Dynamika pól w ogólnej teorii względności N. W. Mickjewicz, A. P. Jefremow, A. I. Nesterow

################################################################################

Dynamika pól w ogólnej teorii względności

N. W. Mickjewicz, A. P. Jefremow, A. I. Nesterow

Tytuł oryginału : „Динамика пoлей в oбщей теории oтнoсительности” ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1985

********************************************************************************

Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2010-03-30 Tłumaczenie całości ksiąŜki.

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Spis treści.

Wprowadzenie do tłumaczenia.

Przedsłowie.

Podstawowe oznaczenia.

Rozdział 1

Analiza na rozmaitościach i układy odniesienia

1.1 Pola wektorowe i jednoparametryczne grupy przekształceń [ 6, 156, 38]

1.2 Pochodna Liego [ 156 str. 147 ; 46 str. 130, str.215 ] 1.3 Formy Cartana [ 111, 142, 152, 48 ]

1.4 Elementy geometrii Riemanna [ 164, 163, 111, 148]

1.5 Geometria kongruencji [ 11, 148, 58 ] 1.6 Geometria hiperpowierzchni.

1.7 Formalizm monadowy (Lie-monadowy).

1.8 Formalizm Newmana-Penrose’a [ 91, 58, 144, 149 ]

Rozdział 2

Elektromagnetyzm i grawitacja

2.1 Uwagi wstępne

2.2 Ruch cząstek próbnych.

2.3 NatęŜenia, potencjały i działanie.

2.4 Równania pola i obserwable w formalizmie Lie-monadowym.

2.5 Inwarianty i symetryczne bezśladowe tensory.

Rozdział 3

Twierdzenie Noether i prawa zachowania

3.1 ToŜsamości Noether.

3.2 Tensor energii-pędu.

3.3 Pseudotensory i ich krytyka.

3.4 Jednoindeksowe wielkości zachowujące się.

3.5 Chronometrycznie inwariantne sformułowanie pojęcia Energii.

3.6 Quasigrupowe podejście do praw zachowania.

Rozdział 4

Dwumetryczne podejście do teorii grawitacji

4.1 Pseudotensor Papapetrou

4.2 Dwumetryczny formalizm Rosena.

4.3 Tensor Papapetrou i jego związek z tensorem Bela-Robinsona.

4.4 Zastosowanie tensora Papapetrou w konkretnych obliczeniach.

Rozdział 5

Układy odniesienia jedynego obserwatora i antyobserwatora

5.1 Układ odniesienia jedynego obserwatora.

5.2 Uogólnione grupy Poincare’go.

5.3 Układ odniesienia antyobserwatora.

5.4 Quasi-lokalne wielkości zachowane.

Rozdział 6

Podejście Lie-monadowe do problemu energii-pędu

6.1 Energia układów wyspowych

6.2 Twierdzenie Noether i formalizm Lie-monadowy.

6.3 Analiza konkretnych pól.

6.4 Newtonowska granica teorii Einsteina.

Rozdział 7

Asymptotyczna struktura czasoprzestrzeni

7.1 Przyczynowość, horyzonty, nieskończoności.

7.2 Warunki energetyczne, zupełność, osobliwość.

7.3 Konforemne potraktowanie nieskończoności.

7.4 Analiza nieskończoności przestrzennej.

7.5 Podejście Sommers’a i Persides’a.

7.6 Grupy asymptotycznej symetrii.

7.7 Całkowe prawa zachowania.

Spis literatury.

********************************************************************************

Wprowadzenie do tłumaczenia.

KsiąŜka, której polskie tłumaczenie czytelnik właśnie przegląda nie naleŜy na pewno do kategorii ksiąŜek, które zazwyczaj obejmuje się wspólnym mianem „podręczników”. Podejmuje ona tematy trudne, mało rozpowszechnione w literaturze oraz szczególne. Studiując podręczniki akademickie związane z tematem OTW ( dotyczy to oczywiście i innych działów fizyki ), wielokrotnie ma się wraŜenie, Ŝe właściwie temat jest juŜ wyczerpany lub, co najwyŜej

pozostało tylko kilka „niejasności” i problemów do rozwiązania. Einstein ułoŜył równania tensorowe (wiąŜące geometrię z materią ), wyjaśnił wiele problemów związanych z ich fizyczną interpretacją, inni teoretycy rozszerzyli klasę ich rozwiązań i na ich podstawie dali teoretyczne podstawy dla kosmologii. Współcześnie wprowadzono nowoczesne formy zapisu oraz kilka uŜytecznych narzędzi geometrii róŜniczkowej, zastosowano równieŜ nowe, wydajne techniki obliczeń - symulacje numeryczne. Taki standardowy obraz OTW być moŜe niejednemu z czytelników zapadł w pamięci po

pierwszym kursie OTW. Oczywiście w pierwszym kroku na drodze do poznania kaŜdej teorii fizycznej jest to

dydaktycznie uzasadnione. Nie naleŜy wikłać początkującego w szczegóły, rozmawiać o specyficznych problemach lub o zaawansowanych narzędziach matematycznych. Na takie, dogłębne spojrzenie przychodzi czas, kiedy zapada decyzja, aby specjalizować się w konkretnej dziedzinie fizyki. Wtedy „okiem specjalisty” moŜna poszerzać swoją wiedzę i wyostrzać narzędzia matematyczne, wtedy teŜ okazuje się, Ŝe istnieje bardzo wiele problemów, które nie zostały

unaocznione w wykładzie podstawowym. Dowiadujemy się teŜ o licznych interpretacjach, szczególnych zastosowaniach, i wielu specjalistach ( których nazwisk nie wymieniają podręczniki ), którzy od lat podejmują specyficzne

( i niejednokrotnie specyficznie ) tematy związane z głównymi kierunkami badań danej dziedziny fizyki.

Zaczynają ujawniać się pewne głębokie związki ( ujmowane zazwyczaj w postaci zaawansowanej teorii matematycznej ) między róŜnymi działami fizyki. Naturalnym jest, Ŝe taka wiedza interesuje właściwie tylko specjalistę, fizyk o

wykształceniu ogólnym poprzestaje na wiedzy, którą zdobył na poziomie „podręcznikowym”.

Niniejszą ksiąŜkę w kontekście tego, co powiedziano powyŜej naleŜy traktować jako monografię prezentującą wiedzę specjalistyczną. Autorzy ( znani teoretycy rosyjscy ( w czasie jej publikacji - radzieccy ) ) dokonali przeglądu szczególnych metod stosowanych w OTW. Standardowo korzystają juŜ z bardzo mocnych metod matematycznych : rozmaitości róŜniczkowych, form róŜniczkowych - określonych na rozmaitości, pochodnej Liego, metody Newmana- Penrose’a, formalizmu tetradowego, teorii grup Liego, metod wariacyjnych, grup symetrii zagadnień wariacyjnych, metod odwzorowania konforemnego i asymptotycznych.

Stosując te matematyczne narzędzia, omawiają oni róŜne teorie, które na przestrzeni ostatnich dziesięcioleci budowane były aby rozwinąć twórczo teorię grawitacji Einsteina. Wiele z nich zostało albo odrzuconych albo doczekało się innego podejścia. W kaŜdym jednak przypadku teorie te stanowią ciekawy materiał dla własnych przemyśleń, inspiracji, poszerzania wiedzy historycznej lub po prostu dla „oczytania” się w temacie.

I generalnie taki cel przyświecał temu aby zaprezentować tłumaczenie tej ksiąŜki – nie naleŜy od niej wymagać aby po jej przeczytaniu być gotowym stosować przedstawione narzędzia matematyczne ( wszystkie tematy poruszone są zbyt płytko i w skondensowanej formie ), nie naleŜy równieŜ oczekiwać, Ŝe wyjaśni ona wszelkie subtelne szczegóły prezentowanych teorii. Po jej przeczytaniu powinno jednak być jasnym, Ŝe teoria Einsteina stanowi wciąŜ Ŝywy przedmiot zainteresowania specjalistów oraz w jakim kierunku ( szkicowo ) podąŜały drogi jej uogólnień.

NaleŜy mieć na uwadze, Ŝe zapis matematyczny oraz symbolika nie ułatwiają ( bo jest to zapis, który w wielu

przypadkach róŜni się od zapisu podręcznikowego ) lektury niniejszej ksiąŜki. Autor przekładu wielokrotnie napotykał stwierdzenia oraz terminologię, których interpretacji na próŜno szukać w polskiej literaturze, dlatego teŜ w razie

wątpliwości naleŜy sięgać albo do tekstu oryginalnego albo do odsyłaczy umieszczonych w tekście ( standardowo są one umieszczane w nawiasie kwadratowym [ . ] ).

Istnieje opinia, Ŝe : „nie ma sensu tłumaczyć ksiąŜek na poziomie specjalistycznym, bowiem specjalista i tak sam moŜe sięgnąć do źródła ( napisanego obecnie, zazwyczaj w języku angielskim ) i z większym zrozumieniem przestudiować dany temat, a dla niespecjalisty ksiąŜka i tak nie jest zrozumiała”. MoŜe i jest w takim postawieniu tematu ziarno prawdy, istnieje jednak kilka zasadniczych powodów dla których nie moŜna zgodzić się takie potraktowanie – być moŜe wielu czytelników, którzy nie będąc specjalistami pragną poszerzyć swoją wiedzę lub po prostu poczytać w jaki sposób moŜna twórczo rozwijać daną dziedzinę fizyki.

Jednym z celów tego przekładu jest właśnie umoŜliwienie rozszerzenia perspektywy oglądu OTW.

Przedsłowie.

Dawno juŜ minął czas, kiedy teorię grawitacji Einsteina, opartą na geometryzacji praw fizycznych, przyjmowano nie całkiem powaŜnie lub poddawano w wątpliwość. Współcześnie duŜa armia fizyków i matematyków poświęca tej teorii nie tylko swój czas pracy, ale i swój czas wolny. Teoria grawitacji w ogólnej teorii względności (OTW) jest daleka od wyczerpania - jest to złoŜona, harmonijna i piękna matematycznie teoria. W ostatnich latach zainteresowanie

einsteinowską OTW znacznie wzrosło. Było to związane nie tylko z waŜnymi odkryciami astrofizycznymi ( np.

odkryciem : mikrofalowego, kosmicznego promieniowania tła, pulsarów, kwazarów oraz róŜnych kandydatów na czarne dziury) (* proszę pamiętać ksiąŜkę napisano w połowie lat 80-tych XX wieku, dziś wspomniane odkrycia stały się

„codziennością” astrofizyków – przypis własny *) ale równieŜ ze znacznym wzrostem sprawności matematycznej fizyków-teoretyków. W fizyce cząstek elementarnych i teorii pól kwantowych stosuje się juŜ metody przestrzeni włóknistych , topologii, współczesnej geometrii róŜniczkowej. Szybko rozszerza się krąg specjalistów, dobrze

zaznajomionych z róŜnymi podstawowymi działami fizyki i gotowych adekwatnie stosować je w twórczym rozwoju idei OTW.

