes nachfolgenden zum vorhergehenden Glied der Reihe andeuten. H at man sich das ein für allemal klar gem acht, so lässt man die Bogen weg und hat die soge

nannte absolute Zahlreihe.

An dieser, die also nunm ehr nichts als ein stren g re in e s, d. h. nichts von aussen en t

nehmendes V e r f a h r e n d e s D e n k e n s be

deu tet — was Sie sonst u n ter Zahlen ver

standen haben, b itte ich Sie für diese Stunde ganz zu vergessen — ist nun sehr vielerlei zu bemerken, wovon ich n u r das für die w eitere D eduktion U nerlässlichste ausführe; vor allem zw ei Vergleichungsweisen für irgend welche P aare von T erm inis:

1

) 1 hat zu 3 gewissermassen gleiche R ela

tion wie 2 zu 4 u. s. f., aber auch wie 3 zu 1, 4 zu 2, nämlich es erfordert gleichviel einfache Schritte, um vom einen Terminus zum anderen, und zw ar immer wechselseitig, zu gelangen.

Diese Id e n titä t definiere ich als A b s t a n d oder numerischen W ert des Unterschieds.

2

) 1, 2. 3 . . . haben, ohne U nterschied des A bstands, der A rt nach gleiche Relation gegen 0 wie 2, 3, 4 . . . gegen 1 oder 3, 4, 5 . . . gegen 2, kurz jedes in der Reihe nachfolgende zu jedem vorausgehenden Glied, andererseits jedes vorausgehende zu jedem nachfolgenden u n ter sich der A rt nach dieselbe R e la tio n ; welche beiden R elationsarten dagegen unter einander sich ausschliessen. Diese Id e n titä t oder V erschiedenheit definiere ich als die der R i c h - t u n g.

Es ist, wie man sieht, der A bstand gew isser

massen unabhängig von der R ichtung und die R ichtung vom A bstand; beide Momente sind, obwohl eins nie ohne das andere gegeben und im Aufbau unserer Reihe gleich ursprünglich be

g rü n d e t, doch von einander begrifflich ver

schieden und nicht eins aufs andere reduzierbar.

Da aber die ursprüngliche R elatio n , Eins gegen Null, schlechthin einfach, die ganze Reihe aber gebildet ist durch blosse, reine, identische W iederholung dieser seihen G rundrelation, so is t bisher überhaupt keine M ehrheit der R ela

tio n sa rt oder R ichtung gegeben; wenn man näm lich nich t die beiden sich gegenseitig geben

den Beziehungsweisen, Eins gegen Null und Null gegen Eins, als zwei R ichtungen b ez eich n et;

in geläufiger Sprache sind es vielmehr die beiden

„S inne“ e i n e r R ichtung, Plus und Minus. So

m it is t die R ichtung der ganzen Reihe nur

einzig (obwohl doppelsinnig), und als solche ins Unendliche identisch fortbestehend. Ins Unendliche, denn ein Zurücklaufen der Reihe in sich selbst ist durch das Gesetz ihres Auf

baus so sicher ausgeschlossen, wie die F o rt

setzung der Zahlreihe nicht zu Null zurück

führen kann. Ein Zurücklaufen der Reihe in sich seihst besagt A enderung der R ichtung, und die stetig e Aenderung der R ichtung fü h rt allerdings, wie sich sp äter erweisen wird, n o t

w endig in die G rundrichtung zurück. Aber ehe man R ichtungsänderung einführt, muss man Id e n titä t der R ichtung setzen. Es genügt also n ic h t, wenn man stren g genetisch vorgehen will, zu sagen, der U ebergang von B nach C sei ebenso zu vollziehen, wie von A nach B, wom it er gewiss notw endig nur unbegrenzt, nicht unendlich würde*), sondern, da der U eber

gang schlechthin einfach gesetzt werden muss, wenn er fundam entale B edeutung haben soll, so muss er auch als schlechthin einfacher fort- bestehen, dann aber nich t blos unbegrenzt, sondern unendlich, denn unbegrenzt endlich könnte er nu r werden durch kontinuierliche A enderung, die unw eigerlich anderw eitige Be- stimmungsstUcke fordern, nicht durch die ein

fache Setzung der Term ini A und B eindeutig g esetzt sein w ürde. Aus demselben letzten Grunde kann die projektivische Distanzdefini

tion nach C a y l e y und K l e i n , so w ertvoll sie für den Zweck, für den sie eingeführt w urde, ohne P räge ist, als logisch fundam ental nicht gelten **).

A uf diese B etrachtung gründe ich den B e

griff der von uns k o nstru ierten Reihe als g e r a d e r R eihe, w elcher B egriff des Geraden, wie Sie sehen, je tz t absolute B edeutung hat, nich t blos eine A rt von Reihen u nter verschie

denen an sich m it gleichem R echt wählbaren, sondern wahllos die einzige mögliche Beschaffen

h eit einer Reihe, die fundam ental sein soll, aus

drückt. G eradheit sag t in der T hat, dass durch Anfangs- und E n dp un kt und nichts ausserdem der W eg als einziger bestim m t sei. Ein W eg is t auch bestim m t auf der Kugeloberfläche, aber schon n ich t in allen Fällen, nämlich nicht, wenn die beiden P u n k te E n dpunkte eines K ugeldurch- messers sind, und, w orauf hier mehr ankom m t, nicht ohne anderw eitige Bestim m ungsstücke, näm lich die, welche die Kugeloberfläche selbst definieren. Ebenso verh ält es sich im endlichen Raum. D am it ist nicht gesagt, dass der all

gemeine Raum begriff zu verwerfen, wohl aber, dass er nicht, weil allgemein, auch logisch fun

dam ental sei.

*) M a x S i m o n , Zu den G rundlagen d er niclit- euklidisclieu G eom etrie. (P rg r. 1891, N r. 512). S. 12.

**) D arü b er s. die zw eite d er z itie rte n A b h an d lungen, A rcb. f. syst. Philos. V II, S. 202 ff.

(5)

1902. No. 1.

^{d i e} e r k e n n t n i s t h e o r e t i s c h e n Gr u n d l a g e n d e r Ma t h e m a t i k.

