Zadania z mechaniki kwantowej dla grup 1a i 2a (zestaw 9)
37. Definiujemy ´slad operatora A:
TrA =X
i
(ψi, Aψi) ,
gdzie ψi tworza baz, e H (´slad operatora jest zdefiniowany je´sli suma jest zbie˙zna). Prosz, e, pokaza´c, ˙ze powy˙zsza definicja nie zale˙zy od wyboru bazy {ψi}.
38. Niech A bedzie obserwabl, a o dyskretnym spektrum,, A=X
a
aPa.
Prosze pokaza´c, ˙ze prawdopodobie´, nstwo otrzymania warto´sci a, w wyniku pomiaru A w stanie
|ψi, wynosi Tr (|ψihψ|Pa) oraz hAiψ = Tr (|ψihψ|A).
39. Prosze znale´z´c poprawk, e do energii stanu podstawowego atomu wodoropodobnego zwi, azan, a, ze sko´nczonym rozmiarem jadra atomowego, w pierwszym rz, edzie rachunku zaburze´, n. Prosze, przyja´c, ˙ze ladunek j, adra jest r´ownomiernie roz lo˙zony w kuli o promieniu |~x| ≤ R.,
40. W L2(R) dziaa H = H0+V , gdzie H0jest hamiltonianem oscylatora harmonicznego, a zaburze- nie V wynosi: i) V = αX, ii) V = βX2. Prosze znale´z´c warto´sci w lasne H,
(a) ´sci´sle,
(b) w rachunku zaburze´n z dok ladno´scia do drugiego rz, edu., Prosze por´owna´c otrzymane wyniki.,
41. Przestrze´n stan´ow uk ladu jest 3-wymiarowa. W bazie {|ψ1i, |ψ2i, |ψ3i}:
[ H0] =
a 0 b
0 a + b 0
b 0 a
.
Prosze znale´z´c warto´sci i wektory w lasne H, 0. Nastepnie prosz, e znale´z´c, w pierwszym rz, edze, rachunku zaburze´n, warto´sci i wektory w lasne zaburzonego hamiltoinianu: H = H0+ V , gdzie:
[ V ] =
t is u− iv
−is w −is
u+ iv is t
t, s, u, v, w∈ R.
42. Dany jest hamiltonian H = H0+ V : H0 = 1
2m P12+ P22 +1
2mω2 X12+ X22 , V = αX1X2.
Prosze znale´z´c odpowiedni, a baz, e (tzn. dopasowan, a do zaburzenia V ) w przestrzeni rozpi, etej, na wektorach wlasnych odpowiadajacych pierwszemy poziomowi wzbudzonemu H, 0 (tzn. |0, 1i i |1, 0i) oraz poprawki do energii w pierwszym rzedzie rachunku zaburze´, n.
A. Rostworowski
http://th.if.uj.edu.pl/∼arostwor/
