Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 13 13. CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA

(1)

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 13 13. CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA

13.1. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorientowanych.

13.2. Nektóre zastosowania całek krzywoliniowych zorientowanych.

13.3. Jednolite podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych.

13.1. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorientowanych 13A1Definicja(pole skalarne i wektorowe)

Jeżeli w obszarze D na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest określona funkcja liczbowa ( )

uu M lub wektorowa F F M( ), gdzie MD,to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne ( )u M u r( )lub wektorowe (F M)F r( ), gdzie r OM.

Będziemy takżepisali: uu x y F( , ), F x y( , )( ( , ), ( , ))P x y Q x y dla ( , )x y  D ² (płaszczyzna) lub uu x y z F( , , ), ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))P x y z Q x y z R x y z dla ( , , )x y z  D R³ (przestrzeń).

13A2 Definicja (łuk zorientowany)

Łuk niezamknięty   AB, na którym ustalono początek A i koniec B (tzn. kierunek), nazywamy łukiem zorientowanym (skierowanym). Łuk zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku   AB

oznaczamy przez BA .

13A3Definicja(całka krzywoliniowa zorientowana)

(2)

Niech F ( ( , ), ( , ))P x y Q x y będzie polem wektorowym na łuku zorientowanymL gdzie, L AB 2. Wprowadzamy oznaczenia: P{M₀  A M, ₁,...,M_n B} podział łuku L :

1 2 ... _n;

LL L  L L_i M M_i_₁ _i, M x y_i( , )_i _i L,   x_i x_i x_i_₁,  y_i y_i y_i_₁,punkt pośredni M_i^*( , ) _i _i L_i, i1,2,..., ;n ( )P max{x₁,...,x_n}średnica podziału P .

Całkę krzywoliniową zorientowaną (skierowaną) z pola wektorowego F ( , )P Q po łuku L AB definiujemy wzorem

( ) 0 1

( , ) ( , ) lim ( ( , ) ( , ) )

n

i i i i i i

P i

L

P x y dx Q x y dy P x Q y

    

 

 



  



o ile granica po prawej stronie istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P ani od sposobu wyboru punktów pośrednich.

Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego ( , , )

F  P Q R po łuku L AB położonym w przestrzeni:

( , , ) ( , , ) ( , , ) lub krótko

L L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Pdx Qdy Rdz

 

^,

lub w zapisie wektorowym ( ) ,

L

F r dr



^gdzie^dr ^⁽^{dx dy}^, ⁾(płaszczyzna) lub dr (dx dy dz, , )(przestrzeń).

13A+B4 Definicja (własności calek krzywoliniowych zorientowanych) 4.1.Addytywność(całka krzywoliniowa po sumie łuków skierowanych):

Niech łuk skierowany L będzie sumą łuków skierowanych L L₁, ₂, ,L przy czym _m koniec łuku L jest początkiem łuku _k L_k_₁, gdzie k1,...,m1. Ponadto niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku L. Wtedy całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego F po łuku L określamy wzorem

1 2

.

L L L Lm

F d r  F d r  F d r   F d r

   

o ile całki po prawej stronie równości istnieją.

4.2.Liniowość: jeżeli istnieją całki z pól wektorowych F F, ₁ i F po kawałkami ₂, gładkim łukuL to

x y

xi 1

xi_

yi

1

yi_

O

xi



B

A yi

 Lⁱ

Mi

1

Mi_

 

* ,

i i i

M  

(3)

1 2 1 2

( ) , ( ) , gdzie .

L L L L L

F F d r  F d r  F d r cF d r c F d r c

    

4.2. Jeżeli L jest łukiem przeciwnie zorientowanym do L, to .

L L

F d r F d r





 



Całkę krzywoliniową zorientowaną obliczamy sprowadzając do całki pojedynczej.

13A5Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą)

Niech pole wektorowe F F r( ) będzie ciągłe na łuku gładkimL AB:r r t( ),

0 1

( ) 0, [ , ],

r t  t t t którego orientacja jest zgodna z jego parametryzacją:r t( )₀ początek ,

A r t( )₁ koniec .B Wtedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej:

1

0

( ( )) ( )

t

L t

F d r  F r t d r t

 

czyli ¹

 

0

( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ,

t

L t

P x y dxQ x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

 

^gdzie

0 0 1 1

( ( ), ( )), ( ( ), ( ))

A x t y t B x t y t (płaszczyzna) lub ( , , ) ( , , ) ( , , )

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz 



 

1

0

( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ,

t

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt



^gdzie

0 0 0 1 1 1

( ( ), ( ), ( )), ( ( ), ( ), ( ))

A x t y t z t B x t y t z t (przestrzeń).