S. 5.

Die A bleitung der R echnungsarten sei nur kurz angedeutet*). D er Aufbau unserer Reihe ergiebt ohne w eiteres, dass 3 zu 2, 2 zu 1, 1 zu 0 die gleiche S t e l l u n g h a t ; in w elcher A us

sage ich zusammenfasse, dass 1) der Abstand, die Schrittzahl, die vom einen zum anderen Glied führt, die gleiche, 2) die Vergleichungs

richtung die näm liche-ist. Ebenso hat 2 zu 3,

1

zu 2, 0 zu 1 die gleiche Stellung. Dies sagt die S ubtraktionsgleichung, die, wie man sieht, je tz t sofort die beiden Fälle umfasst, dass der S ubtrahend „g rö sser“, und dass er „klein er“

als der Minuend ist. Die A dditionsgleichung ist nur ein anderer A usdruck desselben Sachver

halts, keineswegs etw a fundam entaler.

2

-)-

1

= 3 h e is s t: von 2 ein S c h ritt w eiter (in der P lusrichtung) fü h rt auf 3, was nur in anderen W orten sa g t: 3 h a t gegen 2 dieselbe Stellung (d. h. den gleichen A bstand in gleicher R ich

tung) wie 1 gegen 0. Das Steilverhältnis ist der Grundbegriff, dieses aber kom m t direkt zum A usdruck in der Subtraktionsgleichung.

Ebenso lege ich der m ultiplikativen Be

ziehung die andere A rt des Verhältnisses, das m etrische, wie ich es nenne, zu Grunde. Es stiizt sich auf die Erzeugung der Reihe durch W iederholung immer derselben Grundrelation.

Ich kann nun auch die gleichen W iederholungen wiederholen, z. B. 2 als neue E inheit, als e i n e n | Zweier setzen und dann die neue Reihe bilden: ; zwei Zweier, drei Zw eier u. s. f. U n ter dieser B etrachtung ist, was 2 gegenüber 1, 4 gegen

über

2

u. s. f., und, was

1

gegenüber

2

,

2

gegen

über 4 u. s. f. Auch hier b ietet das Ausgehen von der V erhältnisbetrachtung**) den Vorteil, dass als reziproker W e rt von

>!

dadurch ohne

n 1

w eiteres gegeben ist. W ollen Sie aber beachten, wie dies m it unserem logischen A usgangspunkt ü b erein stim m t: die relative Setzung b estätig t sich auch in der D urchführung überall als die fundam entale. Es ist nichts als ein falscher E m pirism us, w enn man von der absoluten Setzung ausgehen zu müssen meint. Eins ist kein absoluter Begriff, Eins kann ein Sandkorn oder eine W elt, ein H undert oder eine Billion b e d e u te n ; also ist es g ar kein Problem, wieso die Eins teilbar sei, sei es in H un d ert oder in Billion oder worein Sie w ollen; w ährend, w er von der Eins als einem Absoluten ausgeht, nicht anders als durch W illkürdefinition auch nur zu ^ kommen kann.

2 Eine gew isse Schw ierigkeit b ereitet noch,

*) N äheres „Kombre, iemps et cspace“, g 2.

**) W o rin ich besonders bestärkt, w orden bin durch M. S i m o n s anregungsreiche B e arb eitu n g d er M etho

dik des M a th e m a tik u n te rric h ts in B a u m e i s t e r s H andbuch.

wie ich offen g estehe, das Irrationale. Ich glaubte (in der ersten Abhandlung) der Sache H err zu werden, indem ich erst hypothetisch R eih en . von verschiedener E inheit (sagen w ir

n

und r), aber identischer R ichtung von einem gemeinsamen N ullpunkt ausgehen liess, jede fü r sich rational k o n stru ie rt, aber zu einander ir

rational ; und indem ich dann (wesentlich nach D e d e k i n d) zeigte, wie b eid e, nicht durch G leichungen, aber durch Systeme von U n

gleichungen, sich so zu einander in Beziehung setzen lassen, dass von jedem W erte der

n-

Reihe bestim m t w erden kann, oh er diesseits oder jenseits von

v

oder irgend einem W e rte

! der j’-Reihe liegt und u m gek ehrt, sodass die Begriffe grösser und kleiner und alles, was darauf beruht, auf die Vergleichung zwischen

«-W erten und r-W erten anw endbar werden.

Aber es hilft einmal in der M athem atik nichts, sich etwas weiszumachen, also will ich lieber gleich offen eingestehen, dass ich hierbei je tz t eine fundam entale Schw ierigkeit empfinde.

Zählen heisst in e i n e Reihe ordnen, auch sollen ja die irrationalen W erte m it den ra tio nalen in e i n e Reihe fallen; die E inheit einer einzigen Reihe aber kann nur einzig, n ich t m ehrfach angesetzt werden, wenn sie doch rein und fundam ental, nicht durch W illkürdefinition gesetzt werden soll. Ausserdem s tö rt, dass die irrationalen W erte sieh nicht in einer er

schöpfenden positiven Definition geben lassen ; man kann definieren die algebraischen Irra tio nalen und gewisse Klassen von transcendenten, aber nicht die irrationalen W erte überhaupt.

W ie also habe ich überhaupt die A llheit d er W erte eines gegebenen Intervalls, z. B. 0 bis 1, die ich doch zu haben behaupte, wenn ich aus- sage, dass eine Grösse a dies Intervall stetig durchlaufe? N ur eins ist mir in dieser E r

w ägung stets k la r geblieben und h at sich immer m ehr befestigt, dass diese Allheit, welche die S tetig k eit besagt, überhaupt nicht setzhar w äre aus rein m etrischen Erw ägungen, sondern dass sie den B egriff der R ichtungseinheit zu Grunde leg t und zu Grunde legen muss. Ich entscheide je tz t n icht, ob dies das Problem etw a schon löst, ich behaupte aber, dass es e i n Moment is t, ohne dessen B eachtung die Lösung nicht gelingen kann. Es giebt doch so e i n positives Merkmal, welches nicht blos alle rationalen Setzungen eines Intervalls umfasst, sondern die beliebig zu verengenden Lücken zwischen diesen seihst wie etw as vorhandenes zu denken erlaubt und fordert, eben das M erk-

! mal der B ezieliungsrichtung, welches, wie zu

! Anfang festgestellt wurde, fortbesteht, unab-

; hängig von der m etrischen Relation. W eil alle

| rationalen Setzungen (Zahlen in der Zahlreihe,

; P un kte in der Geraden) in einer und derselben

j Richtung (Nullbeziehung) gesetzt sind, so lässt

(6)

S. 6.

Un t e r b i c h t s b l ä t t e r.

