(1)(Lokalne twierdzenie graniczne) Załóżmy, że {Xn} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o war- tościach całkowitych i o takim samym rozkładzie

(Lokalne twierdzenie graniczne) Załóżmy, że {X_n} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o war- tościach całkowitych i o takim samym rozkładzie. Oznaczmy przez φ funkcję charakterystyczną X_j i niech Sn = X1 + · · · + Xn. Założmy ponadto, że rozkład X_j jest symetryczny względem 0, Var(X_j) = σ², E|Xj|³ < ∞, P[Xj = 0] > 0, P[Xj = 1] > 0. Pokaż, że

n→∞lim

√

2πσ²n · P[Sn= 0] = 1.

Wskazówka:

P[Sn= 0] = 1 2π

Z π

−π

φⁿ(t)dt = 1 2π√

n Z π√

n

−π√ n

φ(t/√ n)ⁿdt.

Rozwiązanie: Z symetryczności zmiennej losowej X:

φ(t) = E[e^itX] = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)] = E[cos(tX)].

oraz

φⁿ(t) = E[e^itSn] = E[cos(tSn)].

Dowodzimy formuły sformułowanej we wskazówce (poniżej używamy tw. Fubiniego):

1 2π

Z π

−π

φⁿ(t)dt = 1 2π

Z π

−π

E[cos(tSn)]dt

= E



1_{Sn=0}· 1 2π

Z π

−π

dt



+X

k6=0

E



1_{Sn=k}· 1 2π

Z π

−π

cos(tk)dt



= PS_n= 0.

Zamieniając zmienne:

2π√

nPS_n= 0 = Z

|t|<π√ n

φⁿ(t/√ n)dt Ustalmy δ > 0. Powyższą całkę robijamy na dwie i obie szacujemy osobno:

Z

|t|<π√ n

φⁿ(t/√ n)dt =

Z

|t|<δ√ n

φⁿ(t/√ n)dt +

Z

δ√

n≤|t|<π√ n

φⁿ(t/√ n)dt.

Zaczynamy od drugiej całki. Oznaczmy p_k = P[X = k]. Zauważmy, że dla s takich, że δ < |s| < π:

|φ(s)| = E[cos(sX)] =    

p0+ p1cos s + X

k6=0,1

pkcos(kt)    

< γ < 1.

Powyżej korzystamy z założeń p₀, p₁ > 0. Stąd szacujemy drugą całkę:

n→∞lim     Z

δ√

n≤|t|<π√ n

φⁿ(t/√ n)dt

≤ lim

n→∞

Z

δ√

n≤|t|<π√ n

γⁿdt ≤ lim

n→∞2π√

nγⁿ= 0.

Wystarczy więc pokazać (poniżej dla uproszczenia zakładamy σ² = 1)

n→∞lim Z

|t|<δ√ n

φⁿ(t/√

n)dt = lim

n→∞

Z

R

fn(t)dt = Z

R

e^−t2/2dt, (1)

gdzie

fn(t) = 1_{|t|<δ^√_n}φⁿ(t/√ n)

Zauważmy najpierw, że funkcja f_n(t) zbiega punktowo (tzn. dla każdego t) do e^−t2/2. Mianowicie ustalmy t i weźmy duże n tak, aby |t| < δ√

n. Wtedy postępujemy dokładnie tak samo jak w dowodzie CTG:

f_n(t) = φⁿ(t/√

n) = 1 − (1 − φ(t/√

n)
_1−φ(t/^1√_n)·n(1−φ(t/√

n))→ e^{− limt→∞n(1−φn(t/}

√n))

i następnie korzystając z rozwinięcia Taylora:

t→∞lim n(1 − φ(t/√

n)) = lim

t→∞n · t²/(2n) + o(t²/(2n))
= t²/2.

Pokazaliśmy więc, że w (1) funkcje pod całką są zbieżne. Pozostaje do pokazania, że możemy przejść z granicą pod całkę. W tym celu znajdziemy całkowalną majorantę funkcji f_n, wtedy twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zdominowanej pozwala wywnioskować (1). Zacznijmy od rozpisania funkcji φ w szereg Taylora:

φ(s) = 1 −s²

2 + s³φ⁰⁰⁰(0)

6 + o(s³) = 1 −s²

2 + o(s³),

bo φ⁰⁰⁰(0) = 0 (akurat ta obserwacja nie jest poniżej potrzebna i możnaby pisać dalej ten składnik). Składnik o(s³) oznacza wyrażenie, które podzielone przez s³ zbiega do zera, gdy s → 0. W szczególności dla każdego η > 0 istnieje δ takie, że o(s³) ≤ η|s|³, gdy |s| ≤ δ. Przypomnijmy również rozwinięcie funkcji logarytm:

log(1 + s) = s + O(s²).

Dalej piszemy:

φ(t/√

n)ⁿ= e^{n log φ(t/}

√n)= e^{n log(1−2nt2+o(t3/n3/2))}= e^{n·(−2nt2+o(t3/n3/2))}= e^{−t22+no(t3/n3/2))}

Zauważmy, że jeżeli wybraliśmy odpowiednio małe δ, to na zbiorze {|t| < δ√

n} zachodzi:

−t²

2 + no(t³/n^3/2)) ≤ −t² 4 Co z kolei dowodzi:

fn(t) ≤ e^−t2/4.