13A6Przykład. Obliczyć całkę krzywoliniową z pola wektorowego

( , , ) ( , , )

F x y z  xy yz zx po łuku

cos , : sin ,

1,

x t

L AB y t

z

 

  

 



gdzie A(1,0,1) gdzie B(0,1,1).

Rozwiązanie: ²

 

0

cos sin ( sin ) sin cos 0

L

xydx yzdy zxdz t t t t t dt



      

 

2 2 3 2 2

0 0

1 1 1 1 1

sin (sin ) sin (sin ) sin sin .

3 2 3 2 6

t d t t d t t t

 

 

          



 

  

13A7Uwaga

Jeżeli łuk skierowany na płaszczyźnie jest zamknięty, to wtedy piszemy ...

L



^lub ^...

L



albo ...

L



13A8Definicja (znak orientacji)

Niech L będzie kawałkami gładkim łukiem (bez samo przecięć) na płaszczyźnie, tzn.

krzywą Jordana. Mówimy, że orientacja łuku L jest dodatnia (Rys. a)) względem swego

(4)

wnętrza D, gdy podczas ruchu po łuku  w kierunku jego orientacji obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku(Rys. b)) mówimy, że orientacja łuku jest ujemna.

13A+B9Twierdzenie(wzór Greena)

Jeżeli pole wektorowe F ( , )P Q (tzn. funkcje ,P Q ) będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D ²domkniętym i normalnym względem obu osi układu, przy czym brzeg L tego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza obszaru (tzn.

przy „chodzeniu” po brzegu obszaru lewa ręka jest w środku zamkniętego łuku L ), to

( , ) ( , ) .

L D

Q P

P x y dx Q x y dy dxdy

x y

  

      

 

13A+B10Wniosek(niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania)

Jeżeli funkcje ( , ) iP x y Q x y są klasy ( , ) C w obszarze jednospójnym ¹ D ²oraz w tym obszarze spełniony jest warunek Q P

x y

 

   , to dla dowolnego łuku L AB D całka krzywoliniowa skierowana ( , ) ( , )

L

P x y dxQ x y dy



nie zależy od kształtu tego łuku,

a zależy tylko od punktów A i B , i na odwrót: jeżeli w obszarze D ²całka

L

PdxQdy



nie zależy od kształtu łuku AB, a zależy tylko od jego końców dla dowolnego łuku ABD, to w tym obszarze zachodzi równość Q P

x y

 

   .

13A11Przykład. Obliczyć podane całki krzywoliniowe po podanych łukach:

11.1) ² ² ,

L

xy dxx ydy



gdzie L brzeg prostokąta ograniczonego liniami

1, 5, 0, 2

x x y y zorientowany dodatnio;

11.2) ² ² ,

L

y dxx dy



gdzie L brzeg obszaru ograniczonego wykresami funkcji:

2,

yx x y²zorientowany ujemnie.

Rozwiązanie11.1:

a) Z definicji: L jest łukiem złożonym z łuków gładkich L L L L₁, ₂, ₃, ₄, gdzie L1  AB odcinek o początku (1,0) i końcu (5,0) i równaniu y y x( )0,x[1,5];

L2 BD odcinek o początku (5,0) i końcu (5,2) i równaniu x x y( )5, y[0,2];

x x

y y

L L

O O

)

a á)

(5)

L3 DC odcinek o początku (5,2) i końcu (1, 2) i równaniu y y x( )2;

L4 CA odcinek o początku (1, 2) i końcu (1,0) i równaniu xx y( ) 1;

1

5

2 2 2

1

0 0 0;

L

xy dxx ydy x dxx 

 

2

2 2 2

2 2 2 2

0 0

5 0 5 25 25 2 50;

0

L 2

xy dxx ydy y  ydy  ydy   y 

  

3

1 1 2

2 2 2 2

5 5

2 2 0 4 4 1 48;

5

L 2

xy dxx ydy x dxx   xdx  x  

  

4

0 0 2

2 2 2

2 2

0 0 2.

2

L 2

xy dxx ydy y ydy  ydy  y  

  

Wtedy

1 1 1 1

2 2

... ... ... ... 0 50 48 2 0.

L L L L L

xy dxx ydy        

    

b)Korzystając z twierdzenia 13A+B9 Greena, mamy:

 

2 2

2 2 ( ) ( )

2 2 0 0.