Jahrg. V III. No. 1.

sich, eben da sie einen stetigen Zusammenhang nich t ergeben, die rational nicht besetzte oder zu besetzende Lücke als für neue Setzungen verfügbar gegeben ansehen, und das ermöglicht auch die irrationalen W erte zu setzen, insofern für diese ein Verhältnis des m ehr und w eniger zu den rationalen auf die angegebene W eise (durch ein System von Ungleichungen) definier

b ar ist.

W as hier nun auch in der logischen Ab

leitung noch lückenhaft ist oder scheint, es hilft nichts, zur E rgänzung der Lücke sich auf die Anschauung zu berufen. A nschauung vermag ein für allemal nicht dem Denken etwas zu gehen, was nicht das Denken aus seinen eignen M itteln darstellen kann. Das Angeschaute muss gedacht werden können, wenn es erkan nt werden soll. Auch die Erzeugung der Geraden durch

„B ew egung“ eines P unktes bringt die S tetig k e it nicht anders als im eben erläuterten Sinne zu w ege; denn Bewegung ist in der Geometrie*)

„nur ein anderer Ausdruck für G esam theit aller L agen“ ; frag t man aber, durch welche Defini

tion diese A llheit der Lagen gegeben sei, so kom mt man genau auf die eben angestellte Be

trachtung zurück.

Angenommen aber, w ir h ätten die stetige homogene eindimensionale Reihe, so haben w ir dam it, wie leicht zu ersehen, nicht nur die reelle Zahlreihe, sondern ebenso die Zeitreihe und die gerade Linie, hinsichtlich ih rer rein m athem atischen E igen sch aften ; beide u n ter

scheiden sich in der T hat von der Zahlreihe wie untereinander nur durch existentielle, nicht durch m athem atische Bestimmungen. Es bleibt dann n ur übrig, auch die M ehrheit der Dimen

sionen des Raumes abzuleiten, und womöglich ein Gesetz für diese zu finden. H ier gab, wie schon angedeutet, die Ausdehnungslehre einer

seits , die Quaternionenlehre andererseits den entscheidenden W ink. Aber w eder G v a s s m a n n noch H a m i l t o n hat sich die Aufgabe gestellt, die M ehrheit der Dimensionen radikal abzuleiten, beide nahmen sie vielmehr als gegeben. Ich ging nun hier früher aus von der V oraussetzung der M öglichkeit m ehrerer verschieden gerich

te te r , aber in einem gemeinsamen P unkte, den man als N ullpunkt nehmen kann, zusammen

hängender Reihen, und stellte dann das Gesetz au f für die K onstitution eines stetigen Zusammen

hanges der von einem und demselben P unkte aus möglichen Richtungen. Diese A bleitung dürfte richtig bleiben in dem was sie positiv enthält, aber sie lässt eine Lücke, indem wieder nicht ohne w eiteres einleuchtet, inwiefern über

h au p t etw as ausserhalb der Grundreihe setzbar sei. Das will besonders dann nicht einleuchten,

*) N ach den W orten M a x S i m o n s . Z u d.

Ctrundl. d. niehteukl. Geom., S. 12.

wenn man sogleich von der Zahl ausgeht (wie ich früher that). Zählen heisst, wie gesagt, in e i n e Reihe ordnen, also gäbe es insow eit nichts ausser der einen Reihe.

Indessen diese Lücke liess sich, sobald sie einmal erk ann t w a r, auch leicht schliessen.

Unsere Reihe bedeutet ja nich t ein Ding, sondern ein Verfahren; ich kann also nicht blos e i n e solche Reihe bilden, sondern eine Reihe von Reihen, jede von derselben einfachen S tru k tu r, und alle verbunden durch eine Beziehung völlig gleicher A rt, wie die Einzelglieder in der Grund- reihe verbunden sind. Dieser Reihe zw eiter Ordnung kommen dann alle dieselben M erk

male zu. wie der Grundreihe, m it dem einzigen U nterschied, dass die Glieder je tz t Reihen, nicht Einzelsetzungen sind. W eiter lässt sich dann auch eine Reihe von Reihen von Reihen bilden u. s f. So haben w ir die Dimensionen vor den R ichtungen, und zw ar unendliche. Aber dam it ist nun auch die zuvor verm isste G rund

lage gegeben für die A bleitung der Richtungen.

B isher h atten w ir n ur die e i n e R ichtung der Grundreihe m it ihren zwei Sinnen, welche in allen R eih en , da sie von genau identischer S tru k tu r sein sollen, als dieselbe w iederkehrt (Begriff der Parallelen). Es ist aber für die w eitere A bleitung geeigneter, auch die zwei Sinne einer R ichtung R ichtungen zu n e n n e n ;

| beide, R ichtungen wie Sinne, sagen ja nu r ver

schiedene R elation sarten , A rten der Nullbe-

| ziehung, u n ter denen die wie P lus und Minus sich verhaltenden nur dadurch ausgezeichnet sind, dass die eine unm ittelbar m it der ändern gegeben ist, indem man nur die Term ini zu ver

tauschen hat. Und zw ar ist die Relation von Plus zu Minus, für sich genommen, dieselbe, wie die von Minus zu P lu s ; man kann daher nicht sagen, eine von beiden R ichtungen sei ursprünglicher, die andre daraus erst hergeleitet; das U rsprüngliche ist vielmehr die R elation von Plus und Minus oder von Minus und P lu s, und diese ist schon ge

geben m it der G rundrelation, au f der w ir bis

her alles sich aufbauen sahen, der R elation 1 zu 0, welche die Relation 0 zu 1 und die R elation dieser beiden R elationsarten unm ittel

bar einschliesst. Man kann nun durch W ieder

holung dieser immer gleichen Relation, Plus zu Minus oder Minus zu Plus, eine Reihe b ild e n : j _j --- -- . ., oder — u, — >,

