Wartość bezwzględna i problemy z nią związane.
Na początek warto przypomnieć kiedy w czasie nauki matematyki pojawiło się pojęcie wartości bezwzględnej – lub dokładniej wartości bezwzględnej liczby względnej. Liczby względne to liczby ze znakiem plus (+) lub minus (-).
Wartością bezwzględną liczby względnej nazywamy tą liczbę bez znaku . Z założenie przyjmuje się, że liczby bez znaku są dodatnie lub równe zero.
Wiec wartość bezwzględną liczby względnej „x” można zdefiniować jak poniżej:
| | = ⇔ ≥ 0 Lub
| | = − ⇔ < 0
Często zamiast mówić wartość bezwzględna liczby mówimy: „moduł z liczby” . W językach programowania funkcja ta jest oznaczana symbolem:
abs(x)
Funkcja y=|x| ma wykres jak poniżej. Warto tu zaznaczyć ze funkcja ta nie
ma pochodnej dla x=0, ponieważ pochodna lewostronna nie jest równa
pochodnej prawostronnej.
Bardzo często problem wartości bezwzględnej występuje razem z
pierwiastkiem z kwadratu liczby. Wartość arytmetycznego pierwiastka kwadratowego nie może być nigdy ujemna wiec należy pamiętać że:
Pokażę teraz zastosowanie w/w reguły.
Zadanie wykaż że :
Należy tutaj zastosować wzór skróconego mnożenie:
i analogicznie:
Podstawię do wyjściowego wzoru, wtedy mamy:
1 − √5 − 1 + √5 =
1 − √5 − |1 + √5| = √5 − 1 − √5 − 1 = −2
Należy tu zauważyć że 1-sze wyrażenie jest ujemne dlatego zgodnie z
definicją został zmieniony znak , drugie wyrażenie jest dodatnie wiec został uwzględniony tylko znak przed modułem.
Niezastosowanie tutaj wzoru na pierwiastek z kwadratu liczby byłoby poważnym błędem i nie dałoby oczekiwanego rezultatu.
Inny przykład wykorzystujący wzór na pierwiastek z kwadratu liczby:
Zadanie: Czy funkcje : ( ) = log ( ) = 2 ⋅ log (x) są tożsame , równoważne ?
Na pierwszy rzut oka wygląda, że tak bo jest zastosowany wzór na logarytm
potęgi. Wystarczy jednak zrobić wykresy wyżej wymienionych funkcji aby
się przekonać , że tak nie jest.
Należy wyjaśnić że poprawny wzór to:
log = 2 ⋅ log | |
Nierówność z bezwzględną wartością.
Jeżeli dana jest nierówność typu |x|>a lub |x|<a należy zastosować rozwiązania pokazane na poniższych wykresach dla a=6.
Pokazane rozwiązania można uogólnić i w miejsce x można podstawić dowolną funkcję f(x).
Przykład: Rozwiąż nierówność:
|2-|x-1||<3 zgodnie z wyżej wymienionym mamy:
2 − | − 1| > −3 ∧ 2 − | − 1| < 3
| − 1| < 5 ∧ | − 1| > −1 ⇒
− 1 > −5 ∧ − 1 < 5 ∧ ( ∈ )
> −4 ∧ < 6 ⇒ ∈ (−4, 6) ODP: |2-|x-1||<3
Nierówność można rozwiązać robiąc kolejne wykresy tak jak pokazano na
powyższym wykresie.
Funkcja kwadratowa i wartość bezwzględna.
Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa ( ) = ⋅ + ⋅ + to wartość bezwzględną można „nałożyć” na całość funkcji lub tylko na niektóre składniki .
Jeżeli nałożymy na całość to wykres funkcji poniżej osi „zawija” się symetrycznie ponad oś tak jak pokazuje to poniższy 1-szy wykres.
Interesujący jest przypadek gdy to wartość bezwzględną nałożymy na składnik 1-go stopnia tak jak pokazano na obrazku po prawej stronie. Funkcja wtedy jest parzysta i wykres jest symetryczny względem osi rzędnych.
Przypadek ten często jest wykorzystywany w równaniu kwadratowym z parametrem gdy szukana jest ilość pierwiastków zależna od parametru.
Zadanie: Dane jest równanie kwadratowe z parametrem . Zrobić wykres ilości pierwiastków w funkcji parametru k.
Najlepiej jest przenieść wyraz wolny na prawą stronę i wprowadzić nowy parametr
= 2 − 1 . Wtedy :
Teraz należy zrobić wykres funkcji po lewej stronie i sprawdzić ilość punktów wspólnych z prostą :
Wykres poniżej:
Korzystając z parzystości funkcji policzę współrzędne wierzchołka po prawej stronie:
Miejsca zerowe to : = 0 = 4 ⇒ = = 2 = (2) = 4 − 8 = −4 m= m < -4 m =-4 -4< m<0 m =0 m > 0
= + 1
2 = k < k = < k < k = k >
Ilość pierwiastków 0 2 4 3 2