L D D D

x y xy

xy dx x ydy dxdy xy xy dxdy dxdy

x y

  

          

   

Rozwiązanie 11.2. Korzystając z twierdzenia 13A+B9 Greena, mamy:

 

2

2 2 ( ) ( )

2 1

L L D D

x y

ydx x dy ydx x dy dxdy x dxdy

x y



   

               

   

     

2

1 1 1

3 2

2

0 0 0

4 1 2 1 19

2 1 2 2 2 .

5 2 3 3 30

x

dx x dy xy y xdx x x x x x dx

   x          

   

13A+B12 Definicja (pole potencjalne, potencjał)

Pole wektorowe F F r( ) określone na obszarze D nazywamy potencjalnym, gdy istnieje funkcja U U r( ) taka, że

( ) grad U( )

F r  r na obszarze D

czyli ( , ) ( , )

( , ) U x y , ( , ) U x y

P x y Q x y

x y

 

 

  dla pola F r^{( )}



P x y Q x y( , ), ( , )



na płaszczyźnie: ( , )x y  D ²; dla pola F r^{( )}



P x y z Q x y z R x y z( , , ), ( , , ), ( , , )



w przestrzeni mamy:

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) U x y z , ( , , ) U x y z , ( , , ) U x y z ,

P x y z Q x y z R x y z

x y z

  

  

  

gdzie ( , , )x y z  D ³.

Funkcję U nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego F . 13A+B13 Twierdzenie (całka krzywoliniowa w polu potencjalnym)

Całka zorientowana w polu ( ) grad U( )F r  r potencjalnym ciągłym na obszarze D po łuku L AB dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim o początku A i końcu ,B całkowicie zawartym w obszarze D , ma postać

(6)

( ) ( ) ( )

L

F r dr U B U A



nie zależy od drogi L AB i jest równa róznicy potencjalów na końcu B i na początku A tej drogi, w szczególności,

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

L

P x y dxQ x y dy U x y U x y



^po^L^ ^AB^ ²^,^gdzie^{A x y}^{( ,}⁰ ⁰^{), ( , );}^{B x y}

lub ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ,₀ ₀, ₀)

L

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz U x y z U x y z



^po^L^ ^AB^ ³^,

gdzieA x y z( ,₀ ₀, ₀), ( , , ).B x y z

Stąd otszymamy wzór^* na obliczanie potenciału: ( ) ( ) .

AB

U B 



F r dr 13A+B14 Przykład. Obliczyć całkę

L

ydxxdy



jeżeli łuk L jest a) odcinkiem skierowanym od punktu (0,0) do punktu (1,1);

b) łukiem paraboliyx x², [0,1], s początkiem (0,0) i końcem (1,1);

c) LL₁L₂, gdzie L₁ odcinek od (0,0) do (0,1) oraz L2 odcinek od (0,1) do (1,1).

1

0 1 Rozwiązanie.

a) Korzystając z parametryzacji :L yx x, [0,1],mamy

1

2

0

2 1 1;

L 0

ydxxdy xdx x 

 

b) Korzystając z parametryzacji L y: x x², [0,1], mamy

1

2 3

0

3 1 1;

L 0

ydxxdy x dx x 

 

c) Korzystając z parametryzacji L y₁: 0, x[0,1], oraz L₂:x1, y[0,1],mamy:

1 2

1 1

0 0

0 0, 1 1 1;

L L 0

ydxxdy dx ydxxdy dy y  

   

1 2

0 1 1.

L L L

ydxxdy ydxxdy ydxxdy  

  

d) Całka w polu potencjalnym, potencjał U xy 

 

^(1,1) ^{1 0 1.}

(0,0)

L

ydxxdy xy   



(7)

13A15 Definicja (cyrkulacja pola wektorowego)

Cyrkulacją pola wektorowego F F r( ) po łuku zamkniętym zorientowanym L nazywamy całkę krzywoliniową zorientowaną ( ) .

L

F r dr



13A16Przykład.Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F ( ,1)x po łuku dodatnio zorientowanym L który jest okręgiem o środku w (0,0) i promieniu 1.

Rozwiązanie. Korzystając z parametryzacji :L xcos ,t ysin ,t t[0,2 ], mamy

 

2

0

cos ( sin ) cos ...

L

xdx dy t t t dt



    

 

13B17 Definicja (rotacja pola wektorowego)

Rotacją rot F pola wektorowego F ( , , )P Q R , różniczkowalnego w sposób ciągły na obszarze D ³, nazywamy pole wektoroweokreślone wzorem

rot .

i j k

R Q R P Q P

F i j k

x y z y z x z x y

P Q R

   

         

                

13B18 Przykład. Rotacja pola wektorowegoF (y² z², 2yz,x²) ma postać:

rotF  ( 2 , 2y x2 , 2 ).z  y

13B19Fakt(kryterium potencjalności pola wektorowego)

Pole wektorowe F jest potencjalne na obszarze jednosspójnym w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy rotF 0 na tym obszarze.