Przedstawiona ksiąŜka – jest poświęcona badaniu klasycznych ( tj. nie kwantowych ) pól w OTW –

elektromagnetycznego i grawitacyjnego. Nastawiona jest ona raczej nie na rozwiązywanie odpowiednich równań, ale na analizę ogólnych własności dynamicznych pól fizycznych. Pod pojęciem dynamiki we współczesnej fizyce rozumiemy szeroki i stale rozszerzający się krąg problemów, ograniczymy się zatem do pewnego jego fragmentu –

skonkretyzowanego w tytule : dynamiką pól klasycznych w einsteinowskiej OTW. Nie chodzi nam wprost o metody analizy (oczywiście nie moŜna ich pominąć bowiem odzwierciedlają one wewnętrzną strukturę rozpatrywanych obiektów ), w centrum naszego zainteresowania leŜą pewne prawidłowości, analogię i rozbieŜności.

Odkrywane są one poprzez opisanie pól za pomocą układów odniesienia, ujawnienie symetrii ( w tym równieŜ w asymptotycznej strukturze rozmaitości czasoprzestrzennej ) lub zbadaniu zmian współczesnej teorii w porównaniu z jej sformułowaniem źródłowym. Ten obszar nierozłącznie związany jest z interesującą nas problematyką rozwiązywania trudności w formułowaniu praw zachowania w OTW i krytycznej analizy określenia energii pola grawitacyjnego. ( W pewnych kwestiach ksiąŜka jest kontynuacją tematów podjętych w monografii jednego z autorów [77] ; chodzi

konkretnie o kilka zagadnień poruszonych w rozdziale 3 ). Podobna analiza nieuchronnie wynika ze współczesnego stanu badań omawianej teorii oraz tendencji jej rozwoju.

Znaczną część ksiąŜki poświęcona jest przemyśleniu i rozjaśnieniu pewnych faktów, które dopiero co wchodzą do podręczników a w tej chwili rozproszone są jako osobne artykuły. Naturalnym jest iŜ w skład prezentowanego tekstu weszły opracowane i dopiero co opracowywane wyniki naszych badań oraz prace innych autorów ( wyczerpujące przedstawienie co pochodzi od kogo jest oczywiście niemoŜliwe ). Musieliśmy opracować ten niejednorodny materiał i sprowadzić go do jednolitej ( niejednokrotnie stosujemy alternatywne oznaczenia i podejścia ) postaci koncentrującej się wokół centralnego zadania – problemie opisu podstawowej struktury pól w OTW. Niektóre z uzyskanych przez nas wyników publikujemy po raz pierwszy.

Na przestrzeni szeregu lat autorzy badali i wykładali studentom problemy dynamiki pól fizycznych, przy tym uczyliśmy się mówić ( i myśleć ) w róŜnych „językach” matematycznych – od tradycyjnej analizy tensorowej do metod zapisu bez udziału układu współrzędnych. Z kaŜdym nowym krokiem rozwijającym teorię fizyczną stawało się jasne, Ŝe nasze metody matematyczne nie są przypadkowe, one obiektywnie odpowiadają fizycznej realności. Dlatego teŜ bardzo powaŜnie odnosimy się do wprowadzenia i oswojenia efektywnych metod analizy. Poświęcamy im znaczną część pierwszego rozdziału tej ksiąŜki. NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe nie moŜe on zastąpić dobrego podręcznika oraz nie pretenduje do pełności wykładu, dąŜymy jedynie do pokazania podstawowych ideii i zaleŜności.

Do chwili obecnej nie było właściwie ksiąŜki, która w wystarczającym stopniu łączyłaby wskazane, wzajemnie przeplatające się problemy i metody teorii grawitacji. Dlatego staraliśmy się zorientować zarówno na szeroki krąg fizyków jak i na matematyków ( specjalistów i studentów ) zainteresowanych w poznaniu istotnych fizycznych następstw i pojęć wynikłych z geometryzacji fizyki. Oczywiście nie uwaŜamy, Ŝe nasze koncepcje są ostatnim i ostatecznym słowem w poruszanych obszarach nauki.

(* W dalszej kolejności autorzy przechodzą do omówienia autorstwa kolejnych rozdziałów oraz tradycyjnych podziękowań, mam nadzieje, Ŝe nie urazi nikogo opuszczenie tego fragmentu ksiąŜki – przypis własny *)

Podstawowe oznaczenia.

( + --- ) - sygnatura

ℵ

ℑ± - izotropowa nieskończoność w przyszłości + , w przeszłości – I± - czasowa nieskończoność w przyszłości + , w przeszłości – I0 - nieskończoność przestrzennopodobna

Tℵ - przestrzeń styczna T*ℵ - przestrzeń kostyczna

φ* - odwzorowanie przestrzeni stycznych φ* - odwzorowanie przestrzeni kostycznych

⊗ - iloczyn tensorowy.

∧ - iloczyn zewnętrzny.

* - dualne sprzęŜenie ( gwiazdka Hodge’a ) F± - biwektor autodualny +, antyautodualny – θα - 1-formy bazowe

eα - baza wektorowa

£ξ - pochodna Liego po wektorze ξ

∇X - pochodna kowariantna po wektorze X

∇F

w - pochodna Fermiego-Walkera

∇U

w - uogólniona pochodna Fermiego-Walkera ωαβ - forma koneksji

Ωα

β - forma krzywizny R(u, v) - operator krzywizny Rαβγδ - tensor krzywizny Rµν = Rλ

µνλ - tensor Ricciego

< u, v > ≡ u(v) ≡ uv - kontrakcja (zawęŜenie) iloczyn skalarny wektora i kowektora Rµν - ½ gµν R = - κTµν - równanie Einsteina

Pαβ = δα

β - τα τ β - operator rzutowania na 3-wymiarową przestrzeń b = g - τ ⊗ τ - metryka 3-wymiarowa.

: = - równość definicyjna

a × b : = *( a ∧ τ ∧ b) - iloczyn wektorowy 3-wymiarowych wektorów u▲v := - g(u, v) := - b(u, v) - iloczyn skalarny 3-wymiarowych wektorów

χµν - druga forma podstawowa ( krzywizna wewnętrzna ) Gα - przyspieszone układy odniesienia

Aαβ - tensor obrotu

Dαβ - tensor prędkości deformacji

Rozdział 1

Analiza na rozmaitościach i układy odniesienia

1.1 Pola wektorowe i jednoparametryczne grupy przekształceń [ 6, 156, 38]

Koncepcja „rozmaitości” nad definicją której nie będziemy się dłuŜej zastanawiać, uogólnia pojęcie powierzchni lub krzywej w R3. ZauwaŜymy tylko, Ŝe rozmaitość róŜniczkowa zakłada w kaŜdym swoim punkcie istnienie płaszczyzny stycznej ( przestrzeni stycznej ), przy czym jak będzie to widać dale, wektor styczny określony jest w sposób

„wewnętrzny”. Będziemy zakładali, Ŝe czasoprzestrzeń posiada gładką – róŜniczkową strukturę „wewnętrzną”

(* chodzi o istnienie struktury .... )

Przestrzeń styczna. Pod pojęciem wektora stycznego ξ w punkcie x ∈ℵ rozumiemy klasę równowaŜności krzywych parametryzowanych, wychodzących z x. Dwie krzywe γ1 : I → ℵ , γ2 : I → ℵ , I = [ 0, 1] (rys. 1.1) są równowaŜne jeśli ich przedstawienia na dowolnej mapie są równowaŜne. Stosunek równowaŜności określamy tym, Ŝe te dwie krzywe są styczne w punkcie x. Zatem wektor styczny w x ∈ℵ definiujemy jako odwzorowanie ( zobacz równieŜ rys. 1.2 ) : V = d/dt ( f ° φ)| t= 0

gdzie : t – jest parametrem na krzywych i t = 0 w punkcie x.

Rys. 1.1 RównowaŜność krzywych γ1, γ2 Rys. 1.2 Działanie odwzorowania f i φ ( istnieje wspólna styczna )

Z powyŜszej definicji wynika, Ŝe na mapie lokalnej wektor styczny ma składowe Vα =dxα /dt.

Stąd wynika równowaŜne określenie wektora stycznego jako „operatora róŜniczkowego”, konkretnie : V = (dxα /dt ) (∂/∂xα ) = d/dt

Przykład. Sferyczny układ współrzędnych. Baza współrzędnościowa { ∂r , ∂θ , ∂φ }. Składowe wektora : V= Vr ∂r + Vθ∂θ + Vφ ∂φ są równe : Vr = dr/dt , Vθ = dθ/dt , Vφ = dφ/dt

Względem bazy nie współrzędnościowej : er = ∂r , eθ = r -1∂θ , eφ = ( r sinθ )-1∂θ , moŜemy zapisać rozkład wektora V V = Vr^ er + Vθ^ eθ + Vφ^ eφ gdzie : Vr^ = dr/dt , Vθ^ = r dθ/dt , Vφ^ = r sinθ dφ/dt

Zbiór wszystkich wektorów stycznych do ℵ w punkcie x, posiada strukturę przestrzeni liniowej, niezaleŜnie od wyboru lokalnej mapy. Tą przestrzeń liniową nazywamy „przestrzenią styczną” do ℵ w punkcie x i oznaczamy Txℵ.

Niech na ℵ będzie zadana pewna krzywa γ(t) i pole wektorowe V(p), p∈ℵ takie Ŝe w kaŜdym punkcie krzywej, wektor do niej styczny jest zgodny z kierunkiem pola V(p) :

dγ(t)/ dt = V( γ(t) ) (1.1)

Wtedy γ(t) nazywamy „krzywą całkową pola wektorowego V“.

Układy dynamiczne często opisywane są równaniami róŜniczkowymi postaci (1.1) i odpowiednio, krzywe całkowe γ(t, p) określają trajektorie fazowe, a globalnie potok fazowy. Dlatego w otoczeniu U∈ x pole wektorowe w sposób jednoznaczny określone jest przez lokalne odwzorowanie ℵ→ℵ, które oznaczymy gt (x) := γ(t, x)

Zbiór odwzorowań gt obrazuje lokalnie jednoparametryczną grupę dyfeomorfizmów [ 6 str. 10 , 111 str. 145 ].

