II sem. Ćw. 15: CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
Przykład 1. Obliczyć bezpośrednio z definicji (sprowadzając do całki podwójnej) całkę powierzchniową z pola wektorowego
F (
yz xz xy, , ) po zewnętrznej stronie powierzchni
obszaru, ograniczonego płaszczyznami
x 0,
x 1,
y 0,
y 1,
z oraz górnej części 0 sfery
z 2x2 y2, jeżeli
z 0. Sprawdzić otrzymany wynik obliczając tę całkę przy pomocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego.
Praca domowa z całek powierzchniowych zorientowanych
Korzystając z twierdzenia 14A+B31 Gaussa-Ostrogradskiego oraz bezpośrednio obliczyć strumień pola wektorowego F (xz xy yz, , ) przez zewnętrzną stroną powierzchni , gdzie
jest złożona z powierzchni bocznej walca x2 y2 oraz płaszczyzn 1 z0, z 2.
Wskazówka. Ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego:
2 1 2
0 0 0
( ) ( cos sin )
G
xzdydz xydxdz yzdxdy z x y dxdydz d rdr z r r dz
...2 .
Z definicji bezpośrednio: płat jest złożony z płatów
2 2
1 1
2 2
2 2
2
3 3
2
4 4
: ( , ) 0, gdzie 1 (dolna podstawa walca);
: ( , ) 1, gdzie 1 (górna podstawa walca);
: ( , ) 1 , gdzie 1 1, 0 2);
: ( , ) 1 , gdzie 1 1, 0 2).
z f x y x y
y f x z x y
x f y z y y z
x f y z y y z
Mamy zatem
1 2 3 4
... ... ... ... ... 2 .
xzdydz xydxdz yzdxdy
Przykład 1 (rozwiązanie). Kawałkami gładki płat jest złożony z płatów gładkich:
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
2
4 4 4
: ( , ) 0, gdzie ( , ) {( , ) : 0 1, 0 1};
: ( , ) 0, gdzie ( , ) {( , ) : 0 2 , 0 1};
: ( , ) 0, gdzie ( , ) {( , ) : 0 2 , 0 1};
: ( , ) 1, gdzie ( , ) {( , ) : 0 1 , 0
z f x y x y D x y x y
y f x z x z D x z z x x
x f y z y z D y z z y y
x f y z y z D y z z y
2
5 5 5
2 2
6 6 1
1};
: ( , ) 1, gdzie ( , ) {( , ) : 0 1 , 0 1};
: ( , ) 2 , gdzie ( , ) {( , ) : 0 1, 0 1}.
y
y f x z x z D x z z x x
z f x y x y x y D x y x y
Korzystając ze wzoru na zamianę całki powierzchniowej zorientowanej na całkę niezorientowaną i dalej na zamianę całki powierzchniowej na całkę podwójną otrzymamy:
1 1 1 1
0, 0, 0, (0,0, 1)
0 0 ( 1) 1 0
x y
z z z
n D
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dS xy dxdy
1 1 2 2
0 0
1 1
0 ;
2 2 4
x y
xdx ydy
2 2 2 2
0, 0, 0, (0, 1,0)
0 ( 1) 0 1 0
x z
y y y
n D
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dS xz dxdz
1 2 2 1 2 2 1 4
2 2
0 0 0 0
1 1 1 3
2 (2 ) ;
0
2 0 2 2 4 8
x z x x
xdx zdz x dx x x dx x
3 3 3
3
0, 0, 0, ( 1,0,0)
( 1) 0 0 1 0
y z
x x x
n D
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dS yz dydz
2 2
1 1 2 2 1 4
2 2
0 0 0 0
1 1 1 3
2 (2 ) ;
2 0 2 2 4 0 8
y z y y
ydy zdz y dy y y dy y
4 3 4 4
1, 0, 0, (1,0,0)
1 0 0 1 0
y z
x x x
n D
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dS yz dydz
1 2
1 1 2 2 1 2 4
2
0 0 0 0
1 1 1 1
1 (1 ) ;
0
2 0 2 2 2 4 8
y z y y y
ydy zdz y dy y y dy
5 2 5 5
1, 0, 0, (0,1,0)
0 1 0 1 0
x z
y y y
n D
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dS xz dxdz
1 1 2 1 2 2 1 2 4
2
0 0 0 0
1 1 1 1
1 (1 ) ;
0
2 0 2 2 2 4 8
x z x x x
xdx zdz x dx x x dx
6
2 2 2 2
6
1 1
2 2 2 2
2 2 6
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 , , , 1 , , 2
2
1 2
2 1 ( ) ( )
2 2
3 2
2 3
2 2
x y
x x y y x y
x y
D D
yzdydz xzdxdz xydxdy
z x y z z n x y x y
yz x xz y xy x y dS dS z z dxdy dxdy
x y
xy x y dxdy xydxdy
x y
1 1 2 20 0
1 3
3 3 .
0
2 2 4
x y
xdx ydy
Korzystając z addytywności całki powierzchniowej zorientowanej względem obszaru całkowania otrzymamy zatem:
1 2
3 4 5
6
1 3 3 1 1 3
4 8 8 8 8 4 0.
yzdydz xzdxdz xydxdy yzdydz xzdxdz xydxdy yzdydz xzdxdz xydxdy
yzdydz xzdxdz xydxdy yzdydz xzdxdz xydxdy yzdydz xzdxdz xydxdy
yzdydz xzdxdz xydxdy
S drugiej strony, stosując twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego, otrzymamy:
( ) ( ) ( ) 0 0.
G G
yzdydz xzdxdz xydxdy yz xz xy dxdydz dxdydz
x y z
