II sem. Ćw. 12: CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIEZORIENTOWANA Przykład 1.Obliczyć długość łuków o wskazanych parametryzacjach:
3 3
2cos , ,
a) : [0, 2 ]; b) : 2 , [0, 2].
2sin ,
3 , x t
x t
t y t t
x t
z t
Przykład 2.Obliczyć podane całkę krzywoliniową
2 2
dl
x y
po wskazanych łukach:a) odcinek łączący punkty (0,0), (1,2);
b) brzeg trójkąta o wierzchołkach (1,0), (0,1), (1,1);
c) brzeg kwadratu o wierzchołkach (0,0), (1,0), (0,1), (1,1).
Przykład 3.Obliczyć podane całkę krzywoliniową
2 2
dl
x y
po wskazanych łukach:a) łuk o równaniu y2 x3i gęstości ( , )x y 49xłączący punkty (0,0), (1,1);
b) łuk o parametryzacji
3cos ,
3sin , [0, 2 ], 3 ,
x t
y t t
z t
i gęstości 1 .
2
Przykład 4.Obliczyć współrzędne środka masy łuku materialnego o równaniu
2 3
9y 4x i gęstości 1
( , ) x y 1
x
łączącego punkty (0,0), (9,18).
Praca domowa
1. Obliczyć długość łuków o wskazanych parametryzacjach:
*
cos , 1 ,
a) : [0,1]; b) : sin , [0, 2 ]; c) : ln , [1, ].
1 ,
,
x t
x t
t y t t y x x e
x t
z t
2. Obliczyć podane całkę krzywoliniową
2 2
1 dl
x y
po wskazanych łukach:a) odcinek łączący punkty (0,0), (1, 2);
b) brzeg trójkąta o wierzchołkach (1,0), (0,1), (1,1);
c) kwadrat o wierzchołkach (0,0), (1,0), (0,1), (1,1).
3. Obliczyć współrzędne środka masy łuku materialnego , gdzie okrąg o środku (0,2) i promieniu R=2, jeżeli gęstość liniowa masy w punkcie ( , )x y tego okręgu jest równa
( , )x y y.
Odpowiedzi: 3b) 83
Praca domowa: 2a)ln( 5 6); 3: M 8 , My 0,Mx 24 , xC 0, yC 3.
