styczeń 3 - całki niewłaściwe Zadanie 1. Zbadać zbieżność całek (a > 0):

(1)

Analiza I R

styczeń 3 - całki niewłaściwe Zadanie 1. Zbadać zbieżność całek (a > 0):

(a)

Z a 0

x

^µ

dx (b)

Z ∞ a

x

^µ

dx, (c)

Z ∞ 0

x

^µ

dx, (d)

Z ∞ a

x

⁽⁻¹⁾

(log x)

^µ

dx w zależności od µ ∈ R.

Zadanie 2. Zbadać zbieżność całek:

(a)

Z ∞ 0

sin

²

xdx, (b)

Z 1 0

log xdx, (c)

Z ∞ e²

dx x log log x

Zadanie 3. Obliczyć całkę

Z ∞ 0

log x

a

²

+ x

²

dx. Wsk. Wykazać, że

Z 1 0

log x

1 + x

²

dx = −

Z ∞ 1

log x 1 + x

²

dx.

Zadanie 4. Zbadać zbieżność całek (a)

Z 1 0

1 x sin

²

1 x dx, (b)

Z ∞ 0

e

⁻

√x

dx, (c)

Z ∞ 0

x arc tg x

√

3

1 + x

⁴

dx, (d)

Z 1 0

dx e

^√^x

− 1 .

Zadanie 5. Zbadać (w zależności od p, q ∈ R) zbieżność całki niewłaściwej:

(a)

Z 1 0

(1 − x)

^p

e

⁻^{log x}¹

dx (b)

Z 1//e 0

dx x

^p

| log x|

^q

(c)

Z 1 0

dx

| log(1 − x)|

^p

| log x|

^q

(d)

Z 1

−1

(cos π

2 x)

^p+qx

dx (e)

Z ∞ 0

arc tg(sin x)

x dx (f )

Z ∞ π

(1 + p cos x)dx (5 + 4 cos x)x (g)

Z ∞ 0

e

^{−x sin}²^x

dx (h)

Z ∞ 0

e

^{−x sin}²^x

dx x + 1 (i)

Z ∞ 0

dx

1 + x

^p

sin

²

x (j)

Z ∞ 0

(1 − e

⁻¹^x

) dx x

^p

(k)

Z 1 0

sin(x

^p

)

x dx (l)

Z ∞ 1

sin(x

^p

) x dx (m)

^R₀^∞

√

^{sin x dx}

x²+sin²x

1