( ściślej pseudogrupę, pojęcie pseudogrupy oznacza , Ŝe operacja mnoŜenia gt gs , moŜe w pewnych okolicznościach wyprowadzać ze otoczenia U ) :

gt gs = gt+s ; t,e, t+s ∈ I(x)

Mówimy, Ŝe pole wektorowe dgt/dt = V generuje tą grupę ( rys. 1.3)

Twierdzenie [156, str. 145] Gładkie pole wektorowe na rozmaitości zwartej ℵ generuje jednoparametryczną grupę gt

dyfeomorfizmów ℵ : ℵ → ℵ.

Wniosek. [156] Gładkie pole wektorowe na rozmaitości ℵ, równe zeru wewnątrz zwartego obszaru K ⊂ ℵ, generuje jednoparametryczną grupę dyfeomorfizmów ℵ.

Uwaga 1. Nie naleŜy tutaj pomija warunku zwartości. Przykład [ 6 str. 25 ] : ℵ= R , x• =x2 . Rozwiązania : x = - ( t – t0 )-1 nie moŜna przedłuŜać nieograniczenie ( rys. 1.4 )

Uwaga 2. Lokalne dyfeomorfizmy gt (x) oznaczamy często jako exp (tV) : x → gt(x). Oznaczenie to ma swoje źródło w własnościach mnoŜenia na grupie :

gt gs = gt+s .

Rys. 1.3 Generowanie lokalnej jednoparametrycznej grupy Rys. 1.4 Dwa rozwiązania równania x• =x2 dyfeomorfizmów przez pole wektorowe v = dgt /dt których nie moŜna przedłuŜać nieograniczenie.

Uwaga 3. JeŜeli zadane jest odwzorowanie φ : ℵ1 → ℵ2 to w sposób naturalny indukuje ono odwzorowanie przestrzeni stycznych φ* : Txℵ1 → Txℵ2 zgodnie z zasadą :

φ* |x ( (∂f/∂t) |x ) = d/dt | t =0 ( f ° φ)

We współrzędnych równość tą zapisujemy następująco : dyα /dt = (dyα /dxβ ) (dxβ/dt )

Współrzędne czasoprzestrzenne { xµ } przedstawiają czwórkę funkcji skalarnych , co moŜna zauwaŜyć przy przejściu do nowego układu współrzędnych { x’µ } : x’µ = x’µ (x). Dla przekształceń nieskończenie małych ( infinitezymalny parametr ε ) naleŜy mówić o polu wektorowym, wiąŜącym te współrzędne i zadającym odwzorowanie ℵ → ℵ :

x’µ = xµ + ε ξµ (x) (1.2)

Jeśli wszystkie indeksy składowych pewnego tensora T zapisać jako jeden kolektywny (zbiorczy ) indeks a, to przekształcenie tych składowych przy nieskończenie małym przekształceniu współrzędnych (1.2) zapisujemy następująco :

T’a (x’ ) = Ta (x) + ε Ta |τ

σ ξσ, τ (1.3)

( przecinkiem oznaczono pochodną cząstkową ). Równość (1.3) moŜna rozumieć równieŜ jako definicja wielkości Ta |τ

σ , które nie zaleŜą od konkretnego wyboru przekształcenia ( moŜliwe własności symetrii ξσ,τ nie są uwzględniane ) Oprócz tego zaleŜność tych wielkości od współrzędnych wiąŜe się z Ta , jeśli zatem zapisać :

Ta |τ

σ = Tb Ta |b |τ

σ (1.4)

To współczynniki Ta |b |τ

σ będą stałe ( zbudowane z symboli Kroneckera )

To co pokazaliśmy jest słuszne równieŜ dla gęstości tensorowych oraz pewnych innych obiektów. Dla symboli Christoffela ( tj. dla współczynników koneksji w bazie naturalnej ) w wyraŜeniu typu (1.3) pojawia się dodatkowa składowa :

Γ’ λµν (x’) = Γλ

µν (x) + εΓλ µν |τ

σ ξσ, τ - εξλ

, µ ,ν (1.5) Przy tym wielkość Γλ

µν |τ

σ ma ukazaną powyŜej strukturę.

1.2 Pochodna Liego [ 156 str. 147 ; 46 str. 130, str.215 ]

Pochodna Liego £uv pola wektorowego v względem pola wektorowego u definiujemy następująco :

£uv = d/dt ( φt*v ) | t =0 (1.6)

gdzie odwzorowanie φt* indukowane jest przez lokalny dyfeomorfizm φt = exp(-tu). We współrzędnych lokalnych { xα } w otoczeniu punktu x0 :

( φt*v )x0 f = vα (xt ) ∂/∂xα | x0f (φt (x)) = vα (φ-t (x0) ) [ f ,β (φt (x)) (∂φβt(x)/∂xα ) ] x=xt=φ-t(x0)=

= vα (φ-t (x0) ) f ,β (x0) [ (∂φβt(x)/∂xα ) ] x=xt=φ-t(x0).

Stąd po róŜniczkowaniu względem t w punkcie t=0 dla pochodnej Liego mamy wyraŜenie : ( £uv )α = vα ,β uβ - uα ,β vβ = [ u, v]α

lub symbolicznie :

£uv = [ u, v] (1.7)

Definicja (1.6) dopuszcza naturalne uogólnienie na przypadek dowolnego pola tensorowego [ 148].

Przedstawienia te moŜna poglądowo fizycznie wyrazić w następujący sposób. Niech w pewnym obszarze dane będzie pole tensorowe T i jego wartości w dwóch nieskończenie bliskich punktach P, Q chcemy porównać obserwacje wykonane w tych punktach. Niech będzie zadany pewien sposób przesyłania informacji między tymi punktami i kaŜdy obserwator związany z P i Q moŜe dokonywać pomiarów składowych pola T względem pewnej bazy

współrzędnościowej w swoim punkcie. Jeśli obserwatorzy są identyczni, to powinni wykorzystywać jednakowe procedury dla danych obserwacji. Niech obserwator związany z punktem P otrzymał od obserwatora związanego z punktem Q, wyniki jego pomiarów i na tej podstawie zbudował w P model tensora T. Z toŜsamości procedur

pomiarowych wynika, Ŝe jeśli oznaczymy współrzędne lokalne P przez { xµ }, a współrzędne obserwatora Q – przez { x’µ }, to będzie słuszna zaleŜność : x’µ’Q = xµ

P. Przy tym niech : xµ P = xµ

Q + εξµ’

. Wtedy z (1.2) wynika : x’µQ ≡ xµ P = xµ

Q + εξµ.

RóŜnicę między modelem T ( według pomiaru Q ) w punkcie P a realnymi wartościami składowych T w P nazwiemy

„pochodną Liego” :

Ta (xp) – T’a (x’Q ) = Ta (xp) – T’a (xp) = ε£ξ Ta (1.8)

Uwzględniając infinitezymalną odległość punktów P i Q , mamy :

£ξ Ta = Ta, α ξα – Ta |τ

σ ξσ, τ (1.9)

Z powyŜszych zaleŜności widać, Ŝe pochodna Liego tensora i gęstości tensorowej zachowuje własności tych wielkości, jak równieŜ , Ŝe :

∂µ £ = £ ∂µ (1.10)

Przy tym obiekt przekształcający się niejednorodnie ( np. współczynniki koneksji ) przy róŜniczkowaniu Liego daje odpowiedni , jednorodnie przekształcający się obiekt. Tak jak kaŜda operacja róŜniczkowa, pochodna Liego jest odwzorowaniem liniowym, zachowującym zawęŜenie, jak równieŜ spełnia zasadę Leibniza :

£u ( S ⊗ T) = ( £u S) ⊗ T + S ⊗ £uT

Komutator pochodnych Liego po u i po v zastosowany do pola kowektorowego a ( 1-formie a ) jest równy : [ R(u, v) a – d ( a [u ,v ] ) + da [ u, v] = £[ u, v]a

W bazie naturalnej, pochodna Liego tensora metrycznego, symboli Christoffela i tensora krzywizny dana jest zaleŜnością

£ξ gµν = ξµ ; ν + ξν ; µ ; £ξ Γλ µν = ξλ

; µ ; ν + ξκ Rλµκν (1.11)

£ξ Rκλµν = Rκλµν; α ξα

+ Rαλµν ξα; κ + Rκαµν ξα ; λ + Rκλαν ξα ; µ + Rκλµα ξα

; ν (1.11) W przypadku, kiedy £u v = 0 , na podstawie (1.7) mówimy, Ŝe pole wektorowe u i v komutują.

Dla takich pól poruszając się wzdłuŜ krzywej całkowej γu(s) na odległość s, a następnie wzdłuŜ γv(s) na odległość t, dojdziemy do tego samego punktu będzie tak równieŜ dla odwrotnej kolejności ruchu. ( rys. 15. )

Rys. 1.5 Przemienność u i v oraz swoboda wyboru porządku przemieszczenia wzdłuŜ krzywych γv , γv.

Z tego względu moŜemy zbudować układ współrzędnych w którym obie kongruencje krzywych całkowych będą jednocześnie odgrywać rolę linii współrzędnościowych. Dla pól niekomutujących wzajemnie, zbudowanie takich współrzędnych jest niemoŜliwe.

Niech teraz u będzie polem wektorowym czasopodobnym. Wybierzemy układ współrzędnych tak aby u = ∂0 ( jest to zawsze moŜliwe ). W tym przypadku krzywe całkowe γu(t) pola u są zgodne z liniami współrzędnej x0 ( czasu współrzędnościowego ). Wtedy zgodnie z definicją (1.6) otrzymamy dla pochodnej Liego względem u od dowolnego pola tensorowego £u T = dT/dx0. Dlatego jeŜeli traktować krzywe całkowe jak linie czasu, pochodna Liego względem tego pola wektorowego okazuje się naturalnym analogiem pochodnej po czasie mającej charakter ogólnie kowariantny.

