C Zadania dla chętnych

(1)

24DRAP - CTG

Twierdzenie. 1 (CTG). Niech X1, X2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, niech EX1= m, VarX1= σ²> 0, Sn=Pn

i=1Xi. Wtedy

P

 S_n− ESn

√VarSn

¬ t

= P S_n− nm σ√

n ¬ t

→ Φ(t),

gdzie Φ jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie N (0, 1). Tzn. ^Sⁿ_σ^−nm^√_n −→ X, X ∼ N (0, 1).^D Wniosek. 2 (Tw. de Moivre’a-Laplace’a). Dla Sn∼ Bin(n, p)

P a ¬ S_n− np pnp(1 − p) ¬ b

!

→ Φ(b) − Φ(a), −∞ < a < b < ∞

Uwaga. 1. Przykładowe oszacowania na błąd przybliżenia w CTG:

err ¬_{2 max |X}

i| σ

³

√1

n w dowolnym przypadku oraz

err ¬ ^p^√²^+q_npq² dla Sn o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p.

Tablica z dystrybuantą rozkładu normalnego N (0, 1)

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Niech Y ∼ Bin(750, 1/3). Korzystając z CTG (twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a) oszacuj P (220 ¬ Y ¬ 280).

Zadanie A.2. Mamy monetę, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 0, 55. Ile co najmniej musimy wykonać rzutów, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0, 95 na podstawie średniej z tych rzutów wywnioskować, że częściej wypada orzeł (tzn. średnia liczby orłów będzie większa niż 1/2)? W zadaniu skorzystaj z CTG.

1

(2)

Zadanie A.3. Profesor wie z doświadczenia, że wynik studenta na egzaminie jest zmienną losową X o EX = 75 i VarX = 25. Zakładamy idealistycznie, że wyniki studentów są niezależne.

a. Oszacuj, z jakim prawdopodobieństwem średnia z wyników 100 studentów zmieści się w przedziale (70,80).

b. Sprawdź, ilu studentów potrzeba, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,99 średni wynik różnił się od 75 o co najwyżej 1.

W zadaniu skorzystaj z CTG.

Zadanie A.4. Pobrano 50 pomiarów w postaci liczb rzeczywistych. Każdy z pomiarów zaokrąglono do najbliższej liczby całkowitej a następnie wyniki zaokrąglenia zsumowano. Zakładmy, że błędy powstałe w wyniku zaokrąglenia są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [−1/2, 1/2]. Oszacuj prawdopodobieństwo, że uzyskana suma różni się od sumy wartości pomiarów o co najwyżej 3.

Zadanie A.5. Astronom jest zainteresowany oszacowniem w latach świetlnych odległości z obserwatorium do dalekiej gwiazdy. Każdy z pomiarów jest niedokładny, więc astronom wykonuje serię pomiarów. Astronom wie, że błąd pomiaru ma wariancję 4 (lata świetlne), wartość oczekiwaną 0 i co do modułu nie może być większy niż 3. Ile pomiarów musi wykonać, aby mieć podstawy przypuszczać, że z prawdopodobieństwem co najmniej 0.95 może oszacować odległość do gwiazdy z dokładnością do 0.5 lat świetlnych.

Zadanie A.6. Inwestor równomiernie inwestuje w ciągu 5 lat swoje środki o wartości 1 mln PLN w grupę N firm o podwyższonym stopniu ryzyka. Prawdopodobieństwo podwojenia wartości każdej z inwestycji w ciągu dowolnego roku wynosi 60%, a bankructwa inwestycji jest równe 40%. Wyniki inwestycji są niezależne w kolejnych latach i w tym samym roku dla różnych firm. Ile musi wynosić N , aby inwestor miał 99% pewności osiągnięcia po 5 latach 50% zysku nominalnego od całości włożonego kapitału początkowego?

Zadanie A.7. Na podstawie losowej próby szacujemy procent dorosłych osób, które umieją czytać i pisać. Wiadomo na pewno, że jest to ponad 90% (dorosłej) populacji, a błąd ma być mniejszy od 0,001 z prawdopodobieństwem 0,9. Ile osób musi liczyć próba?

Zadanie A.8. W wyborach prezydenckich 55% zagłosuje na kandydata A. Firma ankieterska przeprowadza ankietę. Ilu musi przepytać losowych respondentów (zakładamy, że ankieter wybiera respondentów z powtórzeniami, tzn. niezależnie za każdym razem oraz że respondenci nie kłamią co do swoich preferencji), aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.97 przewidzieć wygraną kandydata A?

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Rzucamy 15000 razy kostką. Oszacować z CTG prawdopodobieństwo, że liczba szóstek będzie różnić się od 2500 o więcej niż 100.

Zadanie B.2. Niech Y ∼ Bin(600, 1/3). Korzystając z CTG (twierdzenia de Moivre’a-Laplace’a) oszacuj P (Y = 200).

Zadanie B.3. Wśród mieszkańców Nowego Jorku 51% jest za zakazem palenia w miejscach publicznych. Wyznacz przybli- żoną wartość prawdopodobieństwa, że ponad 50% w losowej próbie n mieszkańców Nowego Jorku jest za wprowadzeniem zakazu dla

a) n = 11 b) n = 101 i c) n = 1001.

Jak duże powinno być n aby to prawdopodobieństwo było większe niż 0,95?

Zadanie B.4. Zad. 5, §7.5.

Zadanie B.5. Zad. 10, §7.5.

Zadanie B.6. Zad. 3, §7.5.

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.7. Losujemy 7500 razy ze zwracaniem jedną kartę z talii 52 kart. Oszacuj prawdopodobieństwo, że liczba wylosowanych pików odchyli się od wartości oczekiwanej o co najmniej 100 (użyć CTG)

Zadanie B.8. Zad. 2, §7.5.

Zadanie B.9. Zad. 4, §7.5.

Zadanie B.10. Zad. 13, §7.5.

Zadanie B.11. Zad. 14, §7.5.

2

(3)

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Zad. 9, §7.5.

Zadanie C.2. W mieście Nowe Miasto mieszka n = 50000 wyborców uprawnionych do wyboru wójta. Jest dwóch kandydatów: kandydat A oraz kandydat B. W dniu wyborów każdy wyborca, w sposób niezależny od pozostałych, podejmuje decyzję w losowy sposób i wykonuje dokładnie jedną z poniższych trzech czynności:

• z prawdopodobieństwem pAoddaje głos na kandydata A;

• z prawdopodobieństwem pB oddaje głos na kandydata B;

• z prawdopodobieństwem 1 − (pA+ p_B) zostaje w domu i nie głosuje.

Wiadomo że p_A− p_B = 0, 001; p_A+ p_B = 0, 200001. Oblicz przybliżoną wartość prawdopodobieństwa, że kandydat A zdobędzie więcej głosów, niż kandydat B.

3

(4)

Rozwiązania do niekrótych zadań

B.2 P (Y = 200) ≈ P (199, 5 ¬ Y ¬ 200, 5) ≈ 2Φ(0, 04) − 1 ≈ 0, 0319 B.3 (a) ≈ 0, 5279 (b) ≈ 0, 57926 (c) ≈ 0, 73565

n 6807

4