1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

dr Krzysztof ›yjewski Matematyka, rok I, I ^o − lic. 31 maja 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

a) f n (x) = x ⁿ − x ²ⁿ , D = [0, 1]; b) f n (x) = q

x ² + _n ¹ , D = R;

c) f n (x) = arctg(nx), D = R.

2. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P ^∞

n=0

(1 − x)x ⁿ , gdzie x ∈ [0, 1], b) P ^∞

n=1

sin(n

x)

x

+n

, gdzie x ∈ R;

c) P ^∞

n=0

x ² e ^−nx , gdzie x ∈ (0, +∞), d) P ^∞

n=1 (−1)

n

+x

, gdzie x ∈ R.

3. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:

a) P ^∞

n=0

√ n!

10

x ⁿ ; b) P ^∞

n=1 4

n+2 x ⁿ ; c) P ^∞

n=1

(−1)

2n−1 (x − 4) ²ⁿ⁻¹ . 4. Niech f(x) = P ^∞

n=1

arctg( _n ^x

), x ∈ R. Zbadaj ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ funkcji f (x). Je»eli jest ró»niczkowalna okre±l znak f ⁰ (0). Wskazówka: skorzysta¢ z twierdzenia 20 z zestawu

¢wicze«.

5. Okre±l przedziaª zbie»no±ci i oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego (wewn¡trz przedziaªu zbie»- no±ci):

a) P ^∞

n=1 1

n x ⁿ ; b) P ^∞

n=1

n ² x ⁿ .

6. Stosuj¡c odpowiednie twierdzenia o szeregach pot¦gowych oblicz sum¦ szeregu P ^∞

n=1 1 (n+1)5

. 7. Wyznacz wspóªczynniki a n szeregu Fouriera dla funkcji f(x) = | sin x|, gdzie x ∈ R.

8. Wyznacz wspóªczynniki b n szeregu Fouriera dla funkcji f(x) = | sin x|, gdzie x ∈ R.

9. Oblicz (o ile istniej¡) granice:

(a) lim

(x,y)→(0,0)

√

x

+y

+1−1

x

+y

(b) lim

(x,y)→(0,0) (x ² + y ² ) cos _xy ¹ ; (c) lim

(x,y)→(0,0)

x

+y

x

−xy+y

; (d) lim

(x,y)→(0,0)

−x+y−x

−y

x+y .

10. Na podstawie denicji oblicz (o ile istniej¡) pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du poda- nych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) = px ³ − y ³ ; (b) f (x, y) =

( √ _xy

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0);

(b) f (x, y) = p4x ² + y ⁴ ;

11. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»niczkowania):

a) f (x, y) = ln px ² + y − x

px ² + y ² + x ; b) f (x, y, z) = (e ^y + sin 3x) ^zy

; c)f (x, y) = x ln y

5x + 2x ln x .

12. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y ₀ ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = ^2x+y _|x−y| , (x ₀ , y ₀ ) = (2, 1), ~h = [0, −3];

(b) f (x, y) = x ² e ^3y + y ln 2x, (x 0 , y 0 ) = (1, 1) w kierunku punktu (x 1 , y 1 ) = (3, −1).

13. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x, y) =

( _x

+y

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0).

14. Wyka», »e funkcja f(x, y) =

( √ _xy

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0)

0 dla (x, y) = (0, 0); posiada pochodne cz¡stkowe

∂f

∂x (0, 0), ^∂f _∂y (0, 0), ale nie jest ró»niczkowalna punkcie (0, 0).

15. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:

(a) f (x, y) = x ³ + y ³ − x ² − 2xy − y ² ; (b) f (x, y) = x ⁴ +y ⁴ −2x ² +4xy−2y ² ; (c) f (x, y) = e ^x−y (x ² − 2y ² ); (d) f (x, y) = 3x ² y − 6xy + y ³ .

16. (dotyczy terminu poprawkowego) Wyznacz ekstrema funkcji f(x, y) = xy przy wa- runku x ² + y ² = 2.

17. (optymistycznie dotyczy terminu poprawkowego) Znajd¹ pierwsz¡ i drug¡ po- chodn¡ funkcji uwikªanej y = y(x) okre±lonej równaniem y ³ − 4xy + x ² = 0.

18. (optymistycznie dotyczy terminu poprawkowego) Wyznacz ekstrema funkcji uwi-

kªanej y = y(x) okre±lonej równaniem y ⁴ − 8xy − 4y + 8x ² = 0.