1.3 Formy Cartana [ 111, 142, 152, 48 ]

1-formy róŜniczkowe ( lub kowektory ) określane są jako funkcjonały liniowe na polach wektorowych. Jeśli ω – jest 1-formą a v – wektorem, to odwzorowanie wektora v w liczbę rzeczywistą jest funkcją liniową ( nazywaną zawęŜeniem ) którą oznaczamy jako ω(v) ≡ v(ω) = < ω, v >. Teraz liniowość oznacza, Ŝe :

< ω , αu + βv > = α <ω , u> + β < ω, v >

JeŜeli { eα } – jest bazą wektorową Tpℵ , to zbiór 1-form { θα } określonych równościom :

θα (eβ ) = < θα , eβ > = δαβ (1.12)

obrazuje bazę w przestrzeni liniowej 1-form (bazę kowektorową ). Stąd wynika, Ŝe w kaŜdym punkcie p razem z przestrzenią styczną Tpℵ określona jest równieŜ przestrzeń kostyczna Tp*ℵ 1-form. Dla bazy naturalnej ( współrzędnościowej ) { ∂α } kostyczną jest baza : { dxµ } : = < dxµ , ∂ν > = δαβ

Niech : v = vα ∂α oraz ω = ωα dxα . Wykorzystując (1.12) moŜemy znaleźć wyraŜenie dla zawęŜenia zapisane we współrzędnych :

< ω, v > = ωα vα (1.13)

Uwaga 1. Dowolna funkcja f określa 1-formę df ( róŜniczka funkcji ) zgodnie z zasadom : < df, u > = uf ,

gdzie u – jest wektorem, rozumianym jako liniowy operator róŜniczkowy. Stąd wynika, bazie naturalnej standardowe określenie róŜniczki w postaci : df = ( ∂f/dxα )dxα .

Uwaga 2. Odwzorowanie φ : ℵ1 → ℵ2 indukuje odwzorowanie φ* : Tp*ℵ1 → Tφ*ℵ2 zgodnie z zasadą :

< φ*ω, v > = < ω, φ* v >

Kwadrat 4-interwału na (pseudo)riemannowskiej rozmaitości określony jest z pomocą 1-form bazowych, jako : ds2 = gµν θµ θν , przy czym metrykę zapisujemy w postaci : g = gµν θµ ⊗θν tj. jako symetryczny, biliniowy operator, odwzorowujący parę wektorów w liczby rzeczywiste :

g( u, v) = ( gµν θµ ⊗ θν ) (u, v) = gµν uµ vν

Standardowy związek między wektorami ( wektorami kontrawariantnymi ) i kowektorami ( wektorami kowariantnymi ) ustanawia się z pomocą zaleŜności :

g( X, Y) = ω(Y) , ∀ Y ⇒ gµν Xν = Xµ

Antysymetryczny iloczyn tensorowy 1-form prowadzi do nowego pojęcia iloczynu zewnętrznego, dla 1-form bazowych

θα ∧ θβ := ½ ( θα ⊗ θβ - θβ ⊗ θα ) (1.14)

Te, sześć liniowo niezaleŜnych wielkości obrazuje bazę przestrzeni 2-form ( rozłoŜenie dowolnej 2-formy :

F = Fαβ θα ∧ θβ ). Dalsze mnoŜenie przez 1-formę i antysymetryzacja daje nam określenie p-formy (formy stopnia p ).

Baza przestrzeni p-form składa się z p-form postaci :

θα1 ∧ θα2 ∧ ... ∧ θαp. Z tej definicji wynikają własności symetrii operacji iloczynu zewnętrznego : jeśli deg α = p i deg ω = q ( deg – stopień ), to :

α ∧ ω = (-1)pq ω ∧ α (1.15)

RóŜniczkowanie zewnętrzne oznaczamy literką d; przeprowadza ono p-formę α w (p+1)-formę dα. Jego własności są następujące :

1) liniowość : d( α + β) = dα + dβ ; d(λα) = λdα przy λ = const.

2) d( α ∧ β ) = dα ∧ β + (-1)p α ∧ dβ ; deg α = p 3) dd = 0

4) jak juŜ widzieliśmy, dla funkcji skalarnej f ( 0-formy ) df przedstawia sobą zwyczajną róŜniczkę. W bazie współrzędnościowej :

dα = αν1...νp, µ dxµ∧ dxν1 ∧ ... ∧ dxνp (1.16)

Będziemy często oznaczali zestaw indeksów składowych form oraz ich baz za pomocą „indeksów zbiorowych”, przykładowo, wyraŜenie (1.16) zapiszemy następująco :

dα = αa , µ dxµa (1.17)

przy czym, fakt, Ŝe indeks zbiorowy składa się z danej ilości ( tutaj p ) indywidualnych indeksów wyraŜamy równościom:

#a = p ; przykładowo #(µa) = p + 1

Przykład 1 ( rotacja) Niech : α = A( x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz , wtedy :

dα = [ (∂C/∂y) – (∂B/∂z) dx∧dz + [ (∂A/∂z) – (∂C/∂c) dz∧dx + [ (∂B/∂x) – (∂A/∂y) dx∧dy (1.18) Przykład 2 ( dywergencja ) Niech : ω = P(x, y, z)dy∧dz + Q(x, y, z)dz∧dx + R(x, y, z)dx∧dy Wtedy :

dω = [ (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z) ] dx∧dy ∧dz.

JeŜeli podstawimy tu P, Q, R z (1.18), to zgodnie z własnościom 3 otrzymamy ddα = 0. Tak w języku form róŜniczkowych wyraŜa się dobrze znana zaleŜność : div rot α = 0

Operacja dualnego sprzęŜenia ( gwiazdka Hodge’a ) [39] przeprowadza p-formy w (4 - p)-formy ( analogiczna operacja istnieje w ogólnym przypadku rozmaitości n-wymiarowych i w szczególności w 3-wymiarowej fizycznej przestrzeni z uwzględnieniem układu współrzędnych ). Taka zmiana stopnia formy realizowana jest z pomocą skośniesymetrycznego

tensora Leviego-Civity , który razem z tensorem metrycznym jest jedynym toŜsamościowo kowariantnym stałym tensorem. Rozpatrzmy przypadek 4-wymiarowy, kiedy tensor Leviego-Civity budowany jest z pomocą zupełnie antysymetrycznego, czteroindeksowego „symbolu Leviego-Civity” : εαβγδ = ε[αβγδ] ; ε0123 = + 1 ( będziemy go zawsze oznaczali dolnymi indeksami ) :

Eαβγδ = √-g εαβγδ ; Eαβγδ = - (1/√-g ) εαβγδ (1.19) Skośnie symetryczne tensory Leviego-Civity przy mnoŜeniu dają ( #l = L )

ElaE1b = EalEbl = (-1)AL EalElb = - L! δba

( tutaj indeksy zbiorowe zbudowane są z układów zupełnie antysymetrycznych indeksów indywidualnych ).

Uogólnione symbole Kroneckera określamy następująco : δba= A! δβ1[ α1δβ2α2 …. δβAαB ] ; # a = # b = A i posiadają własność : Paδba= A! Pb.

A JeŜeli wyjdziemy od bazy A-form dxa =

Π Π Π Π

to dualnie sprzęŜona do niej baza będzie określona następująco :

*dxa = (1/L!) Eal dxl , L = 4 – A (1.20)

i odwrotnie :

dxl = -(1/A!) Eal *dxa (1.21) Dlatego formę, sprzęŜoną dualnie względem A-formy, α = αa dxa naturalnie jest określić następująco :

*α = αa*dxa = (1/L!) αa EaI dxI (1.22)

Powtórne zastosowanie sprzęŜenia dualnego prowadzi do formy wejściowej :

**α = (-1)A+1α (1.23)

Wprowadzimy teraz Z-formę ω : ω = ωZ dxZ , #z = Z Wykorzystując prostą toŜsamość :

δbgah = [ (A + H) !/ A! H! ] δb[ a δgh ] , # h = # g = H , Z = A + H łatwo upewnić się ,Ŝe :

* ( α ∧ * ω ) = (-1)H+1[ (A + H) !/ H! ] αbωha dxh (1.24)

W taki sposób moŜemy zawęŜać formy między sobą. Oprócz tego zapiszemy pewne uŜyteczne zaleŜności : element 4-objętości wyraŜamy jako (dx) = dx0123 , przy czym sprzęŜenie dualne 0-formy daje :

*1 = √-g (dx) , ** 1 = - 1 (1.25) Zatem :

*(dx) = - 1/√-g (1.26)

Jeśli dane są dwie A-formy α, β , to : α ∧ *β = A! αa βa √-g (dx) = β ∧ *α

Równość ta podpowiada definicję operacji całkowania typu iloczynu skalarnego : (α, β) = (β, α) =

∫

Jeśli deg β = deg α – 1, to iloczyn skalarny moŜna scałkować przez części na podstawie toŜsamości : α ∧ *β = d( β ∧ *α ) – A!βb ανb

; ν √-g (dx) tak ,Ŝe otrzymamy :

(α, dβ) = (δα, β) +

∫

jeŜeli wprowadzimy uŜyteczną zaleŜność : (δα)b = ( A! / B!) ανb; ν

= Aανb; ν

gdzie : # b = B = A – 1, przy czym ν – jest zwykłym indeksem 4-wymiarowym , zatem #(νb) = A.

Nie trudno zauwaŜyć , Ŝe [39] :

δα = - *d *α (1.27) Kombinacja operacji d ( typu gradient i rotacja ) oraz δ ( typu dywergencja ) prowadzi do operatora róŜniczkowego

drugiego rzędu, działającego na formy bez zmiany ich stopnia i analogicznego do operatora Laplace’a i D’Alamberta, operator ten nazywa się „operatorem De Rahma” ( deramanian ), oznaczamy go następująco :

dδ + δd = ∆ = ( d + δ)2 (1.28)

Formę γ, którą deramanian ∆ zeruje nazywamy „harmoniczną” ∆ tj. ∆γ = 0

JeŜeli forma przedstawia sobą róŜniczkę zewnętrzną innej formy ( o stopień mniejszej ) tj. jeśli ω = dα, to formę ω nazywamy „dokładną”. Analogicznie jeśli ω = δβ, to formę ω nazywamy „kodokładną” ( wtedy stopień β jest o jeden

większy niŜ stopień ω). Jeśli dω = 0, to formę ω nazywamy „zamkniętą” , jeśli δω = 0, to formę ω nazywamy

„kozamkniętą”. PoniewaŜ słuszne są toŜsamości :

dd ≡ 0 oraz δδ

≡

to kaŜda forma dokładna jest zamknięta kodokładna – kozamknięta ( ogólnie stwierdzenia odwrotne nie są słuszne ) Twierdzenie ( Hodg’e [39] ) Jeśli ℵ jest rozmaitością zwartą bez brzegów, to dowolną formę ω, na niej określoną moŜna przedstawić jako sumę form dokładnej , kodokładnej i harmonicznej :

ω = dα + δβ + γ

przy czym koniecznie : deg ω = deg α + 1 = deg β – 1 = deg γ

Jest to przedstawienie jednoznaczne a podstawowa informacja o własnościach wejściowej formy ω zawarta jest w formie harmonicznej γ.

