Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 9. Funkcje charakterystyczne
Ćw. 9.1 Wykaż, że funkcja ϕ(t) = e−it2 nie może być funkcją charakterystyczną.
Ćw. 9.2 Wyraź D2(sin X) + D2(cos X) za pomocą ϕX(1).
Ćw. 9.3 Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej 2X +Y , jeśli X i Y są niezależnymi zmien- nymi losowymi o rozkładach X ∼ G(1/2), Y ∼ G(1/4).
Ćw. 9.4 1. Zmienne X i Y są niezależne i mają jednakowy rozkład z funkcją charakterystyczną ϕ. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej X − Y .
2. Wykaż, że jeśli X i Y mają jednakowy rozkład Cauchy’ego C(a, λ), to X − Y ma rozkład C(0, 2λ).
Ćw. 9.5 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Wyznacz rozkład zmiennej X/Y .
Ćw. 9.6 Rozkład wektora (X, Y ) zadany jest gęstością
f (x, y) = 1
4(1 + xy(x2− y2)), |x| ¬ 1, |y| ¬ 1.
Wykaż, że X i Y są zależne, a mimo to ϕX+Y(t) = ϕX(t)ϕY(t).
Ćw. 9.7 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X jest ϕ(t) = cos2t. Wyznacz rozkład zmiennej X.
Ćw. 9.8 Wyznacz gęstość zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej postaci
ϕ(t) =
1 − |t|; |t| ¬ 1 0; |t| > 1.
Ćw. 9.9 Wyznacz czwarty moment zwykły zmiennej losowej X o rozkładzie N (0, 1).
Ćw. 9.10 Niech X1, X2, . . . będzie ciągiem zmiennych losowych, przy czym Xnma rozkład N (0, 1/n).
Podaj wzór funkcji charakterystycznej zmiennej Xn. Czy ciąg Xn jest zbieżny według roz- kładu? Czy jest zbieżny według prawdopodobieństwa?
Ćw. 9.11 Zmienna losowa Xn ma rozkład jednostajny na odcinku −4 − n1, 4 + n1, a zmienna losowa Yn ma rozkład zadany wzorami
P (Yn = 0) = 1 − 1
2n, P (Yn = n) = 1 2n, przy czym dla każdego n ∈ N zmienne Xn i Yn są niezależne.
1. Wyznacz ϕXn+Yn.
2. Znajdź słabą granicę ciągu {Xn+ Yn}n∈N.
Ćw. 9.12 X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi rozkładzie Cauchy’ego C(0, 1). Znaleźć rozkład graniczny ciągu
Zn = 1 3n
2n
X
i=1
Xi.
