Przekształcenie pewnego typu funkcji wielu zmiennych i jej nonio- gram ruchomy
W p racy om ów iono teo rię nom ogram u o ru chom ych segm en tach , dzięki czem u funkcję czterech zm ien n ych m ożna p rzedstaw ić jed n ą krzyw ą, której w spółrzędne będą jednak od czytyw an e na segm en tach n a sta w io n y ch odpow iednio do w a rto ści p o zo sta ły ch dwu zm iennych.
1. Wstęp
W nom ografii sp o ty k a się obok sta ły c h tak ż e n o m o g ra m y ruchom e, polegające n a rów noległym p rzesu w an iu n iek tó ry ch skal. P rzesu w anie to odbyw a się w edług osobnej skali fu n k cy jn ej, k tó rej w prow adzenie określa dod atko w ą zależność w y n ik u ostatecznego od jeszcze je d n e j zm iennej (p aram etru ) — a więc w konsekw encji zwiększa liczbę zm ienn ych n ieza
leżnych funk cji, dla k tó re j d a n y n o m ogram sporządzono.
W p ra c y niniejszej opisano teo rię przyrządów , k tó re m ożna o ty le zaliczyć do nom ogram ów ruch o m y ch , że zaw ierają skale ru ch o m e — z re sztą nie przesuw alne równolegle, ale obrotow e, co je s t poręczniejsze w o b sługiw aniu, z drugiej je d n a k stro n y p rzy rz ą d y te sto su ją w ykres pew nej funkcji, k tó ra je st czynnikiem fu n k cji całkow itej, dla k tó rej p rzy rz ą d sporządzono — pod ty m w zględem nowość rozw iązania polega n a z a s tą pieniu o o 2 w ykresów jed n y m w ykresem , odczytyw anym je d n a k n a sk a lach zm iennych obrotow o n a staw ialn y ch .
2. Teoria zagadnienia
A by możliwe było sporządzenie takiego p rzy rząd u , fu n k cja m usi speł
niać pew ne założenia, któ re w świetle rozdziału 1 p rzed staw iają się n a stępująco :
a) zasadnicza część fu n k cji przed staw ialn a w ykresem m usi zaw ierać ty lk o je d n ą zm ienną,
b) obrotow e n astaw ian ie skal, p rz y pom ocy k tó ry c h odczy tuje się rzędne i odcięte w ykresu p ■ a, mówi o pew nych zależnościach funk cy j - nycli m iędzy zm iennym i i k ą ta m i, o jak ie obraca się skale ruchom e.
74 M ichał L aw in a
M atem aty czn ie trz e b a u ją ć rzecz 'w te n sposób, że od pew nej funkcji w ielu zm iennych dochodzi się do funk cji jednej zm iennej — drogą p rze k ształceń i do d atkow y ch założeń, m ających in te rp re ta c je geom etryczne.
To w łaśnie zagadnienie będzie treścią tego u stęp u . Z ajm iem y się poniżej fu n k cją czterech zm iennych:
y = f ( x 1, x 2, x s, x i ) o n a stę p u jąc y c h w łasnościach:
I. W przedziałach:
0 < x ^ a , 0 < x 2^ a , 0 < x 3^ a , 0 < x i ^ b , fu n k c ja je s t ciągła.
I I . Szczegółowa p o stać fu n k cji jest n a stę p u jąc a :
(1)
x 3xi . (2)
I I I . D la wszelkich x 1 i x 2 zachodzi związek:
x 1- ^ x 2. (3)
IY . Z m ienna x 3 ok reślo n a je s t d a n y m zw iązkiem : x 3= & { x 2).
Istn ie je n a stę p u ją c a m ożliw ość przekształcenia rozw ażanej funkcji.
W prow adźm y zm ienną:
t x 1 Ę = a — .
x 2 F u n k c ja (2) przyjm ie w te d y po stać:
y = q>\-\x3x i .l
\d J O sta tn ie w y rażenia napiszem y w p ostaci:
y = /f\« a *4
ab ^ \ a ) a b '
O kreśla ona zależność rozw ażanej fu n k cji od zm iennych w zględnych:
/r>
d 3 • 4
a b '
Z a k ład a jąc pew ne stałe w artości n a x 3 i x t , o trz y m am y ty lk o fu n k cję:
^ (4)
rozw ażaną je d n a k w s k a l i 1 ¡ab. Istn ie je możliwość n a stęp u jącej i n t e r p r e t a c j i g e o m e t r y c z n e j dok o n any ch p rzekształceń. W prow adzając zm ienne (pl , y2 ■ cp3, tak ie , że:
cos9?! = —x 2, Ct'
cos952= —x ,, (5)
y ( x 3= a, x t ) i0S(f>3~~ y ( x 3= a, x i = b ) ’
(COS993 je s t więc fu n k cją x i ) o trzy m am y dla dowolnych x 3,x3,xi w artość funkcj i /, ja k n a ry su n k u 1.
. 1. O znaczenie zm ien n ych w y stęp u ją cy ch w zagadnieniu
U stalenie więc k ą tó w cpx, <p,,q>3 u s ta la k o n k re tn ą zależność fu n k cy jn ą:
x — W(x1). (6)
Id ą c od w arto ści x t linią kresko w aną w k ieru n k u strzałek dochodzim y do w arto ści:
y = f ( x 1, x 2,x3,xi ).
D la dow olnych k ą tó w cpx, tp2, <p3, a więc i zm iennych x 2, x3,xA, służy do w yznaczenia fu n k cji / zawsze t a sam a krzyw a.