— 2

. . ., wo

| die gradzahlig bezeichneten Glieder den -)- der

\

ersten Reihe, die ungradzählig bezeichneten den j — entsprechen. So v erhält es sich innerhalb der Grundreihe, ebenso in jed er eindimensionalen geraden Reihe. F ü h rt man aber m ehrere D i

mensionen ein, so entstehen dam it auch mehr R ichtungen in folgender W eise. In allen gleich ko nstruierten Reihen findet sich das Glied 0, das Glied

1

u. s. f. U nterscheide ich die e n t

sprechenden Glieder der verschiedenen Reihen

(7)

1902. No. 1.

^Di e e r k e n n t n i s t h e o r e t i s c h e n Gr u n d l a g e n d e r Ma t h e m a t i k.

S. 7.

durch Indices, so kann ich z. B. die Reihe bilden Oo 0i O

2

. . . (d. h. die Null der Reihe N ull, der Reihe Eins u. s. f.), welche m it der Grundreihe (0« lo 2o . . .) das Glied Oo gemein hat. Auch die erstere Reihe ist ge

rade, denn da die übrigens in aller H insicht identischen Reihen zugleich in derselben ein

fachen R elation zu einander geordnet sein sollen, wie die Glieder der Grundreihe, so kann auch zwischen den identischen Gliedern säm tlicher Reihen n u r dieselbe einfache Relation, die w ir als G eradheit definiert haben, stattfinden. Diese Reihe h at also auch für sieh eine Plus- und M inusrichtung; es frag t sich, wie diese sich zur Plus- und M inusrichtung der G rund reihe ver

halten. A ntw ort, beide müssen sich zu beiden gleich verhalten, d. h. es is t die Relation Plus zu Minus oder Minus zu P lus der Grundreihe durch die Querreihe, ebenso die R elation Plus zu Minus oder Minus zu P lus der Querreihe durch die G rundreihe halbiert zu denken. Denn es ist, wie stets in genetischer A bleitung, der F all der G leichheit zu Grunde zu le g e n ; eine ungleiche Beziehung w ürde anderw eitige B e

stim m ungsstücke fordern, die durch das gene

tische Prinzip der A bleitung ausgeschlossen sind.

W ir haben also in unsere Reihe —

0— 1— 2

. . . je tz t schon die Glieder — V

2

—% , . . einzufügen.

Es lässt sich unschwer bew eisen, dass die erstere Reihe, also auch die so vervollständigte, ganz als Reihe der Potenzen von — 1 oder

— n

behandelt w erden kann, so dass die Senkrechte, die durch unsere Querreihe dargestellt wird, durch die gewöhnliche Im aginärzahl auszu- driicken ist, nicht in einer blossen Analogie oder M etapher, sondern zufolge der K onstruk

tion, in der überhaupt die Senkrechte, und andererseits die Im aginärzahl, sich uns erzeugt hat. Beide drücken sich so zwingend gegen

seitig aus, wie die gerade Linie die eindim en

sionale, homogene Zahlreihe und um gekehrt.

Ebenfalls leicht lässt sich die w eitere W inkel

teilung ableiten, die m it demselben logischen Zwange der beliebigen Radizierung der E inheit entspricht. Sie werden auf diesen Grundlagen leicht die entscheidenden Sätze der Planim etrie ableiten können, was zu verfolgen ich Ihrem Interesse und Ih rer Müsse überlasse. Ich habe den W eg eine Strecke w eit verfolgt und hin nirgends auf solche Schw ierigkeiten gestossen, die etw a dieser A rt der A bleitung eigentümlich wären.

N ur eins bleibt noch zu entscheiden, nämlich die Frage, ob auf den nachgewiesenen G rund

lagen auch ein Gesetz sich ableiten lässt für die Dimensionen des Raumes. Den M athema

tikern ist zw ar der allgemeine Begriff von Räumen beliebiger Dimensionenzahl und ver

schiedener C harakteristik so in Fleisch und B lut übergegangen, dass ihnen oft jedes Ver-

ständnis abgeht für den Euklidischen, Newton- schen und Kantsclien Begriff d e s Raumes, welchem das Merkmal der E inzigkeit w esentlich ist. Das h a t einen begreiflichen G rund: dies Merkmal der E inzigkeit ist in der T h a t nicht m ehr von rein m athem atischer Begründung, sondern es ist gefordert durch den Begriff der E x i s t e n z , der überhaupt nichts w eiter als Bestim m theit in einziger W eise, im Unterschied von der unendlichen Vielheit offener Möglich

keiten, besagt. Dieser aber fordert sie in der T h at bedingungslos. Es ist kein O rt des Exi- stierens eindeutig bestim m t, wenn nicht der Raum seih st, der ja nur das System der B e

dingungen der Ortsbestim m ung besagt, eindeutig bestim m t ist. D araus en tsteh t aber, obwohl die F orderung selbst keine rein m athem atische ist, doch die Aufgabe für die M athem atik, nachzu

weisen, aus welchen Voraussetzungen diese ver

langte Geschlossenheit und dam it Einzigkeit des Systems der Ortsbestimmung- möglich ist. In unserem nachgewiesenen System ist nun zw ar Zu

sammenhang genug, aber kein geschlossener, da w ir eine U nendlichkeit nicht n u r innerhalb jed er E in zelreih e, auch nicht nu r eine unendliche Reihe von Reihen, sondern eine Unendlichkeit von Dimensionen, d. h. Reihen von Reihen von Reihen

11

. s. f. in infinitum, zuzulassen uns ge

n ö tig t fanden. Die Unendlichkeit der Dimen

sionen aber schliesst die B estim m barkeit eines

| Ortes aus. Es fragt sich also je tz t nich t mehr, i wie w eit ein raum artiger Zusammenhang sich

| ü berh aup t ausdehnen lasse, sondern welche Vor

aussetzungen einerseits notw endig, andrerseits I hinreichend sind, einen durchgängig stetigen Zusammenhang herzustellen. Es lässt sich aber

| beweisen, dass dazu drei Dimensionen notw endig und zugleich hinreichend sind. Es sei durch eine unendliche Gerade

X X '

die Grundreihe repräsentiert, und es bezeichne in ih r

O

den

1

N u llp u n k t,

O A

die E inheit in der G rund

richtung, so kann ich von dieser in die Gegen

richtung

OA ' , so

lange ich irr der Geraden

X X '

verbleibe, n icht stetig, sondern n ur sprungweise übergehen. Soll ein stetig er Zusammenhang hergestellt werden, so muss ich den Strahl

O A

drehen,*) brauche also die Ebene, etw a

X Z .