13B20 Uwaga

Twierdzenie 13A+B9 oraz wzór Greena zostaje prawdziwy dla obszaru wielospójnego D ,który można podzielić na skończoną liczbę k obszarów normalnych względem osi Ox i Oy, nie mających wspólnych punktów wewnętrznych, przy czym krzywa L jest sumą krzywych

1, , _k

L L stanowiących brzeg tego obszaru i skierowanych dodatnio.

13.2. Nektóre zastosowania całek krzywoliniowych zorientowanych

13B21 Fakt (zastosowania w geometrii)

Pole obszaru D ² ograniczonego łukiem L zamkniętym kawałkami gładkim dodatnio zorientowanym wzgłędem obszaru D wyraża się wzorami:

1 .

L L 2L

D 



xdy  



ydx



xdyydx

13A+B22 Przykład. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego łukiem

3 3

cos ,

: [0, 2 ], 0.

cos ,

x a t

L t a

y a t 

   

 



Rozwiązanie:

2

2 4 2 2 2 4 2

0

1 3

(3 cos sin 3 cos sin )

2_L 2

D xdy ydx a t t a t t dt a







 



  

(8)

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 0

3 3 3 1 2 3

cos sin sin 2 (1 cos 4 ) sin 4 .

8 16 16 4 0 8

a a a

t t dt a t dt t dt t t

            

  

13A+B23 Fakt (zastosowania w fizyce)

23.1. Praca W w polu wektorowym F F r( ) wzdłuż łuku zorientwanego L AB od punktu początkowego A do punktu końcowego B wyraża się wzorem

( )

L

W 



F r dr

czyli ( , ) ( , )

L

W 



P x y dx Q x y dy ^{po łuku}L na płaszczyźnie lub ( , , ) ( , , ) ( , , )

L

W 



P x y z dxQ x y z dyR x y z dz^{po łuku}L w przestrzeni.

23.2. Praca w polu potencjalnym F F r( )grad ( )U r wzdłuż łuku

zorientwanego kawałkami gładkiego L AB od punktu A do B wyraża się wzorem

( ) ( ) ( )

L

W 



F r dr U B U A , gdzie U jest potencjałem tego pola.

Interpretacja fizyczna: praca sił F gradU x y( , ) wzdłuż drogi AB jest równa różnicy potencjałów na końcu i na początku tej drogi (nie zależy od kształtu drogi).

13A+B24 Przykład. Obliczyć pracę jaką wykonamy w polu wektorowym

1 ( , ) i 2 ( , )

F  xy x y F  x y x y wzdłuż łuku L AB od A do B , jeżeli:

a) L odcinek skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1);

b) L łuk okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 1 przebieganym w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara;

c) L brzeg kwadratu ^D ^



^{( , )}^{x y} ^ ²^: ^x ^ ^y ^¹



zorientowany dodatnio.

13.3. Jednolite podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych

W zależności od rodzaju sum całkowych zdefiniuwaliśmy dwa rodzaje całek krzywoliniowych: całkę I rodaju (względem długości) całkę nieskierowaną (niezorientowaną) oraz całkę II rodzaju (względem współrzędnych) całkę skierowaną (zorientowaną). Takie podejście jest bardzo znane (zobacz „Elementy Analizy Wektorowej” M. Gewert, Z. Skoczylas).

Poniżej na przykładzie płaszczyzny Oxy będziemy równolegle rozpatrywać całki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane w jednolitym podejściu ze względu na definicje, obliczania oraz analiza zastosowań.

13A+B25 Uwaga (całka krzywoliniowa na płaszczyźnie) 25.1.Całka nieskierowana25.2.Całka skierowana

Mamy:

a)Łuk zwykły L D ²a) Łuk skierowanyL AB D ²

( L nie jest skierowany: nie ( A jest początkiem, B jest końcem, nadajemy początku i końca) AB BA)

(9)

W obszarze D jest określone

b) pole skalarneuu M( )u x y( , ),b)pole wektoroweF F x y( , ) na przykład pole masy ( ( , ), ( , )),P x y Q x y na przykład pole siły ( ( , )u x y jest gęstością liniową (wektor F określa siłę ( , )F x y w punkcie ( , )x y )w punkcie ( , )x y )

