Algebra z geometri¡ 2 - zadania domowe 2

Algebra z geometri¡ 2 - zadania domowe 2

1. Znajd¹ warto±ci wªasne, przestrzenie wªasne i przestrzenie pierwiastkowe nast¦puj¡- cych macierzy

A =





−3 0 2

−103 100 2

−4 0 3



 , B =





6 −2 −2 8 −8 0 10 −14 2



 , C =





3 −3 1 2 −4 2 1 −3 3



 ,

O =







1

2 0

√ 3 2

− ³ ₄ ¹ ₂

√ 3 4

−

√ 3

4 −

√ 3 2

1 4





, Q =





2 −2 1 2 −3 2 3 −6 4



 ,

P =





7 −4 −1 9 −10 1 12 −18 4



 ,

R =





−3 −1 −5

2 1 3

4 2 5



 .

Je±li A ∈ L(V ) oraz λ ∈ C jest warto±ci¡ wªasn¡ A krotno±ci n i , to przestrze«

pierwisatkow¡ deniujemy V λ = ker(A − λ1) ⁿ

. 2. Znajd¹

(a) A ⁷⁷ , (b) Q ²⁰¹⁵ , (c) e ^B , (d) e ^R . 3. Rozwi¡» równanie ró»nicowe X n+1 = RX _n .

4. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe ¨ X(t) = BX(t) . Rozwi¡za« szuka¢ w postaci X(t) = P 3

i=1 α ⁱ (t)v _i , gdzie (v 1 , v ₂ , v ₃ ) jest baz¡ wektorów wªasnych B.