Zadania z METOD OBLICZENIOWYCH - cz. II
1. Obliczy´c współczynniki macierzy i wektora elementu sko´nczonego [2, 5] z liniowymi funkcjami kształtu, dla zagadnienia Rb
au′v′dx = Rb
axv dx ∀v ∈ V . Znaj ˛ac stopnie swobody tego elementu (u1 = 0.5, u2 = −7.5) obliczy´c rozwi ˛azanie w punkcie3.2.
2. Zastosowa´c MES do rozwi ˛azania zagadnienia Laplace’a (f=0) w obszarze zdyskretyzowanym trzema jednakowymi elementami sko´nczonymi ([1], [2], [3]) i w˛ezłami ponumerowanymi jak na rysunku.
Przyj ˛a´c na cz˛e´sci brzegu (1-2-3) warunki typu Dirichleta ˆT = (x2 −y2) · 20oC, a na pozostałej warunki typu Neumannaq = 100 W/mˆ 2.
Element[2], z w˛ezłami kolejno 2,4,1, ma macierz Ke2 =
0.5 −0.5 0
−0.5 1 −0.5 0 −0.5 0.5
1
2 3
4 5
2 m
2 m
2 m 2 m
[1]
[2]
[3]
x y
3. Dla dyskretyzacji jak na rysunku znane jest rozwi ˛azanie w w˛ezłach: T(1)=0, T(2)=8, T(3)=34, T(4)=4.
* Stosuj ˛ac liniowe funkcje kształtu obliczy´c temperatur˛e wzdłu˙z trzech wysoko´sci elementu[2].
Jaka jest temperatura w ´srodku ci˛e˙zko´sci elementu[1].
* Stosuj ˛ac liniowe funkcje kształtu obliczy´c macierz i wektor elementu[2], wiedz ˛ac ˙zeq = 50 W/mˆ 2, f = 200 W/m3.
1
2 3
4
2 m
3 m
2 m [2]
[1]
4. Aproksymacja MES z liniowymi funkcjami kształtu ma warto´sci w˛ezłowe: uh(0)= -1, uh(0.3) = -0.91, uh(0.5)= -0.75, uh(1)=0. Zastosowa´c metod˛e wygładzania do obliczenia wska´znika bł˛edu w elemencie [0.3, 0.5].
5. Rozwi ˛azaniem zagadnienia ddx2u2 = −f (x) z odpowiednimi warunkami brzegowymi jest funkcja u(x) = x3, x ∈ [0, 3]. Obliczono rozwi ˛azanie MES (uh) za pomoc ˛a 3 elementów sko´nczonych z liniowymi funkcjami kształ- tu. Jest ono interpolacj ˛a rozwi ˛azania dokładnego. Narysowa´c wykresy bł˛edu rozwi ˛azania MES oraz residuum równania. Obliczy´c wska´znik bł˛edu dla ´srodkowego elementu metod ˛a residualn ˛a.