Die D rehung ist nun wiederum in doppeltem Sinne m öglich, aus der Lage

O A

etw a nach links über

O P

oder nach rechts über

O P '

in

O A ' .

Die Linksdrehung des S trahls (im Sinne

A P )

kann nun in die R echtsdrehung (im Sinne

A P ' )

wiederum nicht stetig übergeführt werden, so lange ich in der Ebene verbleibe, sondern ich muss die Ebene drehen im Raume. Diese D rehung ist wiederum zweifach möglich, von

*) A n d er E in fü h ru n g des Begriffs d er D rehung w ird m an keinen Anstoss nehm en nach dem was oben (S. 6) allgem ein über den B egriff der Bew egung in d er G eom etrie bem erk t w orden ist.

(8)

S. 8.

Un t e r r i c h t sb l ä t t e r.

Jah rg . VIIL No. 1.

O P etw a nach vorn über O Q oder nach hinten über O Q' in O P '. Die V orw ärtsdrehung der Ebene (im Sinne

P Q )

kann nun aber in die RUckwärtsdrehung (im Sinne

P Q 1)

stetig über

g eführt werden ohne Einführung einer w eiteren Dimension, nämlich durch D rehung der Ebene

X Z

nicht um die A'-Aehse, sondern um die .Z-A chse; es w ird dann aus der V orw ärts

drehung um die Af-Achse die R ückw ärtsdrehung, P Q P ’ kom m t in die Lage P Q ' P '. Die D rehung um die .Z-Achse kann wiederum zwei

fach geschehen, aber von dieser doppelten D rehung g ilt dasselbe wie vorher von der doppelten D rehung um die A'-Achse. — Auf eine ähnliche, gelegentliche Bem erkung von F e l i x K l e i n (Math. Ann. X X X V II, S. 565) h at mich II. G r a s s m a n n d. j. (brieflich) auf

m erksam g e m a c h t; K l e i n g eh t aber von einem ganz ändern G esichtspunkt aus und h at sich die F rage im hier gem einten Sinne gar nicht gestellt. E r b estätig t indessen doch indirekt die R ichtigkeit des R esultats : dass drei Dimen

sionen notw endig und hinreichend sind, um einen durchgängig stetigen Zusammenhang des Raumes herzustellen. *)

Ich betone noch, obwohl es überflüssig scheinen mag, dass dieser Beweis den Begriff von mehr-als-dreidim ensionalen Räumen keines

wegs anficht. Aber es fra g t sich, w e n n ein geschlossenes System gefordert ist (und es ist g efordert, obwohl nicht aus mathematischem G esichtspunkt, sondern durch den Begriff der Existenz, m it dem die M athem atik als solche nichts zu schaffen hat), wie diese Geschlossenheit des Systems m athem atisch zu begründen ist. W enn auf die angegebene W eise, und wenn nicht au f eine an dere, so ist dam it allerdings die.

D reidim ensionalität des Raumes d e r E x i s t e n z erwiesen. In jedem Palle ist die F rage auf keinem denkbaren W ege empirisch zu en t

scheiden, sondern sie is t ganz und g a r eine F rage der K onstruktion, also auch rein aus G ründen der K onstruktion zu entscheiden.

A uf solche W eise stände denn reine M athe

m atik da „als ein K oloss“, wie K a n t sagt,

„zum Beweise durch alleinige reine V ernunft erw eiterter E rk e n n tn is“ , d. h. nach unseren Begriffen, als typisches Beispiel einer auf der alleinigen Grundlage reiner Denksetzungen streng- genetisch aufgebauten W issenschaft. W enig

stens ist dies das ideale Ziel, dem unsere De

*) Dagegen finde ich den G rundgedanken d er obi

gen D eduktion fast vollständig w ieder in P i e t z k e r ’s

„G estaltung des R aum es“ (Brschwg., 0 . Salle, 1891), S. 64 ff,, obgleich die These d o rt anders la u te t u nd die F assung des Beweises von einer gewissen Dunkelheit:

n ic h t freizusprechen is t, die ih m b ei m anchen L esern den E in g an g erschw ert haben m ag. Ic h hoffe, dass, w er von der R ic h tig k e it o b ig er D eduktion sich ü b e r

zeugt, das V erdienst je n e r um zehn J a h r e älteren A b handlung nicht verkennen werde.

duktion von weitem zustrebt. Jede K ritik aber w ird willkommen sein, die es erleichtert, au f dem W ege zu diesem „unendlich fern en “ Ziel einen noch so kleinen S ch ritt vorw ärts zu thun.

N ä h e r u u g s w e i s e A u f lö s u n g v o n n u m e r is c h e n h ö h e r e n G le ic h u n g e n .

V on P rof. Dr. R i c h a r d H e g e r (D resden).

D ie A ufgabensam m lungen zeigen, dass d er n äh e

rungsw eisen A uflösung höherer G leichungen in den Schulen n u r w enig B eachtung geschenkt w ird. S ehr m it U n re c h t; denn w enn m an die zu r L ösung geb rach ten G leichungen a u f die vier ersten G rade d er algebraischen, a u f die binom ischen höheren u n d au f die G leichungen einschränkt, die sich a u f diese zu rückführen lassen, so w erden d e r B e th ä tig u n g des A nfängers viel zu enge G renzen gezogen, — w ährend m an ihm doch ohne e r hebliche B elastung M ittel gew ähren kann, num erische G leichungen ohne je d e B eschränkung m it geringem A ufw and von Z e it und M ühe so genau aufzulösen, als es die B enutzung d er L o g arith m en g e sta tte t. W enn m an dieses Z iel in zw eckm ässiger W eise erreich en will, m us3 m an davon a b se h e n , die annäherungsw eise A u f

lösung m it d er äussersten w issenschaftlichen S tren g e zu b egründen.