W trakcie wykładu skorzystaliśmy juŜ z następującego, waŜnego twierdzenia :

Twierdzenie ( Stokesa-Gaussa ) Jeśli rozmaitość n-wymiarowa ℵ posiada brzegi ∂ℵ ( wymiaru n-1 ), to :

∫

∫

gdzie : ω – forma stopnia n-1.

Brzeg moŜe być niespójny i wtedy w pierwszej części równości naleŜy uwzględnić znak ( orientacje ) oddzielnych składowych.

Przy działaniu na formę pochodna Liego nie zmienia jej stopnia i operacje (1.6) lub (1.9) stosujemy bezpośrednio do składowych kowariantnych określonego tensora danej formy.

Istotne jest, Ŝe ta operacja moŜe być prosto wyraŜona przez róŜniczkowanie zewnętrzne oraz sprzęŜenie dualne ( to ostatnie razem z iloczynem zewnętrznym przez kowektor, odpowiadający polu wektorowemu względem którego bierzemy pochodną Liego, prowadzi do definicji, wykorzystywanego juŜ iloczynu wewnętrznego [156] : iuω := uα ωαβ...γ dxβ...γ

Wtedy :

£uω = ( iu d + d iu ) ω (1.30a)

co moŜemy zapisać równieŜ jako :

£uω = - * ( u ∧ *dω ) - d * ( u ∧ * ω ) (1.30b)

Stąd widać bezpośrednio, Ŝe pochodna Liego moŜe być zamieniana z operacją róŜniczkowania zewnętrznego : d jeśli uwzględnimy (1.29)

£uω = d iu dω + dd iu ω = £u dω - jeśli uwzględnimy (1.29)

Oprócz tego, zapis ten pozwala nadać prostą geometryczną interpretacje pochodnej Liego. Przy nieskończenie małym przemieszczeniu formy ω wzdłuŜ kongruencji o wektorze stycznym εu to z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem ε , otrzymujemy :

ω( x + εu) – ω(x) = ε £uω (1.31)

Dlatego jeśli pochodna Liego pewnej formy ω względem pola wektorowego u, jest równa zeru ( mówimy, Ŝe forma ω jest inwariantna względem tego pola ), to dana forma nie zmienia się przy ruchu wzdłuŜ linii o wektorze stycznym u.

ZauwaŜmy równieŜ , Ŝe lewa strona (1.31) opisuje zmianę postaci składowych tensora opisującego formę ω przy odpowiadającym tej zmianie przekształceniu współrzędnych. MoŜna to zobaczyć ze zwykłych zaleŜności dla przekształceń (1.2) , (1.3) co wynika z faktu, Ŝe forma ω zgodnie z definicją jest inwariantna względem nich : ω(x) ≡ ω(x’). Dlatego z (1.31) dla formy ω wynika bezpośrednio zaleŜność (1.8).

I dalej, jeśli uwzględnić, Ŝe forma 4-tego stopnia w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni zawsze jest zamknięta przy utoŜsamieniu jej z formą ω w zaleŜnościach (1.30a) i (1.30b) przychodzimy od razu do (3.4) – podstawowej zaleŜności wywodu twierdzenie Noether. Przy tym lagranŜjan wygodnie jest wyrazić w języku form zewnętrznych jako 4-formę L(dx) ( porównaj z (1.25) ). Oczywiście zaleŜność taka juŜ na początku zakłada spełnienie standardowych własności kowariantnych lagranŜjanu takich jak dla gęstości skalarnej, co równieŜ wymagane jest przy wyprowadzaniu twierdzenia Noether.

Równania struktury Cartana [ 48, 111, 58]

Niech dane będą cztery 1-formy bazowe θα. Wtedy kaŜda z dθα będzie 2-formą i moŜemy je rozłoŜyć względem bazy :

dθα = Γ αστθσ ∧ θτ (1.32) Równość ta zawiera w charakterze współczynników rozkładu współczynniki koneksji ( tylko w bazie naturalnej

przechodzą one w zwykłe symbole Christoffela ) , będziemy o nich mówili w paragrafie 1.4 Rozkład (1.32) wynika z zasad róŜniczkowania kowariantnego 1-form :

∇eα θβ = -Γβ

σα θσ (1.33) ( porównaj z pochodną kowariantną bazy wzajemnej (1.39) ).

Wprowadzając 1-formy koneksji jako : ωα β = Γα

βσ θσ (1.34) moŜemy przepisać (1.32) do postaci :

dθα = -ααβ ∧ θβ (1.35) ZaleŜność ta nazywa się „pierwszym równaniem struktury Cartana”. W praktyce słuŜy ono m.in. do znajdowania form koneksji (prosty sposób ich obliczania polegający na wykorzystaniu zaleŜności (1.34) do wyraŜenia (1.43) często okazuje się bardzo złoŜony ). NaleŜy jeszcze uzupełnić zaleŜności (1.35) o równania :

dgαβ = ωαβ + ωβα’ (1.36)

wyraŜające w języku form własność kowariantnej stałości metryki :

∇eσ ( gαβ θα ⊗ θβ ) = 0 ( przy wyprowadzeniu (1.32) i (1.36) wygodnie jest uwzględnić równieŜ moŜliwy sposób zapisu róŜniczki zewnętrznej postaci (1.44) ). JeŜeli teraz na podstawie opisu krzywizny (1.45) , (1.47) wprowadzić pojęcie 2-formy krzywizny : Ωα

β := ½ Rα

βγδ θγ ∧θδ

wtedy teŜ, od razu wynikają zaleŜności o postaci : Ωα

β = dωα β + ωγ

β∧ ωγβ (1.37)

noszące nazwę „drugiego równania struktury Cartana”, odgrywa ono waŜną rolę w konkretnych obliczeniach ( które podane zostaną dalej )

ZauwaŜmy, Ŝe czasami wygodnie jest wykorzystać sztywno unormowaną bazę ( w której gαβ = const. ). W przypadkach szczególnych będzie to tetrada ortounormowana i tetrada Newmana-Penrose’a ( tetrada izotropowa i zespolona o wzajemnej normalizacji ), odnośnie tej ostatniej zobacz dalej paragraf 18.

Przykład. Obliczenie składowych krzywizny dla friedmanowskich modeli kosmologicznych. Wszystkie trzy typy takich modeli to – sferyczny ( k = + 1) , paraboliczny ( k= 0 ) , hiperboliczny ( k =- 1), moŜna je opisać za pomocą jednej metryki :

ds2 = a2 [ dη2 - dχ2 - S2 (dθ2 + sin2θ dφ2 ) ] gdzie : a = a(η) , S (χ) = (1/ √k) sin(χ √k )

Baza ortounormowana 1-form zadana jest w postaci : θ0 = adη , θ1 = adχ , θ2 = aSdθ , θ3 = aS sin θ dφ Z zaleŜności :

dθ0 = 0 , dθ1 = (a• / a2 ) θ0∧θ1

dθ2 = (a• / a2 ) θ0∧ θ2 + (S’ / aS ) θ1∧ θ2

dθ3 = (a• / a2 ) θ0∧ θ3 + (S’ / aS ) θ1∧ θ3 + ( ctg θ /aS ) θ2∧ θ3 przy porównaniu z (1.35) znajdujemy , Ŝe :

ω0 i = ωi 0 = (a• / a2 ) θI , i =1, 2, 3 ω1 k = -ωk 1 = - (S’ / aS) θk , k =2, 3 ω2 3 = -ω3 2 = - (ctgθ / aS ) θ3

Podstawiając te wyraŜenia do drugiego równania struktury Cartana (1.37), otrzymamy po porównaniu z definicją 2- formy krzywizny wszystkie składowe tensora krzywizny Riemanna-Christoffela. Zapiszmy jedynie końcowy wynik : Ω0

i = (1/a2 )(a• / a )• θ0∧θi , i = 1, 2 ,3 Ω1

k = [ (a• / a2 )2 - ( S’’/a2 S ) ] θ1∧ θk , k = 2 ,3 Ω2

3 = [ (1/ a2 S2 ) + (a• / a2 )2 - ( S’/a S )2 ] θ2∧ θ3

1.4 Elementy geometrii Riemanna [ 164, 163, 111, 148]

Pochodna kowariantna ∇u ( w kierunku wektora u) odwzorowuje dowolny tensor T w tensor o tej samej walencji ( rzędu ) i określona jest przez następujące własności :

- jej działanie na funkcję skalarną f jest zgodne z działaniem wektora u jako liniowego operatora róŜniczkowego :

∇u f = uf (1.38a)

- jest ona operacją liniową :

∇αu + βv = α∇u + β∇v (1.38b)

gdzie α, β – dowolne funkcje.

- czyni zadość własności Leibniza :

∇u ( S ⊗ T ) = ( ∇u S ) ⊗ T + S ⊗ (∇u T ) (1.38c)

- tensor metryczny w geometrii Riemanna jest kowariantnie stały :

∇u g = 0 (1.38d)

- dla geometrii Riemanna ( zerowa torsja ) spełniona jest zaleŜność :

∇u v - ∇v u = [ u, v] (1.38e)

Razem z metrykom, wprowadzaną w geometrii Riemanna na poziomie algebry ( co pozwala lepiej zrozumieć składowe ko- i kontrawariantne jako przynaleŜne jednemu i temu samemu wektorowi lub tensorowi ), wprowadzamy pojęcie

współczynników koneksji Γλ

µν charakteryzujące operacje przeniesienia równoległego wielkości tensorowych i dopuszczających moŜliwość ich porównania w róŜnych punktach, przy zadanej konkretnie drodze między punktami w których określono te wielkości.

Współczynniki koneksji określone są przez zaleŜność :

∇eα eβ = Γγ

βα eγ (1.39) ( porównaj z (1.33) ) Wtedy :

∇uv = uα ( eα vγ + Γγβα vβ ) eγ = uα vγ ;α eγ (1.40)

zatem często wykorzystywane oznaczenie vγ ;α moŜemy przepisać do postaci :

vγ ;α = θγ ∇eα v (1.41)

Stąd widać, Ŝe ten zbiór wielkości zachowują się jak składowe tensora, chociaŜ kowariantna pochodna wektora

∇uv pozostaje wektorem !