76 M ichał L aw in a
A by jed n a k uzyskać n astaw ialność k ą tó w cp, trz e b a zm ienne x 2, x 3, x i nanosić na skalach s1, s 2, s 3, n akreślonych n a p rz y k ła d n a segm entach, o bracalnych w okół p u n k tó w A i B. O trzy m u jem y w te d y niejako p rz y rząd zastę p u ją c y tablice fun k cy jn e danej f unkcj i w ielu zm iennych.
3. Przykłady
Z ajm iem y się tera z dw om a p rzy k ła d am i funkeyj — o w ażnych z a sto sow aniach p rak ty c zn y c h — spełniających omówione założen ia I —IV.
a) Z aw artość leżącego zbiornika walcowego o średn icy d, długości I w ysokości słupa cieczy h wynosi:
T7 rrf2/ d ~ 2 h d ~ 2 J i / ¡ d ~ 2 h \ 2
( ¿1— - ¿ - y ? - ( — ) • <■>
Jeżeli zrobim y pew ne założenia ograniczające zm ienne: średnicę d = a długość l = b, w m yśl I rozw ażam y zaw artość zbiornika w przedziale:
0 < A § a, 0 < d 57 a, 0< l ^ b .
Trzecią zm ienną jest d2. W łasność (2) jest p rz y ta k im przyjęciu oczy
wiście spełniona. T ak samo jest spełniony w a ru n e k (3):
h ^ d,
b) W skaźnik zginania dźw igara sw obodnie p o d p arteg o , o długości 1.
0 obciążeniu ciągłym je d n o sta jn y m q, wynosi w odległości x:
1 / 7 x ‘ W = a \ q 2 X~ q T albo po p rzekształceniu:
w - Ą r - f )<8 >
1 t u własności (1) do (3) są spełnione, jeżeli za zm ienne x 1, x 2, x 3, x i p o d staw im y odpow iednio x , l , l 2,q.
W przykładzie a) w ykresem należy objąć fu n k cję jednej zm iennej ,(h\ d — 27; (? -2 7 i / ( d ~ 2 h \ 2
f [ d ) = M — s - y M - H ’ (9)
w przy k ładzie n a to m ia st b):
W ykresy ty c h fu n kcy j przed staw io n e są n a ry su n k a c h 2 i 3, z k tó ry ch pierw szy p rzed staw ia p rz y rz ą d do w yznaczania zaw artości zbior
ni ka o dan y ch w y m iarach (zm iennych) p rz y różnej wysokości stupa cie
czy; d rug i — w skaźnik w ytrzym ałości n a zginanie belki o określonych ro zm iarach i obciążeniu (zm iennych) w różnych jej przekrojach . K rzyw a d la w ypukłych den n a ry su n k u 2 pozw ala obliczyć p op raw kę zaw artości w p rzy p a d k u , k iedy d n a w alca są nie płaskie, ale w ypukłe; problem em ty m nie zajm iem y się w ty m m iejscu.
R y s. 2. Przyrząd w y zn a cza ją cy zaw artość zbiornika w alcow ego, w zależności od jego długości, średnicy i w ysok ości słupa cieczy
P ierw szy z p rzy rząd ó w (rys. 2) n astaw io n y jest w danej chwili n a średnicę 2,5 m i długość 6 m i dla takiego zbiornika po d aje jego zaw ar
to ść p rz y różn ych w ysokościach słupa cieczy. Jeżeli więc krzy w a ogra
niczona je s t odcięte 7) = 2,88 i rzęd n ą V — 50000 7, co odpow iada d łu gości 7 = 7,8 m i średnicy 2,88 m — to p rz y pod an y ch uprzednio w arto-
78 M ichał L aw in a
ściac-h należy odchylić skale o ta k i k ą t, a b y w artość odciętej zm ieniła się w stosun k u 2,5>/2,88, a w arto ść rzędnej w stosunku 38500/50000.
D rugi p rzy rz ą d (rys. 3) n astaw io n y jest dla belki o długości 8 in, o obciążeniu ciągłym 1500 kG /m b — i dla takiego u k ład u przed staw ia
R ys. 3. Przyrząd w yzn aczający w skaźnik w ytrzym ałości belki utw ierdzonej w za leż
n ości od jej długości, obciążenia ciągłego i położenia przekroju
zależność m iędzy położeniem p rzek ro ju x i w ym aganym w ty m m iejscu w skaźnikiem zginania.
J e s t w ięc: £»3= 8 m (czyli a?3/a = 8/10) a a?4 = 1500 kG /m b (czyli x j d = 1500/2000), a więc cos<p, = 0,8, cos<p3= 0 ,7 5 ,(b o y ( x 3 = a , x i ) = 12,5 102, a y ( x 3= a , x i — b)=lQ,Q-102, sk ąd 12,5/16,6 = 0,75).
4. Wnioski
Istn ieje k lasa funkcyj wielu zm iennych o pew nej szczególnej postaci, opisujących technicznie w ażne zależności. D la funkcji tak ic h m ożliwe jest sporządzenie przyrządów , operujących jed n y m w ykresem i obrotow ym i
skalam i. U m ożliw ia to zastąp ien ie często w y stę p u ją c y ch i żm udnych obliczeń — odczytyw aniem szukanych w artości n a p rzy rz ą d ac h o poręcz
nej obsłudze i rozm iarach.
E w en tu a ln e dodatkow e b a d a n ia n a d ty m zagadnieniem pow inny iść w k ieru n k u dalszego uogólnienia p o staci fu n k cji / i zw iększenia liczby zm iennych.