K einem praktischen L e h re r ab er w ird es einfallen, d er U nterw eisung im R echnen m it L o g arith m en eine vollständige T h eo rie des L o g arith m u s vorauszuschicken;

auch w ird sich kein L eh rer einen V o rw u rf daraus m achen, m it den W inkelfunktionen rechnen zu lassen, ohne v o r

h e r gezeigt zu haben, w ie ih re B erechnung erfolgt, oder die goniom etrischen F o rm eln ü b er den ersten Q u ad ran ten hinaus zu benutzen, ohne eine ganz vollständige, ein

w andsfreie, den W inkel n ic h t beschränkende B eg rü n d u n g d er G oniom etrie gegeben zu haben. ÄVonn m an selbst im H ochsch u lu n terrich te heutzutage aus gutem G ru n d e davon w ieder abgekom m en ist, den E in tr it t in die Diffe- zentialrechnung d u rch scharfsinnige, w eit ausgesponnene U ntersuchungen ü b er S te tig k e it, ü b er differenzierbare u nd n ic h t differenzierbare F u n k tio n en und dergleichen a b stra k te u n d schw ierige D inge fü r den A n fän g er be

schw erlich zu m achen, — w arum wollen da w ir a u f ein er n ied eren S tufe des m ath em atisch en U n terrich ts unsern S chülern höchst b ra u c h b a r e , a u f ein überaus reiches G eb iet von A ufgaben anw endbare M ittel un d W ege n u r desw egen voren th alten , weil w ir ihnen n ic h t üb er alle dabei auftauchenden F ra g e n genügende A u s

k u n ft erteilen können ?

L a n g jä h rig e E rfa h ru n g h a t m ir gezeigt, wie gern die P rim a n e r a u f eine p rak tisch zarech tg em ach te N äh eru n g srech n u n g eingehen, u nd wie g erad e m a th e m atisch w eniger g u t begabte S chüler sich m it E ife r eines M ittels b e m ä c h tig e n , das die G renzen ihres K önnens n ach einer besonders w ichtigen S eite h in a u f einm al so bed eu ten d hinausrückt.

Im A nhänge zu m ein en fünfstelligen L o g arith m en *) habe ich in K ürze auseinandergesetzt, w ie d e r G egen

stan d in d e r Schule zw eckm ässig zu b ehandeln sein d ü rfte ; vielleicht ist es dem L eserkreis der „ U n te r

ric h ts b lä tte r“ n ic h t unw illkom m en, h ie r etw as A u sfü h r

licherem d a rü b e r zu begegnen.

Das N äheru n g sv erfah ren zur B erechnung r e a l e r

*) H e g e r , fü n fs te llig e lo g a rith m isc h e und go n io - m etrisch e T a fe ln , B . G. T e u b n e r 1900.

(9)

1902. No. 1.

^Nä h e r u n g s w e i s e Au f l ö s u n g v o n n u m e r.h ö h. Gl e i c h u n g e n.

S. 9.

W urzeln b e ru h t au f folgendem S a tz e : W e n n e i n e F u n k t i o n f (x) z w i s c h e n d e n W e r t e n a u n d b d e r V e r ä n d e r l i c h e n b e s t ä n d i g w ä c h s t o d e r b e s t ä n d i g a b n i m m t , u n d w e n n d a b e i f (a) u n d f (b) u n g l e i c h e V o r z e i c h e n h a b e n , so l i e g t z w i s c h e n a u n d b e i n e u n d n u r e i n e W u r z e l d e r G l e i c h u n g f (x) == o.

1. A l l g e m e i n e s E i n s c h a l t u n g s v e r f a h r e n . M an schaltet zwischen a und b einen m ittleren W ert c ein, d u rch B eachtung des Zeichenwechsels d rü ck t m an d am it den S pielraum der gesuchten W urzel au f die H ä lfte herah. D urch W ied erh o lu n g des V erfahrens e rh ä lt m an A ufschluss ü b e r den Ita u g d er höchsten be

deutenden Z iffer; d u rch höchstens vier w eitere E in schaltungen e rfä h rt m an diese Ziffer selbst, und durch höchstens jo vier fernere E inschaltungen d er R eihe nach die ü b rig en Ziffern. Bei d er E in ü b u n g dieses um ständlichen V erfah ren s w ird m an sich m it der B e

rechnung d er höchsten drei Ziffern begnügen, und be-

freffs grösserer G enauigkeit auf spätere M itteilungen verw eisen.

B e i s p i e l . Bis au f fü n f Stellen durchgerechnet, f (x) — X» — 20 x-i — 350 x3 — 900000 = 0.

x | 0 | 20 | 40 30

“f (x) | — 9.105 | — 37.105 | + 2 7 9 .1 0 5 ] — 22,5.105 A us f (20) und f (40) fo lg t eine W urzel zwischen 20 und 40; aus f (30) folgt, dass sie zwischen 30 u nd 40 liegt. D a f (30) d er N ull viel n äh er lieg t als f (40), so w ird auch d er A n fänger nun eine Z ahl cinschalten, die d ich t bei 30 liegt, etw a 31. D ie w eitere R echnung, die ic h , wie in den folgenden B eispielen, vollständig m itteile, um zu zeigen, wie gross (oder bez. w ie gerin g ) der A ufw and an R aum und M ühe ist, w ürde nun fol

gendes e rg e b e n : dabei w erden die beständigen L o g a

rith m en von 350 und 20 an die R ä n d e r eines P a p ie r

streifens geschrieben, und dieser S treifen an die b e treffenden L o g arith m en von x3 und x4 angelegt, wo

durch R aum un d Z eit e rsp a rt w erden kann.

