1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

(1)

dr Krzysztof yjewski Matematyka, rok I, I ^o − lic. 27 maja 2016

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

a) f n (x) = x ⁿ − x ²ⁿ , D = [0, 1]; b) f n (x) = q

x ² + _n ¹ , D = R;

c) f n (x) = arctg(nx), D = R.

2. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P ^∞

n=0

(1 − x)x ⁿ , gdzie x ∈ [0, 1], b) P ^∞

n=1

sin(n

²

x)

x

²

+n

²

, gdzie x ∈ R;

c) P ^∞

n=0

x ² e ^−nx , gdzie x ∈ (0, +∞).

3. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:

a) P ^∞

n=0

√ n!

10

ⁿ

x ⁿ ; b) P ^∞

n=1 4

ⁿ

n+2 x ⁿ ; c) P ^∞

n=1

(−1)

ⁿ⁻¹

2n−1 (x − 4) ²ⁿ⁻¹ . 4. Niech f(x) = P ^∞

n=1

arctg( _n ^x

2

), x ∈ R. Zbadaj ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ funkcji f (x). Je»eli jest ró»niczkowalna okre±l znak f ⁰ (0).

5. Okre±l przedziaª zbie»no±ci o oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego (wewn¡trz przedziaªu zbie»- no±ci):

a) P ^∞

n=1 1

n x ⁿ ; b) P ^∞

n=1

n ² x ⁿ ; c) P ^∞

n=1 4

ⁿ

(n+1)3

ⁿ

x ⁿ .

6. Stosuj¡c odpowiednie twierdzenia o szeregach pot¦gowych oblicz sum¦ szeregu P ^∞

n=1 1 (n+1)5

ⁿ

. 7. Oblicz (o ile istniej¡) granice:

(a) lim

(x,y)→(0,0)

√

x

²

+y

²

+1−1

x

²

+y

²

(b) lim

(x,y)→(0,0) (x ² + y ² ) cos _xy ¹ ; (c) lim

(x,y)→(0,0)

x

²

+y

²

x

²

−xy+y

²

; (d) lim

(x,y)→(0,0)

−x+y−x

²

−y

²

x+y .

8. Na podstawie denicji oblicz (o ile istniej¡) pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du poda- nych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) = px ³ − y ³ ; (b) f (x, y) =

( √ _xy

³

x

²

+y

²

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0);

(b) f (x, y) = p4x ² + y ⁴ ;

9. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»niczkowania):

a) f (x, y) = ln px ² + y − x

px ² + y ² + x ; b) f (x, y, z) = (e ^y + sin 3x) ^zy

²

; c)f (x, y) = x ln y

5x + 2x ln x .

(2)

10. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y ₀ ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = ^2x+y _|x−y| , (x ₀ , y ₀ ) = (2, 1), ~h = [0, −3];

(b) f (x, y) = x ² e ^3y + y ln 2x, (x 0 , y 0 ) = (1, 0) w kierunku punktu (x 1 , y 1 ) = (3, −1).

11. Wyka», »e funkcja f(x, y) =

( √ _xy

x

²

+y

²

1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

dr Krzysztof yjewski Matematyka, rok I, I o − lic. 27 maja 2016

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Zbadaj zbie»no±¢ punktow¡ i jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych f n : D → R, gdy:

a) f n (x) = x n − x 2n , D = [0, 1]; b) f n (x) = q

x 2 + n 1 , D = R;

c) f n (x) = arctg(nx), D = R.

2. Zbadaj zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

a) P ∞

n=0

(1 − x)x n , gdzie x ∈ [0, 1], b) P ∞

n=1

sin(n

x)

x

+n

, gdzie x ∈ R;

c) P ∞

n=0

x 2 e −nx , gdzie x ∈ (0, +∞).

3. Wyznacz przedziaªy zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych:

a) P ∞

n=0

√ n!

10

x n ; b) P ∞

n=1 4

n+2 x n ; c) P ∞

n=1

(−1)

2n−1 (x − 4) 2n−1 . 4. Niech f(x) = P ∞

n=1

arctg( n x

), x ∈ R. Zbadaj ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ funkcji f (x). Je»eli jest ró»niczkowalna okre±l znak f 0 (0).

