Seria nr 10. Termin oddania — brak.

Seria nr 10. Termin oddania — brak.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Na kartkach w tym tygodniu nie oddają Państwo żadnych zadań, choć bardzo polecam zrobienie części zadania 1 i przynajmniej obejrzenie pozostałych. Zadania można - jak co tydzień - odddać (ładnie spisane) na kartkach. (plusy do zdobycia)

1. Dane są miary: µ = δ

+ δ

, ν = l|

oraz ω =

µ +

ν. Oblicz całki:

a) Z

R

2x − 1 dµ(x);

b) Z

R

2x − 1 dν(x);

c) Z

R

1 dω(x); (czyli sprawdzenie, że ω jest miarą probabilistyczną)

d) Z

R

x dω(x); (wartość oczekiwana)

e) Z

R

 x −

Z

R

y dω(y)



dω(x); (wariancja)

f) Z

[0,1]

x

dω(x);

2. Dana jest przestrzeń X = {1, 2, 3, 4, 5} oraz miary na tej przestrzeni ν(A) =(ilość elementów nieparzystych w zbiorze A); µ(A) =(suma pierwiastków elementów zbioru A). Oblicz całki:

a) Z

X

2x dµ(x);

b) Z

X

2x dν(x);

c) Z

X

x

d µ + ν
(x);

3. Dana jest miara µ =

∞

X

k=0

2

e

k! δ

na prostej R. (0! = 1). Oblicz:

a) Z

R

1 dµ(x); (miara całej przestrzeni)

b) Z

R

x dµ(x); (wartość oczekiwana)

c) Z

[−3,5]

x dµ(x); (obcięte do przedziału)

d) Z

(0,+∞)

2x − 1 dµ(x);