II sem. Ćw. 13: CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA Przykład 1.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną
L
yzdx
xzdy
xydz
po łuku L ,
gdzie L jest a) odcinkiem skierowanym od punktu (1,1,1) do punktu (1,2,4);
b) łukiem krzywej o równaniu x
1, z
y
2skierowany od punktu (1,1,1) do punktu (1,2,4).
Przykład 2.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną ( )
L
xy dx
x y dy
po łuku L,
gdzie
a)
Lbrzeg trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1,0), (0,1), (1,1), (1,0);
b)
Lłuk paraboli o równaniu y
1 x x
2,
[0,1], skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1);
c)
Lbrzeg obszaru położonego w I ćwiartce układu współrzędnych i ograniczonego okręgiem x
2 y
2 1 zorientowany dodatnio
;d)
Lbrzeg kwadratu
D
( , )x y 2: x y 1 zorientowany ujemnie.
e)*L łuk cosinusoidy cos , [0,1], 2
y x x
skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1).
Sprawdzić otrzymane wyniki w przypadku a), c), d) wykorzystując twierdzenie Greena.
Przykład 3.Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F
( ,1) x po łuku
Lskierowanym dodatnio, gdzie L x :
2cos , t y
3sin , t t
[0,2 ], jest elipsą o środku (0,0) i półosiach 2, 3.
Praca domowa
Przykład 1.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną ( ) ( )
L
x y dx x y dy
po łuku L, gdziea) L odcinek skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1);
b) L łuk paraboli o równaniu y 1 x2,x[0,1], skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1).
Przykład 2.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną
L
dxzdy ydz
po łuku L, gdziea) L odcinek skierowany od punktu (1, 2,3) do punktu (3,3,3);
b) L łuk linii śrubowej
cos ,
sin , [0, 2 ], ,
x t
y t t
z t
skierowany od punktu (1,0, 2 ) do punktu
(1,0,0).
Przykład 3. Obliczyć całkę ( ) ( )
L
xy dx x y dy
po łuku L, gdzie L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1), (1,0). Sprawdzićotrzymany wynik wykorzystując twierdzenie Greena.
Przykład 4.Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (1, , )z y po łuku L, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0).