5. Okre±l przedziaª zbie»no±ci o oblicz sum¦ szeregu pot¦gowego (wewn¡trz przedziaªu zbie»- no±ci):

a) P ∞

n=1 1

n x n ; b) P ∞

n=1

n 2 x n ; c) P ∞

n=1 4

(n+1)3

x n .

6. Stosuj¡c odpowiednie twierdzenia o szeregach pot¦gowych oblicz sum¦ szeregu P ∞

n=1 1 (n+1)5

. 7. Oblicz (o ile istniej¡) granice:

(a) lim

(x,y)→(0,0)

√

x

+y

+1−1

x

+y

(b) lim

(x,y)→(0,0) (x 2 + y 2 ) cos xy 1 ; (c) lim

(x,y)→(0,0)

x

+y

x

−xy+y

; (d) lim

(x,y)→(0,0)

−x+y−x

−y

x+y .

8. Na podstawie denicji oblicz (o ile istniej¡) pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du poda- nych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) = px 3 − y 3 ; (b) f (x, y) =

( √ xy

x

+y

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0);

(b) f (x, y) = p4x 2 + y 4 ;

9. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»niczkowania):

a) f (x, y) = ln px 2 + y − x

px 2 + y 2 + x ; b) f (x, y, z) = (e y + sin 3x) zy

; c)f (x, y) = x ln y

5x + 2x ln x .

10. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y 0 ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = 2x+y |x−y| , (x 0 , y 0 ) = (2, 1), ~h = [0, −3];

dr Krzysztof yjewski Matematyka, rok I, I ^o − lic. 27 maja 2016

a) f n (x) = x ⁿ − x ²ⁿ , D = [0, 1]; b) f n (x) = q

x ² + _n ¹ , D = R;

a) P ^∞

(1 − x)x ⁿ , gdzie x ∈ [0, 1], b) P ^∞

c) P ^∞

x ² e ^−nx , gdzie x ∈ (0, +∞).

a) P ^∞

x ⁿ ; b) P ^∞

n+2 x ⁿ ; c) P ^∞

2n−1 (x − 4) ²ⁿ⁻¹ . 4. Niech f(x) = P ^∞

arctg( _n ^x

), x ∈ R. Zbadaj ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ funkcji f (x). Je»eli jest ró»niczkowalna okre±l znak f ⁰ (0).

a) P ^∞

n x ⁿ ; b) P ^∞

n ² x ⁿ ; c) P ^∞

x ⁿ .

6. Stosuj¡c odpowiednie twierdzenia o szeregach pot¦gowych oblicz sum¦ szeregu P ^∞

(x,y)→(0,0) (x ² + y ² ) cos _xy ¹ ; (c) lim

8. Na podstawie denicji oblicz (o ile istniej¡) pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du poda- nych funkcji w punkcie (0, 0) :

(a) f (x, y) = px ³ − y ³ ; (b) f (x, y) =

( √ _xy

(b) f (x, y) = p4x ² + y ⁴ ;

a) f (x, y) = ln px ² + y − x

px ² + y ² + x ; b) f (x, y, z) = (e ^y + sin 3x) ^zy

10. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y ₀ ) i okre±lonym kierunku (gdzie α to k¡t jaki tworzy wektor ~h z osi¡ Ox):

(a) f (x, y) = ^2x+y _|x−y| , (x ₀ , y ₀ ) = (2, 1), ~h = [0, −3];

(b) f (x, y) = x ² e ^3y + y ln 2x, (x 0 , y 0 ) = (1, 0) w kierunku punktu (x 1 , y 1 ) = (3, −1).

( √ _xy

∂x (0, 0), ^∂f _∂y (0, 0), ale nie jest ró»niczkowalna punkcie (0, 0).

(a) f (x, y) = 3x ² y − 6xy + y ³ ; (b) f (x, y) = x ⁴ +y ⁴ −2x ² +4xy−2y ² ;

(c) f (x, y) = e ^x−y (x ² − 2y ² ).