X = 31 .... 32 31,8 ~ 31,9 31,92 31,923

log X 1.49136 1 50515 1.50243 1.50379 1.50406 1.50410

log X3 4.47408 4.51545 4.50729 4.51137 4.51218 ; 4.51230

log X 4 5.90544 6.02060 0.00972 6.01516 6.01624 1 6.01640

log X a 7.45680 7.52575 7.51215 7.51895 7.52030 7.52050

log 350 x 3 7.01815 7 05952 7.05136 7.05544 7.05625 7.05637

log 20^x4 7.20844 7.32300 7.31272 7.31816 7.31924 7.31940

350 x3 10427.103 11469.1 Ö3 11255.10 3 ^{11361 10}3 ^11383.103 ^{11386. IO}3

20 x 4 18544.103 21070.103 20545.10 3 ^20805.103 ^20857.103 ^20864.103

Sum m e 28971.103 32536.103 31800.103 32166.103 32240.10 3 ^32250.103

9.105 + . . 29871.10 3 33436.10 3 32700.103 33066.10 3 ^33140.103 ^33150.103

X 5 28629.10 3 33555.10 3 ^32520.103 33033.10 3 ^33136.103 33152.103

f ( x ) —1242.103 -+119.103 — 180.103 — 33.103 ^{— 4.10}3 + 2 .1 03

A u f fünf Stellen g en a u : x 2. G e r a d l i n i g e E i n s c h a l t u n g (E. n a c h d e r S e h n e). U n te r der gem achten V oraussetzung kann m an das B ild d er F u n k tio n f (x) zwischen den G rund- strecken (Abscisscn) a u nd b m it einem gewissen G rade d er A n n äh eru n g d u rch seine S e h n e ersetzen. I s t c die G ru n d streck e des S ch n ittp u n k tes d e r Sehne m it der G ru n d lin ie (Abscissenaehse), so b erech n et m an f (c), b each tet, an w elcher Stelle d er F olge f (a ', f (c), f (b) der Z e i c h e n W e c h s e l stattgcfuuden h a t, und ersetzt das F u n k tio n sb ild zwischen den betreffenden G ru n d strecken w ieder durch die Sehne usf., bis die letzte G enauigkeit e rre ic h t ist. H ierb ei w ird m an a u f die A nw endung dieser Schaltw eise b ei den L o g arith m en tafeln hinw eisen, sowie darauf, dass je d e p raktisch g u t b rau ch b are T afel ü b er den V erlau f einer F u n k tio n im m er so ausführlich b erech n et sein sollte, dass m an die in d er Tafel n ic h t enthaltenen F unktionsw erte nach d er S ehne einschalten kann.

B e i s p i e l , x4— 5 2 3 ,7 x3 +

1640,5x2

+

560000

- 0. D ie x d er grössten und kleinsten W e rte von f (x) be

stim m en sich aus

4 x8 — 1571,1 x2 4 - 3281,0 x 0

31,922

X = 10 12 ¹¹ 11,46

,

^11,487

log X

log X 3

log X3

log 1640.5 x2 log 523,7 x3

log X 4

1.07918 2.15836 3.23754 5.37334 5.95662 4.31672

1.04193 2.08386 3.12579 5.29884 5.84487 4.16772

1.05918 2.11836 3.17754 5.33334 5.89662 4.23672

1.06021 2.12042 3.18068 5.33540 5.89971 4 24084

X 4 10000 ²⁰⁷³⁶ ¹⁴⁷¹³ ¹⁷²⁴⁷ ¹⁷⁴¹² 1640,5 x2 164050 236230 198995 215450 216470 560000 + Su. 734050 816966 773708 792697 793882 523,7 x3 523700 904940 699630 788160 793800 f (X) 210350 —87974 + 7 4 0 7 8 + 4 5 3 7 + 82

<5i = : 0.027

z u X [ 0, x „ + 2 , l , x 3 + 3 9 0 ,7 .

A us f(xj) .. 560 000" f (x,) : 502404. f (10) = 210 350 e rk en n t m an, dass f (x) von x t bis x2 schwach wächst, von da bis x3 abnim m t, und dann fortgesetzt bis ins U n

endliche wächst. H an d elt es sich um die zwischen x2^und x3 liegende reale W u rz e l, so w ird m an n ich t sofort die zwischen x2 un d x3 enthaltenen Bogen durch die Sehne ersetzen, sondern den Spielraum der W urzel erst d u rch freihändige E in sch altu n g en verkleinern.

A us b eistehender R echnung ersieht m an zunächst, dass die W urzel zwischen 10^und12^liegt.

D urch E in sch altu n g von 11 verkleinert sich der Spiel

raum auf eine E in h eit. H a t die S p u r der Sehne 1 1 1 2 die G rundstreckc 11 + 5 , so fo lg t:

741 6 — 1021 ~ 0,4(1

Aus f (11,46) und f (12) fo lg t w eiter, wenn 11,46 + ^ die G rundstreckc d er S pur d er Sehne 11,40/12 is t:

0,54.454 _ 245 9251 = 9251

A us f (11,487) und f (12; folgt fü r die G rundstrecke 11,487 4- t).2 der S p u r d er Sehne 11.487/12:

0,513.82 42

<*•> = L o - , = oen-u = 0.00048.₄ ₈₈_O₀_O _{8 8 0 o 0} D aher ist die gesuchte W urzel au f 5 S te lle n :

x = 11,487.

3. U n b e t r ä c h t l i c h e G l i e d e r . W enn in der G leichung

f (x) + g (x) = a

in d er N ähe einer W urzel die F u n k tio n g (x) unbe

träch tlich klein gegen f (x) ist, so kann m an eine erste,

(10)

S. 10.

^Un t e r r i c h t s b l ä t t e r.

Jah rg . VIII. No. 1.

g ro b e A nnäherung durch V ernachlässigung von g (x) also aus d er G leichung berechnen

f (xj) = a.

E in l)essercr W e rt x., erg ieb t sich, w enn m an x t in g (x) einführt, also nach d er G leichung rech n et

f (xa) = a — g (x,).

W enn m an nun diesen verbesserten W e rt fü r x t setzt, so bekom m t m an eine noch bessere N äh eru n g u. s. f.

