Analiza II seria 01

Analiza II seria 01

Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych

• Zbadać różniczkowalność następujących funkcji 1. f (x, y) = p

x ⁴ + y ⁴ 2. f (x, y) =

( _xy(x+y)

x

+y

(x, y) 6= 0 0 (x, y) = 0 3. f (x, y) =

( _xy

x

+y

(x, y) 6= 0 0 (x, y) = 0 4. f (x, y) =

( _x

+y

x

+y

(x, y) 6= 0 0 (x, y) = 0

• Pokazać, że funkcja f : R ² → R określona następująco

f (x, y) =

( _xy(x

−y

)

x

+y

(x, y) 6= 0

0 (x, y) = 0

ma w punkcie (0, 0) pochodne cząstkowe mieszane drugiego rzędu, ale pochodne te nie są identyczne.

• Niech f : R ² → R oraz

f (x, y) =

( x + y + _x

^x +y

^y

(x, y) 6= 0

0 (x, y) = 0

Pokazać, że f jest ciągła oraz ma pochodne cząstkowe w dowolnym punkcie R ² ale nie jest różniczkowalna w punkcie (0, 0) . Pokazać, że f ma w punkcie (0, 0) pochodne kierunkowe we wszystkich kierunkach.

Zamiana zmiennych/pochodna funkcji złożonej ¹

• Przekształć równanie x ^{2 ∂z} _∂x +y ^{2 ∂z} _∂y = z ² wprowadzając nowe zmienne (t, u, v) takie, że x = t, y = _1+tu ^t , z = _1+tv ^t

• Przechodząc do współrzędnych sferycznych pokazać, że wyrażenia W 1 =  _∂f

∂x

 ² +  _∂f

∂y

 ² +  _∂f

∂z

 ²

i W 2 = ^∂ _∂x

^f

+

∂

f

∂y

+ ^∂ _∂z

^f

są postaci W 1 =  _∂f

∂r

 2

+ _r

_sin ¹

ϕ

 _∂f

∂θ

 2

+ _r ¹

 _∂f

∂ϕ

 2

, W 2 = ^∂ _∂r

^f

+ _r ¹

∂

f

∂ϕ

+ _r

_sin ¹

ϕ

∂

f

∂θ

+ ² _r ^∂f _∂r + ^{cot ϕ} _r

∂f

∂ϕ

• Przekształcić następujące wyrażenia wprowadzając nowe zmienne 1. (1 + x ² ) ^∂ _∂x

^z

+ (1 + y ² ) ^∂ _∂y

^z

+ x ^∂z _∂x + y ^∂z _∂y = 0 jeżeli u = ln √

1 + x ² + x
i v = ln  p

1 + y ² + y  2. x ^{2 ∂} _∂x

^z

− 2x sin y _∂x∂y ^∂

^z + sin ² y ^∂ _∂y

^z

= 0 jeżeli u = x tan ^y _x
i v = x

3. ^∂ _∂x

^z

+ ^∂ _∂y

^z

+ m ² z = 0 jeżeli x = e ^u cos v i y = e ^u sin v

Wartości maksymalne/minimalne funkcji na zbiorach zwartych

• Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji określonych wzorami 1. f (x, y) = x ² − y ² na kole x ² + y ² ≤ 4

2. f (x, y) = x ² y (4 − x − y) na trójkącie, którego boki leżą na prostych x = 0, y = 0, x + y = 6 3. f (x, y) = x ² − xy + y ² na obszarze D : |x| + |y| ≤ 1

4. f (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = P 4

i=1 sin x i − sin  P 4

i=1 x i



na V = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) : x i ∈ [0, π] , i = 1, 2, 3, 4}

1

Zakres zmienności zmiennych jest taki aby poniższe wyrażenia miały sens.

1

• Zadania geometryczne

1. Na okręgu o promieniu r opisać trójkąt o najmniejszym polu.

2. W stożek kołowy o promieniu podstawy R i długości wysokości h wpisać prostopadłościan o maksymalnej objętości

3. W trójkącie o długościach boków a, b, c znaleźć punkt, dla którego suma kwadratów odległości od trzech boków jest najmniejsza

Trudniejsze/ciekawsze

• Dana jest funkcja f określona wzorem z = f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) gdzie (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ E ⊂ R ⁿ i f ∈ C ² (E).

Przyjmując wzory na zamianę zmiennych (tzn. zmiennych x 1 , x 2 , . . . , x n , z na t 1 , t 2 , . . . , t n , v):

t _i = ∂z

∂x i

, i = 1, 2, . . . , n oraz v =

n

X

i=1

x _i ∂z

∂x i

− z

oraz zakładając, że wyznacznik H = det  _∂

f

∂x

∂x

 6= 0 na E wykazać, że przekształcenie odwrotne jest symetryczne, tzn. x _i = _∂t ^∂v

i

, i = 1, 2, . . . , n oraz z = P n i=1 t _{i ∂t} ^∂v

i

− v

• Niech f : R ⁿ ⊃ E → R. Mówimy, że funkcja f różniczkowalna jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia α ∈ R − {0} jeżeli V

x∈E

V

t∈R

f (tx 1 , tx 2 , . . . tx n ) = t ^α f (x 1 , x 2 , . . . tx n ). Udowodnić wzór Eulera, który mówi że funkcja jest jednorodna stopnia α ⇐⇒ αf (x 1 , x 2 , . . .) = P n

i=1 x i ∂f

∂x

(bardzo użyteczna własność w termodynamice)

2