Wektory bazowe eα ogólnie mówiąc nie komutują jeden z drugim i na podstawie (1.39) i (1.39e) jest jasne , Ŝe : [ eα , eβ ] = ∇eα eβ - ∇eβ eα = ( Γγ

βα -Γγ

αβ )eγ = Cγ

αβ eγ (1.42)

Wielkości Cγαβ – to „współczynniki strukturalne bazy” w swojej naturze bliskie są one stałym strukturalnym w teorii grup. Jeśli badana przestrzeń posiada pewne własności symetrii ( np. symetrię translacyjną ) opisywana przez pewną grupę ruchów, to dla najprostszego jej opisu naleŜy wybrać taką bazę, której współczynniki strukturalne w

maksymalnym, moŜliwym stopniu „kopiują” stałe strukturalne grupy ruchów. Jest jasne, Ŝe w bazie współrzędnościowej wektory komutują ( sprowadzając się do pochodnych cząstkowych względem współrzędnych niezaleŜnych ) i w tym przypadku Cγαβ = 0, a współczynnik koneksji będą symetryczne względem dwóch dolnych wskaźników ( wtedy nazywamy je symbolami Christoffela ). W ogólnym przypadku taka symetria nie występuje i rozwiązanie zaleŜności (1.38d) i (1.42) ( która przedstawia w dogodnej postaci zaleŜność (1.38e) ) ma postać :

2Γγβα = gγε ( eβ gαε + eα gεβ - eε gαβ ) + Cαγβ + Cβγα - Cγαβ (1.43) JeŜeli w danej bazie tensor metryczny ma stałe składowe ( np. baza ortonormalna, baza Newmana-Penrose’a ; zobacz paragraf 1.8 ), to w (1.43) zerują się wszystkie trzy składowe w nawiasie i wtedy współczynniki koneksji nazywamy

„współczynnikami obrotu Ricciego” ( zachodzi dla nich własność antysymetrii : Γαβγ = -Γβαγ ).

ZauwaŜmy, Ŝe róŜniczkę zewnętrzną ( w zastosowaniu do dowolnej formy ) moŜna zapisać jako operator róŜniczkowy :

d = dxα∇∂α ∧ ≡ θν ∇eα ∧ (1.44)

Przy konkretnych obliczeniach nie naleŜy zapominać, Ŝe ( w odróŜnieniu od sformułowania geometrii Riemanna w wielkościach współrzędnościowych ) operacja nabla ∇u działa na składowe tensorów jak na funkcje skalarne zgodnie z zasadą (1.38a) a na same tensory ( tj. faktycznie na bazy tensorowe ) – zgodnie z zasadą (1.39) lub ( jako następstwo wcześniejszego ) – zgodnie z (1.40). W charakterze ćwiczenia proponujemy czytelnikowi otrzymanie w powyŜszy sposób równości (1.32).

Tensor krzywizny Riemanna-Christoffela wygodnie jest wprowadzić w dowolnej bazie z pomocą liniowego operatora róŜniczkowego, drugiego rzędu, działającego na tensory w następujący sposób :

R(u, v) = ∇u∇v - ∇v∇u - ∇[ u, v ] (1.45) Operator ten spełnia własność Leibniza :

R( u, v) ( S ⊗ T) = ( R(u, v) S) ⊗ T + S ⊗R(u, v) T

Przy czym, poniewaŜ R(u, v)f = 0 ( f – zwykła funkcja skalarna ) zachodzi następująca zaleŜność : R(u, v)( fT) = f R(u, v) T

Składowe tensora krzywizny określamy następująco :

Rαβγδ =θα ( R ( eγ , eδ ) eβ ) (1.46)

Skąd moŜemy je w prosty sposób wyrazić tak : Rαβγδ = eγ Γα

βδ - eδ Γα βγ - Γε

βδ Γα εγ - Γε

βγ Γα εδ - Cε

γδ Γα

βε (1.47)

W bazie współrzędnościowej [ ∂γ , ∂δ ] = 0 , tak, Ŝe : R( ∂γ, ∂δ ) =∇∂γ∇∂δ - ∇∂δ∇∂γ

Zatem :

Rαβγδ vβ ≡ dxα ( R( ∂γ, ∂δ ) v ) = vα

; δ ; γ - vα

; γ ; δ

Oprócz tego, w bazie współrzędnościowej wygodnie jest wykorzystać wielkości wprowadzone w zaleŜnościach (1.3) i (1.4) w celu zapisania pochodnych kowariantnych i ich komutatorów ( w języku składowych wielkości tensorowych ) : Ta ; α = Ta ,α + Ta |τ

σ Γσατ (1.48)

oraz :

Ta ; δ ; γ - Ta ; γ ; δ = Rα

βγδ Ta |β

α (1.49)

Na zakończenie podamy wyraŜenie pewnych własności krzywizny zapisanych dla formy Cartana, są to :

algebraiczne toŜsamości Ricciego Ωα

β ∧ θβ = 0 (1.50)

oraz róŜniczkowe toŜsamości Bianchi dΩα

β = Ωα

γ ∧ ωγβ - ωα γ ∧Ωγ

β (1.51)

Z pomoca formy Cartana dogodnie jest opisywać równieŜ przekształcenia konforemne ( renormalizacje ) metryki, wyraŜone w bazie współrzędnościowej następująco : g~

µν = exp (2σ) gµν. Wtedy uwzględniając formy bazowe ( baza nie współrzędnościowa ) zrenormalizowane następująco : θ~β = exp(σ)θα zachowujemy dla obu baz jedne i te same ( tetradowe ) składowe metryki. Dlatego nowe 1-formy koneksji wyraŜają się następująco :

ω~αβ = ωαβ + ( e~βσ ) θ~α - ( e~ασ ) θ~β

a 2-formy krzywizny renormalizują się zgodnie z zasadą :

Ω~αβ = Ωαβ + 2( e~γ e~[ β σ ) θ~γ ∧ θ~α ] + ( e~γ σ) (e~γ σ) θ~α ∧ θ~β + 2( e~γ σ) e~[ β σ ) θ~α ] ∧ θ~γ Jeśli wykorzystując operacje dualnego sprzęŜenia ( paragraf 1.3 ), wprowadzimy czwórkę 1-form Ricciego : Rβ = Rβγ θγ = * ( θα ∧ *Ωαβ )

i zapiszemy krzywiznę skalarną w postaci : R = - *( θα ∧ *Rα ) = * ( θα ∧ *Ωαβ ∧ θβ )

to moŜna zbudować, inwariantna względem przekształcenia konforemnego 2-formę Weyla :

Wαβ = Ωαβ + ½ ( θα ∧ Rβ - θβ ∧ Rα ) – 1/6 R θα ∧ θβ (1.52) Określający ją tensor, w sposób naturalnie jest równieŜ inwariantny względem tego przekształcenia, nazywamy go

„tensorem krzywizny konforemnej Weyla”. Oprócz zwykłych algebraicznych własności tensora Riemanna-Christoffela Posiada on równy zeru analog tensora Ricciego ( jedna kontrakcja ), tak , Ŝe analogicznie do (1.50) moŜemy zapisać :

Wαβ ∧ θβ = 0 (1.53)

*Wαβ ∧ θβ = 0 (1.54)

1.5 Geometria kongruencji [ 11, 148, 58 ]

Poprzez pewne monotoniczne parametryzowanie punktów wzdłuŜ krzywej moŜemy określić wektor do niej styczny jako u = d/dλ , uα = dxα /dλ, przy czym „kanoniczną” nazywamy taką parametryzacje przy której kwadrat wektora stycznego wzdłuŜ krzywej nie zmienia się. Parametrem kanonicznym wzdłuŜ nieizotropowej krzywej jest, w szczególności :

∫

∇u u = 0 (1.55)

( przy parametrze niekanonicznym λ po prawej naleŜy dodać człon f(x)u ) Inaczej, to równanie moŜemy przepisać do postaci :

Duµ / dλ = 0 ; uµ ; ν uν = 0 (1.56)

lub

duµ / dλ = ½ gαβ, µ uα uβ (1.57)

Drugą waŜną klasą krzywych są krzywe całkowe pola wektora Killinga, określonego równaniem £ug = 0 lub co jest równowaŜne, równaniem :

ξµ ; ν - ξν ; µ = 0 (1.58)

Równania te nazywamy „równaniami Killinga” ( ich badanie zobacz np. [ 163, 106, 58 ] ).

Jeśli w danym obszarze czasoprzestrzeni istnieje „kongruencja Killinga”, to w nim moŜemy wprowadzić taki układ współrzędnych, w którym składowe tensora metrycznego ( w bazie współrzędnościowej ) nie będą zaleŜne od jednej ze współrzędnych ( nazwiemy ją xξ

, jej linie pokrywają się z liniami kongruencji Killinga ).

W istocie, tak jest bowiem z równań Killinga (1.58) wynika : ξµ

gµν, λ + gµλ ξλ

,ν + gνλ ξλ

,µ = 0

Jeśli skierować linie współrzędnościowe xξ

wzdłuŜ kongruencji Killinga i sparametryzować je tak aby : ξλ

= δλξ , to Wypowiedziane stwierdzenie będzie spełnione bezpośrednio.

Niech w jednym obszarze istnieją dwa pola Killinga : ξ i η, wtedy moŜliwość osiągnięcia niezaleŜności składowych metryki od razu od dwóch współrzędnych ( w bazie współrzędnościowej ) w stopniu koniecznym i wystarczającym zaleŜy od zerowania się komutatora tych pól.

Kongruencja w 4-wymiarowej rozmaitości określona jest przez rodzinę linii, zaleŜnych od trzech parametrów ( oprócz parametru λ wzdłuŜ tych linii ). Na początku rozpatrzmy tylko jeden parametr xµ(λ, σ). Wtedy w punktach naleŜących do rodziny tych linii, określone są dwa wektory : u = ∂/∂λ , w = ∂/∂σ. NiezaleŜność λ i σ przejawia się w komutatywności pochodnych, względem tych parametrów, dla określonych pól mamy : [ u, w] ≡ £uw = 0.

