Wyznaczy´c test oparty na ilorazie wiarogodno´sci na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : m1= m2

Zadania do wyk ladu ,,Modele liniowe”

dla IV roku matematyki, zastosowania rach, prob i stat. r.a. 2010/2011 Lista nr 1

1. Niech danych be

‘dzie k niezale˙znych pr´ob (X_i1, X_i2, . . . , X_ini) z rozk lad´ow normalnych N (m_i, σ²), m_i ∈ R, σ > 0, i = 1, 2, . . . , k. Wyznaczy´c test oparty na ilorazie wiarogodno´sci na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : m₁= m₂ = . . . = m_k, σ > 0 przy hipotezie alternatywnej K : m_i 6= m_j dla pewnych i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , k, σ > 0. Znale´z´c r´ownowa˙zna posta´c testu, pozwalaja‘ca‘na wyznaczenie obszaru krytycznego przy pomocy standardowych‘ tablic statystycznych.

2. (Odste

‘pstwa od za lo˙zenia normalno´sci w te´scie Studenta) Wyznaczy´c rozk lad statystyki Studenta

t_n−1= X − m S

√n − 1, gdzie S oznacza pierwiastek z obcia

‘˙zonej wariancji pr´obkowej, gdy pr´oba rozmiaru n = 2 pochodzi z rozk ladu wyk ladniczego o ge

‘sto´sci f (x; m) = m⁻¹exp (−x/m), x ≥ 0. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo b le

‘du pierwszego rodzaju testu opartego na statystyce |t_n−1| dla testowa- nia hipotezy H : m = m₀ przy alternatywie K : m 6= m₀ na poziomie istotno´sci α = 0.05, gdy obszar krytyczny testu jest wyznaczony przy za lo˙zeniu, ˙ze pr´oba pochodzi z rozk ladu normal- nego N (m, σ²), i pokaza´c, ˙ze to prawdopodobie´nstwo nie dzieli sie‘ r´owno pomie‘dzy oba ogony rozk ladu statystyki t_n−1. Skomentowa´c ten fakt opieraja

‘c sie

‘ na por´ownaniu wsp´o lczynnik´ow sko´sno´sci i sp laszczenia rozk lad´ow wyk ladniczego i normalnego.

3. (Aproksymacja warto´sci krytycznej w te´scie Neymana-Pearsona). Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu o ge

‘sto´sci f (x; θ) wzgle

‘dem σ-sko´nczonej miary µ. Testujemy hipoteze

‘ prosta

‘H : θ = θ₀ przy prostej alternatywie K : θ = θ₁ na poziomie istotno´sci α. Niech

log L(X; θ₀, θ₁) = log Yn j=1

f (x_j; θ₁) f (x_j; θ₀) =

Xn j=1

L₁(x_j), gdzie L₁(x) = log{[f (x; θ₁)]/[f (x; θ₀)]}. Informacja

‘ Kullbacka-Leiblera nazywamy ca lke

‘: I(θ, η) = E_θ



logf (X₁; θ) f (X₁; η)



= Z _∞

−∞logf (x; θ)

f (x; η)f (x; θ)dµ(x).

Udowodni´c:

a) I(θ, η) jest zawsze okre´slona (mo˙ze by´c r´owna +∞);

b) I(θ, η) ≥ 0, przy czym r´owno´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P_θ = P_η; c) E_θ1[L₁(X₁)] = I(θ₁, θ₀) i E_θ0[L₁(X₁)] = −I(θ₀, θ₁);

d) je´sli 0 < σ₀²= Var_θ0[L₁(X₁)] < ∞, to przy n → ∞, P_θ0{log L(X, θ₀, θ₁) ≥ −nI(θ₀, θ₁) + σ₀√

nz} → 1 − Φ(z), gdzie Φ oznacza dystrybuante

‘rozk ladu N (0, 1);

e) wyznaczy´c przybli˙zona

‘warto´s´c krytyczna

‘dla testu najmocniejszego na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H przy alternatywie K.

