Statystyka i eksploracja danych 3. Estymatory
Ćw. 3.1 (N., Przykład 2.1.2. str. 117) Producent bada n swoich wyrobów i zapisuje 0, gdy trafi na wyrób prawidłowy, a 1, gdy trafi na wyrób wadliwy. Podaj model przestrzeni statystycznej.
Ćw. 3.2 (N. Przykład 2.1.5. str. 117) Powtarzamy niezależnie n razy pomiar pewnej wiel- kości fizycznej. Zakładamy, że każdy z pomiarów ma rozkład normalny. Podaj model przestrzeni statystycznej.
Ćw. 3.3 (K. B. D. K. W., tom 2., Zad. 2.34 str. 71) W celu oszacowania wartości prze- ciętnego czasu bezawaryjnej pracy maszyny z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i mierzono czas ich pracy do pierwszej awarii. Uszkodzenia wystąpiły w chwi- lach: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 351. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy E(λ) znaleźć ocenę wartości przeciętnego czasu bezawaryj- nej pracy oraz oszacować parametr λ.
Ćw. 3.4 (K. B. D. K. W., tom 2., Zad. 2.36 str. 71) W celu wyznaczenia dokładności przyrządu pomiarowego dokonano 8 niezależnych pomiarów pewnej stałej wielkości uzyskując rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179, 174. Wyznaczyć ocenę wariancji błędów tego przyrządu, jeśli
a) wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176, b) wartość mierzonej wielkości nie jest znana.
Ćw. 3.5 (K. B. D. K. W., tom 2., Zad. 2.26 str. 70) Niech X1, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że statystyka
T =ˆ 1 2n
n
X
i=1
Xi2
jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu wykładniczego E(λ). Czy jest to estymator mocno zgodny?
Ćw. 3.6 Niech ˆθ : Rn → [0, 1],
θ =ˆ n −Pni=11{m}(Xi) n
będzie estymatorem parametru θ = 1−pm rozkładu dwumianowego B(m, p), gdzie m jest znane. Sprawdzić, czy ˆθ jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru θ.
Ćw. 3.7 Pokazać, że ciąg ˆθ, gdzie
θ : (0, ∞)ˆ n → (0, ∞), θ = expˆ
− n
Pn
i=1Xi
,
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o roz- kładzie wykładniczym.
Ćw. 3.8 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu geometrycznego G(p), p ∈ (0, 1). Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru
a) p, b) θ =√
p.
Ćw. 3.9 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu Weibulla W e(2, β) o gę- stości
f (x) = 2β−2xe−(x/β)21(0,∞)(x), β > 0.
Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru β.
