Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 12. – rozwiązania zadań domowych
28 marzec 2019
Grupa 8:00
Sprawdź, czy funkcja
f (x, y) =
((x2+ y2) sinx2+y1 2, dla (x, y) 6= (0, 0)
0 , dla (x, y) 6= (0, 0)
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0). Oblicz pochodne cząstkowe w tym punkcie.
Liczymy pochodne cząstkowe
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
h2sinh12
h = lim
h→0h sin 1 h2 = 0, bo sinh12 jest ograniczony. Podobnie
∂f
∂y(0, 0) = 0.
Sprawdzamy granicę:
lim
(hx,hy)→0
(h2x+ h2y) sin(h21
x+h2y)− 0 − 0 qh2x+ h2y
= lim
(hx,hy)→0
q
h2x+ h2ysin 1
(h2x+ h2y) = 0.
Zatem funkcja jest różniczkowalna i Df(0,0)(hx, hy) = 0.
Grupa 9:45
Sprawdź, czy funkcja
f (x, y) =p3 x3+ y3
jest różniczkowalna w punkcie (0, 0). Oblicz pochodne cząstkowe w tym punkcie.
Liczymy pochodne cząstkowe
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
√3
h3 h = 1, Podobnie
∂f
∂y(0, 0) = 1.
Sprawdzamy granicę:
lim
(hx,hy)→0
3
qh3x+ h3y− hx− hy
q h2x+ h2y
.
Dla hx= hy= 1/n mamy
n→∞lim (√3
2 − 1)/n
√2/n = (√3 2 − 1)
√2 6= 0, więc ta granica nie istnieje i funkcja nie jest różniczkowalna w (0, 0).
1
