Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa

Rachunek prawdopodobie´ nstwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa

Cw. 11.1 W celu oszacowania warto´sci przeci¸etnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny´ z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i mierzono czas ich pracy do pier- wszej awarii. Uszkodzenia wyst¸api ly w chwilach: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 351.

Wiedz¸ac, ˙ze czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozk lad wyk ladniczy E(λ) znajd´z ocen¸e warto´sci przeci¸etnej czasu bezawaryjnej pracy oraz oszacuj parametr λ.

Cw. 11.2 W celu wyznaczenia dok ladno´sci przyrz¸´ adu pomiarowego dokonano 8 niezale˙znych pomiar´ow pewnej sta lej wielko´sci uzyskuj¸ac rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179, 174. Wyznacz ocen¸e wariancji b l¸ed´ow tego przyrz¸adu, je´sli

(a) warto´s´c mierzonej wielko´sci jest znana i r´owna 176, (b) warto´s´c mierzonej wielko´sci nie jest znana.

Cw. 11.3 Niech X´ ₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a z rozk ladu wyk ladniczego E(λ). Poka˙z, ˙ze statystyka T = _2n¹ Pn

i=1X_i² jest nieobci¸a˙zonym estymatorem wariancji rozk ladu wyk ladniczego E(λ).

Cw. 11.4 Niech ˆ´ θn : Rⁿ → [0, 1], ˆθn(x1, . . . , xn) = ⁿ⁻

Pn

i=11_{m}(xi)

n b¸edzie estymatorem parametru θ = 1 − p^m rozk ladu dwumianowego B(m, p).

(a) Sprawd´z, czy ˆθ_n jest zgodnym estymatorem parametru θ.

(b) Poka˙z, ˙ze ryzyko kwadratowe estymatora ˆθ_n w punkcie θ jest r´owne _n¹ p^m(1 − p^m).

Cw. 11.5 Niech X´ ₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu jednostajnego U (a, a + 1).

Sprawd´z, czy estymator T = _n¹Pn

i=1X_i−¹₂ jest nieobci¸a˙zonym estymatorem parametru a i znajd´z ryzyko tego estymatora w punkcie a.

Cw. 11.6 X´ 1, X2, . . . , Xn jest pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N

θ_n = n +Pn

k=11{2}(X_k) n − a

jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator ten jest nieobci¸a˙zony?

Cw. 11.7 Niech X´ ₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu wyk ladniczego E(λ). Poka˙z,

˙ze estymator T = nX₍₁₎ parametru 1/λ jest nieobci¸a˙zony, ale nie jest zgodny.

Cw. 11.8 Niech X´ ₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu Poissona P (λ). Czy esty- mator T = ⁿ⁻¹_n 1 −_n^a
Pn_i=1Xi

, a 6= 0, funkcji f (λ) = exp(−aλ) jest asymptotycznie nieobci¸a˙zony?

Cw. 11.9 Poka˙z, ˙ze ci¸´ ag {ˆθ_n}, gdzie

θˆ_n : (0, ∞)ⁿ→ (0, ∞), θˆ_n(x₁, . . . , x_n) = exp

− 1

¯ x_n

 ,

jest mocno zgodnym ci¸agiem estymator´ow parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozk ladzie wyk ladniczym.

Cw. 11.10 Niech X´ ₁, . . . , X_n b¸edzie pr´ob¸a prost¸a z rozk ladu o g¸esto´sci f (x) = ¹₂(1 + θx)1_(−1,1)(x), gdzie θ ∈ (−1, 1) nie jest znane. Wyznacz zgodny estymator parametru θ.