Dieses V erfahren w ird so lange w iederholt, bis zwei aufeinanderfolgende N äherungsw erte genügend übereinstim m en.

H ierzu kann m an m it grö sster L e ic h tig k e it B ei

spiele geben, die rasch zum Ziele führen. E rfah ru n g s- gem äss w ird dieser W eg (bez. d er folgende) von den S chülern besonders gern begangen.

B e i s p i e l . x2 — 3 lo g (x — 4) = 137: E ine W urzel lieg t bei 1 2; für diese kann 3 log (x — 4) für u n b eträch tlich klein gelten. D aher rec h n e t m an

x2! — 137, x22 = 137 -}- 3 log (x t — 4).

X1 ^11.704 ^11.818 ^11.819

>°g (x i — 4) 0.88672 0.89310 0.89315

B logfxj — 4) 2.66016 2.67930 2.67945

x,- 137.00 139.66 139.68 139.68

■°g X2S 2.13672 2.14508 2.14514 log x2 1.06836 1.07254 1.07257

Also ist x = 11,819.

B e i s p i e l . E tw as abw eichend hiervon kann folgende G leichung b eh an d elt w erd en :

x3 + 934,72 x2 = 37590.

M an b erech n et die erste N äherung aus 934,72 x,3 = 37590, und h ie ra u f

37590

X23 = 934,72 + Xl-' u. s. f.

1.06286 1.06604 1.06602

11.557 11.643 11.642

946.28 946.36 946.36

4.57507 4.57507 4,57507 4.57507

2.97078 2.97602 2.97605 1.60429 1.59905 1.59902 0.53143 1.53302 1.53301 log X,2

x l2 N enner log Z ähler lo g N enner log x.,3 log Xo

D ah er ist x = 3.4120.

B e i s p i e l , x — 2 log x = 4.

E in e W urzel x ' lieg t in der N ähe von 4, u n d fü r diese kann 2 log x fü r u n b eträch tlich g elten ; eine andere W urzel x " lieg t bei 0,01, und d afü r ist x un

b eträch tlich .

Die B erechnung von x ' erfo lg t nach x ( = xä = 4 + 2 log Xj u. s. f.

l X‘

log x, 2 lo s x

4.0000 5.2041 5.4327 5.4700 5.4760 5.4769

0.00206 0.71635 0.73502 0.73799 0.73846 0.73853

1.20412 1.43270 1.47004 1.47598 1.47692 1.47706

5.4771 0.73355 1.47710 D aher ist x ’ =

Die andere W urzel erg ieb t sich aus log x l —

log x.

2^{, log x}2^{= —}2^-}- 3.00000 | 3.00500 ,8.00506

| 0.01000 0.010116 ,0.010117 Vs x, ( 0.00500 : 0.005058 j 0.005058

folglich ist x ” == 0,010117.

4. U n b e t r ä c h t l i c h e F a k t o r e n o d e r D i v i s o r e n . W enn eine G leichung die F o rm b a t

f (x) . g (x) = a

und g (x) in d er N ähe einer W urzel von d er E in h e it n ic h t erheblich verschieden ist, so kann m an die erste g ro b e N äh eru n g finden, indem m an g (x) d u rch 1 e r

setzt, also aus

f (xt) = a.

D ie w eiteren N äherungen ergeben sich aus f (xo) = a / g (Xl) u. s. f.

B e i s p i e l . Das K a p ita l c w ächst d u rch jä h r lichen Zinseszins zu p P ro z e n t in n ganzen J a h r e n und dem Ja h rb ru c h te ile t an auf

k — • c • 1,0p ” ( l + J ^ J . Z u r B erech n u n g von p h a t m an

p t J k i ,0p n ( l + io ö ) c

D er zw eite F a k to r links kann als u n b eträch tlich gelten, d ah er die erste N äh eru n g fü r p b erech n et w erden aus

i,oPln = £

F ü r die w eiteren A nnäherungen h a t m an

l ’°P*n =

c

: ( l + i w ) ’ U‘ S- f‘

I s t log k/c = 0.47712, n — 20, t = 0,51, so folgt

= 5,4771.

log Pi log t p t /100 lo g (1 + • •) log l ,0p2n log l ,0^pä

l.OPä

0.74044 8.44801 0.01201 0.46511 0.75182 0.74013

8.45939 8.44770 0.01233 0.01201 0.47712 0.46479 0.46511 0.023856 0.023240 0.232555 1.05647 1.05497 1.05501

p = 5,501.

B e i s p i e l . D ieser W eg fü h rt u n te r U m ständen auch dann noch rasch zum Z iele, wenn die V oraus

setzungen fü r seine G a n g b a rk e it n u r sehr unvollständig e rfü llt zu sein scheinen.

D ie G leichung

5000 X* + 3000 x3 = 1 kann nach den F o rm eln gelöst w e rd e n :

5000 xt3 == 1, 5000 xä3 = 1 : (xj + 0,6;, obgleich x t + 0,6 von d er E in h e it re c h t erheblich a b w eicht. D ie Z ahlenrechnung e rg ie b t näm lich

0.0584810 067219j0.066924!0.066934 x

xi + lo g t x j - f 0,6)

lo g x23 lo g x2

0.65848(0.66722 0.66692 9.81855(9.82427 (9.82407 6.30103!6.48248¡6.47676 6.47696 8.82565

¡0.66693 (9.82403 (6.47695 :8.82565 8.76701(8.82749(8.82559

x = = 0.066934.

5. H a t m an m it dem E insch altu n g sv erfah ren (1) o d e r m it d er E in sch altu n g nach d er S ehne (2) die g e suchte W u rzel bis au f drei Stellen genau berech n et, so kann m an zur B erechnung d er noch nötig en V e r

besserung o ft m it V o rteil die W ege 3 od er 4 ein- selilagen. I s t f (x) == a aufzulösen, x2 die gefundene g ro b e N äherung, x2 (1 -f- <5) die gesuchte W u rzel, so h a t m an den ächten B ruch d aus d er G leichung zu b e stim m en :

S

[xi (I + <V] = a.

In vielen F ällen kann auch der S chüler f (x L -j- d)

Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 8, No. 1

c f é / ó T

J a h rg a n g V III.