Wprowadzimy element łuku c) element skalarnyc) element wektorowy

2 2

( ) ( )

dl  dx  dy dl   dl e_ (dx dy, )dr

(tutaj e_ (cos ,cos )  jest wersorem stycznej w punkcie ( , )x y ,

cos ,

dx dl dysindl,r ( , )x y ) Badamy problem obliczania

d)masyM_L M łuku L d)pracyW siły F wzdłuż łuku L

Rozważmy elementarny łuk nieskierowany L o długości l i odpowiednio łuk L

skierowany. Wtedy elementarna masa M  L oraz elementarna praca W siły F wzdłuż łuku L spełniają równość:

e) M u x y( , )   l o( l),e) W P x y( , )  x Q x y( , )   y o( l), gdy  l 0 gdy  l 0

Przechodzimy do różniczek masy i pracy, wtedy otrzymamy

f)dM u x y dl( , ) f)dW F r( ) dr P x y dx Q x y dy( , )  ( , )

Całkując wzdłuż łuku L , dochodzimy do

g) ( , )

L

M 



u x y dl^g) ^{( )} ^{( , )} ^{( , )}

AB AB

W 



F r dr 



P x y dxQ x y dy

całka nieskierowana(masa łuku całka skierowana (praca W siły F materialnego L o gęstości uu x y( , )) wzdłuż łuku L AB) Stąd otrzymujemy

13B26 Uwaga (zależność między całkami krzywoliniowymi)

 

( ) ( , ) ( , ) ( , ) cos ( , ) ( , ) cos ( , ) ,

L L L

F r dr  P x y dxQ x y dy P x y  x y Q x y  x y dl

  

gdzie ( , ) x y , ( , ) x y oznaczają kąty między wektorem stycznym e_do łuku L w punkcie ( , )x y L a dodatnimi częściami odpowiednio osi Ox Oy, (zakładamy, że zwrot wektora e_ jest zgodny z orientacją łuku L ).

13A+B27Twierdzenie(o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną)

Niech łuk gładki L jest określony parametrycznie L x: x t( ), y  y t( ), t[ , ],t t₀ ₁ gdzie



^{x t}^{'( )}

 

² ^ ^{y t}^{'( )}



² ^⁰^dlat( , ).t t0 1 Wtedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej:

a) ¹

   

0

2 2

( ) ( )

( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ,

t

x x t

L t

y y t

u x y dl u x t y t x t y t dt



  



 

^gdzie^t⁰ ^^t¹

(10)

dla całki krzywoliniowej nieskierowanej oraz

b) ¹

 

( ) 0

( )

( , ) ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ,

t

x x t

L t

y y t

P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt



 







 

^gdzie

L AB oraz A( ( ), ( ))x t₀ y t₀ i B( ( ), ( ))x t₁ y t₁ dla całki krzywoliniowej skierowanej.

13A+B28 Uwaga (własności całek)

Własności całek krzywoliniowych są analogiczne do odpowiednich własności całki oznaczonej, w szczególności zachodzą bardzo ważne własności liniowości i

addytywności całek krzywoliniowych, przy obliczaniu całki nieskierowanej dla funkcji jednostkowej otrzymujemy długość łuku: ,

L

dl  L mes L



przy zamianie kierunku łuku L na przeciwny L całka skierowana też zmienia znak na przeciwny

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

L L

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy



   

 

, itd. Stąd wynika, że całka

skierowana bardziej podobna do całki oznaczonej w tym czasie jak całka nieskierowana bardziej podobna do całki wielokrotnej.

Praca domowa

Przykład 1.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną ( ) ( )

L

xy dx x y dy



^{po łuku}^L^{, gdzie}

a) L odcinek skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1);

b) L łuk paraboli o równaniu y 1 x²,x[0,1], skierowany od punktu (1,0) do punktu (0,1).

Przykład 2.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną

L

dxzdyydz



^{po łuku}^L^{, gdzie}

a) L odcinek skierowany od punktu (1, 2,3) do punktu (3,3,3);

b) L łuk linii śrubowej

cos ,

sin , [0, 2 ], ,

x t

y t t

z t



 

  

 



skierowany od punktu (1,0, 2 ) do punktu

(1,0,0).

Przykład 3. Obliczyć całkę ( ) ( )

L

xy dx x y dy



^{po łuku}^L^,gdzie^L jest brzegiem kwadratu o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1,0), (0,1), ( 1,0), (0, 1), (1,0).  Sprawdzić otrzymany wynik wykorzystując twierdzenie Greena.

Przykład 4.Obliczyć cyrkulację pola wektorowego F (1, , )z y po łuku L, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach przebieganych w kolejności (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0).