4. Niech X_n = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu o ge

‘sto´sci f (x; θ) wzgle

‘dem σ- sko´nczonej miary µ. Niech {φ_n(X_n)} oznacza cia

‘g test´ow na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : θ ∈ Θ_H przy hipotezie alternatywnej K : θ ∈ Θ_K, a β_n(θ) funkcje

‘mocy testu φ_n. Definicja: Cia

‘g test´ow {φ_n} nazywa sie

‘ zgodny wzgle

‘dem alternatywy θ₁ ∈ Θ_K, je´sli lim_n→∞β_n(θ₁) = 1.

Niech teraz spe lnione be

‘da

‘za lo˙zenia zadania 3, P_θ0 6= P_θ1, α > 0 i 0 < σ₀²= Var_θ0[L₁(X₁)] <

∞. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli dla ka˙zdego n istnieje test Neymana-Pearsona rozmiaru α dla testowania hipotezy H przy alternatywie K, to cia

‘g takich test´ow jest zgodny.

Program wyk ladu ,,Modele liniowe i planowanie eksperymentu”

dla IV roku matematyki, specjalno´s´c zastosowania rachunku prawdopodobie´nstwa i statystyki,

w roku akademickim 2009/2010.

1. Problem dw´och pr´ob: test Studenta i jego odmiana dla por´owna´n parami, testy rangowe (Wilcoxona, Fishera-Yatesa, van der Waerdena, medianowy).

2. Testy zgodno´sci: chi-kwadrat, Ko lmogorowa-Smirnowa.

3. Testy jednorodno´sci, symetrii i niezale˙zno´sci.

4. Asymptotyczna teoria testowania hipotez: graniczne rozk lady statystyk testowych, asympto- tyczna efektywno´s´c test´ow, zgodno´s´c.

5. Zbiory ufno´sci, optymalno´s´c, zwia

‘zek z testami.

6. Model liniowy Gaussa-Markowa.

7. Estymatory metody najmniejszych kwadrat´ow. Interpretacja geometryczna. Estymacja wari- ancji.

8. Funkcje estymowalne i twierdzenie Gaussa-Markowa.

9. Testowanie hipotez w modelach liniowych. Rozk lady form kwadratowych.

10. Analiza wariancji: klasyfikacja pojedyncza, klasyfikacja podw´ojna.

11. Zagadnienie regresji i korelacji: estymacja parametr´ow i testowanie hipotez, wsp´o lczynniki korelacji cza

‘stkowej i wielokrotnej.

12. Regresja nieliniowa.

13. Elementy teorii planowania eksperymentu.

Literatura:

1. J. Bartoszewicz, Wyk lady ze statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1996.

2. P. Bickel i K. Doksum, Mathematical Statistics, Holden Day, San Francisco 1978 (istnieje przek lad rosyjski, Moskwa 1983).

3. H. Cram´er, Metody matematyczne w statystyce, PWN Warszawa 1958.

4. M. Krzy´sko, Statystyka matematyczna, Wyd. UAM Pozna´n 2004.

5. E.L. Lehmann, Testowanie hipotez statystycznych, PWN Warszawa 1967.

6. F. Pukelsheim, Optimal Design of Experiments, Wiley, New York 1993.

7. C.R. Rao, Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1982.

8. S.R. Searle, Matrix algebra useful for statistics, Wley, New York 2006.

9. G.A.F. Seber, Linear Regression Analysis, New York 1977 (istnieje przek lad rosyjski, w bibliotece IM UWr.).

10. R. Serfling, Twierdzenia graniczne statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1991.

11. J. Shao, Mathematical Statistics, Springer, New York 2003.

12. J. Shao, Mathematical Statistics: Exercises and Solutions, Springer, New York 2005.

13. R. Zieli´nski i W. Zieli´nski, Tablice statystyczne, PWN Warszawa 1990.

Zaliczenie ´cwicze´n: na podstawie aktywno´sci w rozwia

‘zywaniu og laszanych zada´n i wynik´ow pisemnych sprawdzian´ow.

Egzamin: po 8 semestrze, ustny.

ML-11-1.tex

7.3.2011 r. J. Bartoszewicz