Przy tym λ, σ moŜna rozpatrywać jako współrzędne na dwu wymiarowej rozmaitości, którą pokrywają linie całkowe pól u i v. JeŜeli linie u są geodezyjnymi (1.55) to poniewaŜ ( zobacz (1.38) ) ∇w u = ∇u w , to otrzymujemy zgodnie z definicją operatora krzywizny : R(u, w)u =∇u ∇u w

Otrzymane równanie nazywamy „równaniem dewiacji geodezyjnych (równaniem Jakobiego)” i we współrzędnych zapisujemy następująco :

Rαβγδ = uγ wδ = ( D2 /∂λ2 ) wα (1.59)

Przeniesienie wektora wzdłuŜ pewnej linii określone jest przez jego zmianę przy takim przeniesieniu : vP → Q - vQ = δv

PowyŜsze oznaczenia są raczej oczywiste. Wektor v tworzy pole tj. w punkcie Q dokąd przenosimy go z punktu P mamy pewną konkretną jego wartość ( vQ ). Najprostszym jest „przeniesienie równoległe”, zachowuje ono bezwzględną wartość wektora oraz kąty między wektorami ( jeŜeli przenosimy więcej niŜ jeden wektor ). Przeniesienie równoległe określone jest równaniem : δv = - ∇u v dλ i jeŜeli istnieje pole wektora v, które przenoszone jest równolegle wzdłuŜ kierunku u, to : ∇u v = 0. Przeniesienie równoległe nie jest jedynym moŜliwym przeniesieniem, zachowującym wskazane własności. Jako przykład moŜemy wskazać na „przeniesienie Fermiego-Walkera”, przy którym :

δv = - [ ∇u v + εu ( v ^•∇u u ) - ε∇u u ( u ^•v) ] dλ , ε-1 = u _•u (1.60) Takie przeniesienie jest równieŜ określone wzdłuŜ zadanej krzywej, przy czym teraz w sposób automatyczny zachowany

jest kąt między przeniesionym wektorem i wektorem stycznym do krzywej, tak ,Ŝe w odróŜnieniu od przeniesienia równoległego, zmiana wektora stycznego do krzywej wzdłuŜ której przenosimy wektory jest toŜsamościowo równa zeru.

Przy czym :

∇F

u v := ∇u v + ε [ ( v ^•∇u u )u - ( u ^• v)∇u u ] (1.61) Wtedy słuszna jest następująca toŜsamość przy działaniu na funkcje skalarną :

∇F

u f ≡ ∇u f ≡ ∂/∂λ f = uf skąd widać, Ŝe jeśli : ∇F

u v = ∇F

u w = 0 to (∂/∂λ)( v • w ) = 0, jak równieŜ jeŜeli u • v = 0 to v • ∇F

u v = 0.

Oznaczmy : u^• = ∇u u,

wtedy wykorzystując operacje rzutowania na lokalną podprzestrzeń, ortogonalną do kongruencji u :

pu = g – εu ⊗ u (1.62)

( w przypadkach nie budzących wątpliwości, będziemy pisali prosto p ) dochodzimy do równania, typu Jakobiego (1.59) :

∇F u ∇F

u v = R(u, v)u + pu ( ∇u u^• ) + ( v • u^• ) u^• (1.63)

Uwaga. Przeniesienie Fermiego-Walkera określone jest tylko dla krzywych nieizotropowych.

Zapiszemy teraz waŜną zaleŜność ( mającą raczej charakter umowy ) :

uµ ; λ = εuλGµ + Aλµ + Dλµ , ε = ± 1 (1.64)

W zaleŜności tej wszystkie wielkości po prawej, oprócz u są ortogonalne do u. Wtedy oczywiście : G = u^• .

Niech tensory A, D opisują odpowiednio antysymetryczną i symetryczną część wyraŜenia (1.64). przy tym jak łatwo zauwaŜyć :

Aλµ + Dλµ = bµ ^• ∇bλ u = - u ^• ∇bλ bµ (1.65)

Gdzie czwórka wektorów bµ przedstawia kombinacje wektorów bazowych z uŜyciem współczynników przedstawiających składowe p :

bµ = (δνµ - ε uµ uν ) eν ≡ p(eµ ) (1.66)

Jest jasne, Ŝe bµ • u = 0. Wtedy symetryczny tensor D tj. tensor prędkości deformacji kongruencji, wyraŜa się następująco :

Dλµ = - u •∇b ( λ b µ ) = pα

( λ pβ

µ ) uα ; β = ½ £u pλµ (1.67)

( Wszędzie gdzie pochodna Liego stosowana jest nie do tensorów a bezpośrednio do ich składowych, składowe te naleŜy rozumieć jako współrzędnościowe ). Antysymetryczny tensor obrotu kongruencji A, wyraŜa się następująco :

Aλµ = - u •∇b ( λ b µ ) = pα

( λ pβ

µ ) uβ ; α ≡ pα ( λ pβ

µ ) uβ , α (1.68)

PokaŜemy teraz, Ŝe równość tego tensora zeru jest koniecznym i dostatecznym warunkiem „holonomiczności podprzestrzeni” ( hiperpowierzchni – ściślej zbioru hiperpowierzchni ), ortogonalnej do kongruencji u. Weźmy dwa wektory ( nie kowektory ) η, ζ . Niech będą one ortogonalne do kongruencji : η • u = ζ • u = 0 tj. p( η, ) = η oraz p( ζ , ) = ζ. Dokonajmy przeniesienia Liego na początku jednego tego wektora wzdłuŜ drugiego , a potem odwrotnie i wymagajmy aby nowy wektor ( tj. £ηζ ) równieŜ leŜał w tej podprzestrzeni ( warunek holonomiczności ) tj. aby u • [ η , ζ ] = 0. Uwzględniając własności obranych wektorów, mamy :

ηα ζβ ( pµα ; ν pνβ – pνβ ; ν pνα ) uµ = 0

ZaleŜność ta powinna być słuszna dla dowolnych wektorów η i ζ naleŜących do podprzestrzeni, zatem :

( pµα ; ν pνβ – pνβ ; ν pνα ) uµ ≡ 2pµ

[ β pνα ] uµ ; ν = 0

co oznacza : Aαβ = 0. wynik ten jest przypadkiem szczególnym twierdzenia Forbeniusa [ 46 str. 218 ].

Mając na uwadze określenie pochodnej kowariantnej Fermiego-Walkera wprowadzimy operacje :

∇u

w v = ∇w v + ε [ ( v ^• ∇w u)u - ( v ^• u )∇w u ] (1.69)

posiadającą następujące własności :

∇u

x f = xf ; ∇u

w u = ∇u

w g = ∇u

w p = 0

Wykorzystując te własności moŜemy zbudować analog krzywizny postaci : Ru (x, y) = ∇u

x ∇u y - ∇u

y ∇u x - ∇u

[ x, y] (1.70)

Łatwo sprawdzić, Ŝe dla tak określonej krzywizny Ru (x, y)f = Ru (x, y)u = 0, jak równieŜ : u • ( Ru ( x, y)v ) = 0 Krzywizna (1.70) związana jest z rzutem 4-wymiarowej krzywizny na 3-przestrzeń, ortogonalną do kongruencji ( ogólnie mówiąc jest to 3-przestrzen nieholonomiczna ), zaleŜnością :

Ru (bµ ,bν ) bλ = [ Rαβγδ pκ α pβ

λ pγ µ pδ

ν + ε ( (Dµκ + Aµκ )( Dνλ + Aνλ ) - ( Dµλ + Aµλ )( Dνκ + Aνκ ) )] bκ (1.71) W przypadku podprzestrzeni holonomicznej ( kiedy Aµν = 0 ) zaleŜność ta przechodzi w równanie Gaussa (1.83).

JeŜeli teraz powrócimy do pochodnej ∇bµ , którą wykorzystaliśmy przy określeniu tensorów obrotu i prędkości

deformacji (1.65), to zbudowana z jej pomocą krzywizna przy działaniu na wektor u ( analogiczna procedura z udziałem wzoru (1.70) niczego nie wnosi ) wyraŜa się następująco :

βµ ( R (bλ ,bµ ) u ) = Rβγ uβ pγλ = Dµµ , α pαλ - (Dβµ + Aβµ ); α pαµ pβλ – 2 εGβ Aβλ (1.72) gdzie : βµ – kowektor, odpowiadający wektorowi bµ

Nie jest to pełne wyraŜenie, zostało ono jednokrotnie zawęŜone. Dla kongruencji normalnej ( Aµν = 0 ) przechodzi ono w znane równanie Codazzi’ego (1.84).

W języku form Cartana definicja (1.64) moŜe być zapisana w następującej postaci :

du = εu ∧ G + 2A (1.73)

gdzie : G = Gαθα ; A = ½ Aαβ θα ∧ θβ . RóŜniczkując zewnętrznie (1.73) otrzymamy :

dA = ½ εu ∧ dG – εA ∧ G (1.74)

przy czym : u ∧ du = 2u ∧ A i u ∧ dA = -εu ∧ A ∧ G Z zaleŜności (1.24) wynika, Ŝe :

G = - *( u ∧ *du) (1.75)

Oraz

ω = ¼ * ( u ∧ du) = ½ * ( u ∧ A) (1.76)

gdzie :

ωα = uβ Aβ*α (1.77)

- jest wektorem aksjalnym prędkości kątowej obrotu kongruencji ( porównaj z definicją natęŜenia pola magnetycznego (2.14) ! )

Oprócz tego moŜna pokazać wyraŜenie dla 3-miarowej rotacji przyspieszenia :

Gµ ; λ = βλ ∧ βµ ≡ dG + u ∧ £uG = ε * ( u ∧ * (u ∧ dG) ) = - 2 * ( u ∧ *dA ) ≡ 2£uA (1.78) WyraŜenie to charakteryzuje zachowanie kongruencji i razem z nim istnieją inne toŜsamości róŜniczkowe, do których zalicza się w szczególności uogólnione równanie Codazzi’ego (1.72). Rzuca się w oczy częste pojawianie się pochodnej Liego, jej waŜną role moŜna podkreślić pokazując prostą zaleŜność : £uuµ = Gµ.

