II sem. Ćw. 14

II sem. Ćw. 14: CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Przykład 1. Obliczyć całkę powierzchniową z funkcji ( , , ) 8 f x y z  z  po płacie 2  powierzchnia (paraboloidy obrotowej) z  x

 y

odcięta płaszczyznami z  0 i z  1.

Przykład 2. Obliczyć pole części  stożka x

 y

 z

 zawartej między 0 płaszczyznami z  1i z  2.

Przykład 3. Obliczyć masę części sfery materialnej  o równaniu

i gęstości   zawartej między płaszczyznami z x  0, y  0, x  2, y  2.

Praca domowa z całek powierzchniowych niezorientowanych

Obliczyć pole, masę oraz położenie środka masy jednorodnego płata  materialnego, gdzie  część płaszczyzny z x odcięta przez płaszczyzne x y 1, y0,z 0.

Rozwiązanie. Płat  jest wykresem funkcji z x , gdzie ( , )x y D_xy {( , )x y  2: 0  y 1 x x, [0,1]} (zobacz rysunek).

Rys.: Powierzchnia  oraz jej rzut na płaszczyznę Oxy Mamy zatem:z_x 1,z_y  0 dS  1 ( ) z_x ²(z_y)²dxdy 2dxdy.

Obliczamy pole

1 1

0 0

2 2 ... 2.

xy 2

x

D

S dS dxdy dx dy







  





 

Obliczamy masę

const

2 ... 2.

xy 2

D

m dS dxdy



  

 









Obliczamy współrzędne środka masy:

1 1 1 1 1 1

... , ... , ... .

3 3 3

C C C

x x dS y y dS z z dS

m  m  m 

     









x

y z

1

1

y

1

O 1 x

Dx y