Posługując się wprowadzonymi wyŜej toŜsamościami, moŜna pokazać, Ŝe dla kongruencji normalnej ( kiedy obrót nie występuje ) istnieje czynnik całkujący tj. taka funkcja N, Ŝe d ( N-1u ) = 0. W obszarze o dobrych własnościach

topologicznych 1-forma ζ = N-1u jest nie tylko ale równieŜ dokładna tj. ζ dt ( chociaŜ dla większości przypadków jest to nieistotne ). Mają zatem miejsce własności normalizacji ( jeŜeli wprowadzić ξ = Nu ) ζ • ζ = N-2ε , ζ • ξ = ε. Wtedy razem z trywialną toŜsamością : £ξ ξµ = 0 spełniona jest równieŜ toŜsamość £ξ ζµ = 0, poniewaŜ rzutnik ( projektor ) posiada współczynniki :

pαβ = δα

β – ε ξα ζβ (1.79)

to jest on takŜe, stały przy róŜniczkowaniu Liego względem pola ξ

£ξ pα β = 0

W tej chwili podamy inwariantne określenie metryk : statycznych i stacjonarnych. Aby to uczynić powrócimy do wektorów Killinga, omówionych na początku tego paragrafu. Statycznymi, nazywamy takie metryki dla których istnieje normalna kongruencja Killinga, dla metryk stacjonarnych taka kongruencja powinna być nienormalną tj. powinny nie występować hiperpowierzchnie do niej ortogonalne. Określając współrzędną t, kongruencji linii która pokrywa się z kongruencją Killinga, moŜna tak wybrać skalę, Ŝe ξ = ∂t. Jak juŜ powiedzieliśmy, w przypadku omawianych typów

metryk, nie zaleŜy ona od współrzędnej t ( ∂t gµν = 0 ). JeŜeli kongruencja t jest normalna, to istnieją ortogonalne do niej hiperpowierzchnie, obrazujące jednoparametryczny zbiór, w tym przypadku pozostałe współrzędne ( ich linie) moŜemy ułoŜyć na tych hiperpowierzchniach tj. będą one ortogonalne do linii t. To oznacza, Ŝe w przypadku metryki statycznej, odpowiednio wybierając układ współrzędnych moŜemy nie tylko sprawić, Ŝe składowe tensora metrycznego będą niezaleŜne od pewnej współrzędnej ( my, nazwaliśmy ją t), ale równieŜ moŜemy wyzerować wszystkie mieszane składowe tego tensora gtλ ( { xλ } ∩ t = ∅ ). Dla metryki stacjonarnej nie moŜna jednocześnie spełnić powyŜszych warunków. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby kongruencja była normalna , zgodnie z (1.76) jest spełnienie równości : ξ ∧ dξ = 0 ( normalizacja wektora ξ nie odgrywa tutaj Ŝadnej roli ). Zwykle metryki statyczne i stacjonarne związane są z pojęciem czasu ( kongruencja t jest czasopodobna ), jednak to co powiedziano moŜemy zastosować równieŜ do dowolnych nieizotropowych kongruencji.

1.6 Geometria hiperpowierzchni.

Rozpatrzmy związek między wewnętrzną geometrią hiperpowierzchni w czasoprzestrzeni i geometrią samej czasoprzestrzeni ℵ. Niech f : ℵ1 → ℵ2 – będzie włoŜeniem trójwymiarowej rozmaitości ℵ1 w ℵ2. JeŜeli g – jest metryką na ℵ2 to odwzorowanie f indukuje na ℵ1metrykę :

f * g : ( f *g )p ( X, Y) = g f(p) ( f* X , f* Y )

Metrykę indukowaną nazywamy równieŜ “pierwszą formą fundamentalną”

Przykład [156] Niech f : ℵ1 → ℵ2 zadane jest we współrzędnych lokalnych w postaci :

( x1, x2 , x3 ) → ( y0, y1 , y2 , y3 ) = ( x1, x1, x2, x3 ) oraz gY (W, W) = (W0 )2 - (W1 )2 - (W2 )2 - (W3 )2 Wtedy metryka indukowana określona jest zaleŜnościami :

( f *g )X ( V, V) = (V2 )2 - (V3 )2 ; ( f *g )X ( U, V) = - U2 V2 - U3 V3

Skąd wynika, Ŝe forma ( f *g )X ( U, V) jest zdegenerowana ( osobliwa ) i dlatego nie określa struktury riemannowskiej na ℵ1. W takim przypadku rozmaitość f (ℵ1) nazywa się podrozmaitością izotropową w ℵ2.

RóŜnorodne moŜliwości włoŜenia moŜemy opisać z uŜyciem pojęć normalnej τ do f (ℵ1) , a konkretnie, jeŜeli g – jest metryką lorentzowską, to metryka indukowana będzie [148] :

1) lorentzowską przy g(τ, τ) < 0 2) zdegenerowaną przy g(τ, τ) = 0 3) określoną ujemnie przy g(τ, τ) > 0

Zgodnie z tą klasyfikacją rozróŜniamy hiperpowierzchnie : 1) czasopodobne

2) izotropowe ( zerowe) 3) przestrzennopodobne

Niech ℵ1 – będzie hiperpowierzchnią przestrzennopodobną. Lokalnie moŜna ją zadać równaniem t(xµ ) = const.

, tak Ŝe dt ≠ 0. Stąd wynika, Ŝe < dt ,f* X > = 0 dla dowolnego wektora X ∈ TXℵ1.

JeŜeli τ - jest wektorem jednostkowym normalnym, to dualna do niego 1-forma jest postaci τ = Ndt z warunkiem normalizacji : gαβτατβ = 1. Oczywiście , Ŝe : f *τ = 0. Z pomocą τ, na ℵ1 moŜemy określić metrykę indukowaną : b = g - τ ⊗ τ, poniewaŜ f * b = f *g oraz gαβbβστα = 0.

Za pomocą projektora : pαβ = δαβ - ξα ζβ dokonuje się rozczepienie obiektów geometrycznych na składowe normalne i styczne :

Xα = Xα- + ξα ζp Xp ; Xα- := Xλ pαλ [ porównaj z (1.79) ]

Aby określić koneksje indukowaną na ℵ1 , naleŜy zauwaŜyć, Ŝe wektor :

3∇u v := ∇u v – g( τ, ∇u v ) τ (1.80)

leŜy na przestrzeni stycznej Txℵ1 , jeŜeli u, v ∈Txℵ1 i odpowiednio po uwzględnieniu tego, Ŝe 3∇u b = 0 ( metryka indukowana jest kowariantnie stała względem 3∇ ) to (1.80) definiuje koneksje indukowana na ℵ1.

Jak łatwo zauwaŜyć (1.80) moŜna przepisać do postaci : 3∇u v = ∇u v + ( v ^• ∇u τ ) τ

Formę biliniową [ porównaj z (1.67) ] : χ ( u, v ) = v • ∇u τ

lub w zapisie współrzędnościowym :

χµν = (1/2 N) £ξ bµν (1.81)

nazywamy „drugą formą fundamentalną“ . Pokazuje ona, jak deformuje się hiperpowierzchnia f(ℵ1) względem otaczającej jej czasoprzestrzeni.

W zapisie współrzędnościowym pochodną kowariantną względem koneksji indukowanej będziemy oznaczali pionową kreską. Wtedy dla 3-wymiarowych tensorów istnieje następujący związek między 4-wymiarową i 3-wymiarową pochodną kowariantną :

Bαβ | ρ = Bσ δ ; γ pα

σ pδ β pγ

ρ Przy czym :

eµνλ | ρ = pα

β | ρ = 0 Gdzie : eµνλ = τρ

Eπµνλ – 3-wymiarowy tensor Leviego-Civity.

Z uŜyciem pojęcia koneksji indukowanej operator 3-wymiarowej krzywizny określamy tak :

3R (u, v ) = 3∇u 3∇v − 3∇v3∇u − 3∇ [ u, v] (1.82)

Związek między tensorem krzywizny wewnętrznej 3Rαβγδ i tensorem krzywizny Rα

βγδ ustanawiamy za pomocą równania Gaussa [ porównaj z (1.71) ] :

3Rαβγδ = Rα- β- γ- δ- + χα

γ χβδ −χα

δ χβγ (1.83)

Krzywizna zewnętrzna związana jest z 4-wymiarowym tensorem krzywizny poprzez równania Codazzi’ego : χα

ν | α - χα

α | ν = − Rν- α τα (1.84)

Wykorzystując związek alternowanych pochodnych kowariantnych wektora τ z tensorem krzywizny, otrzymujemy : Rνµ- ν- β τα τβ = (1/N) £ξ χµν − χµσ χσ

ν − Gµ | ν + GµGν (1.85)

Gdzie : Gµ = - ( lnN ) , µ- = τµ ; ρτσ

; ξ = Nτ Z zaleŜności tych wynika :

R = 3R + 2Rαβ τατβ− χαβ χαβ + χ2

(1.86)

Lub :

R = 3R + χαβ χαβ

+ χ2 + (2/N) £ξ χ − 2Gµ; µ (1.87)

Przykład. Współrzędne synchroniczne. Niech włoŜenie hiperpowierzchni Σt w czasoprzestrzeń ℵ opisane będzie równaniem : t = x0 = const. a współrzędne xj będą wewnętrznymi. Wtedy :

ds2 = dt2 + gij dxi dxj Stąd wnioskujemy, Ŝe : τµ = δ0

µ , N =1 a rzutnik dany jest następująco : pµ ν = δµ

ν – δµ 0 δ0

ν.

Zgodnie z definicją metryki indukowanej : bij = gij oraz b0i = b00 = 0. PoniewaŜ czynnik normujący N jest równy jeden , to wektor G = 0, to oznacza, Ŝe układ odniesienia w sposób naturalny związany jest z synchronicznym układem

współrzędnych określonym kongruencją geodezyjną a czas t pokrywa się z czasem własnym obserwatora.

Pochodna Liego w tym przypadku wygląda prosto : £ξ = ∂t. Po uwzględnieniu specyfiki współrzędnych synchronicznych :

χij = Γ0ij £ξ bij ≡ ½ b^•ij R0ij0 = χ^•ij − χip χp

j R = 3R + χij χij

+ χ2 + 2χ^•

Współrzędne synchroniczne są przypadkiem szczególnym normalnych współrzędnych Gaussa [123]. Są one osobliwe w tym sensie, Ŝe normalne do hiperpowierzchni Σt w przyszłości będą się przecinały. Jest to spowodowane ogniskującym działaniem równań Einsteina. W przypadku kiedy kongruencja normalna nie jest geodezyjna ( N ≠ 1), z przekrojami Σt związany jest kinemetrycznie inwariantny układ odniesienia [ 18, 44]

W poprzednim paragrafie sformułowaliśmy twierdzenie Stokesa dla dowolnej rozmaitości. W przypadku hiperpowierzchni ℵ1 ⊂ℵ2 całkowe twierdzenia typu Gaussa-Stokesa mają postać :

∫

∫

U ∂U

∫

∫

ω ∂ω

gdzie : U⊂ ℵ1 – 3-wymiarowy obszar , ω ⊂ ℵ2 – 2-wymiarowa powierzchnia,