Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
3. Prawdopodobie´ nstwo warunkowe, ca lkowite - zadania na
´
cwiczenia
Zad. 3.1 Trzej strzelcy strzelaj¸a do butelki. Butelka zostaje zbita jedn¸a kul¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze zbi l j¸a pierwszy ze strzelc´ow, skoro trafiaj¸a oni z prawdo- podobie´nstwami odpowiednio: 0.3, 0.8, 0.4.
Zad. 3.2 W komodach A, B, C s¸a po 2 szuflady. W ka˙zdej szufladzie jest jedna moneta:
w komodzie A s¸a monety z lote, w C srebrne, a w B jest jedna z lota i jedna moneta srebrna. Wylosowano komod¸e, nast¸epnie szuflad¸e i znaleziono tam monet¸e z lot¸a.
Jaka jest szansa, ˙ze w drugiej szufladzie te˙z jest moneta z lota?
Zad. 3.3 Wiadomo, ˙ze prawdopodobie´nstwo, i˙z bli´zni¸eta s¸a jednej p lci wynosi ok. 0, 64, przy czym prawdopodobie´nstwo urodzenia si¸e ch lopca wynosi ok. 0, 51. Znale´z´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze drugie z bli´zni¸at jest ch lopcem, je˙zeli wiadomo, ˙ze pierwsze jest ch lopcem.
Zad. 3.4 Do urny zawieraj¸acej n kul, w tym k bia lych, do lo˙zono dwie kule ustalaj¸ac kolor ka˙zdej z nich przez rzut monet¸a: orze l oznacza l bia l¸a kul¸e, reszka - czarn¸a.
Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze wylosowana z tej urny jedna kula b¸edzie bia la.
Zad. 3.5 Gra polega na tym, ˙ze spo´sr´od dw´och urn losujemy jedn¸a, nast¸epnie wyci¸agamy z niej kul¸e. Gdy kula jest bia la, wygrywamy. Przed rozpocz¸eciem gry dano nam 2 bia le i 7 czarnych kul, kt´ore mamy w lo˙zy´c do pustych urn, co najmniej jedn¸a kul¸e do ka˙zdej urny. Jak najkorzystniej roz lo˙zy´c kule w urnach przed gr¸a?
Zad. 3.6 W pierwszej z dw´och urn znajduj¸a si¸e 3 bia le i 4 czarne kule, a w drugiej 5 bia lych i 3 czarne. Z pierwszej urny wylosowano dwie kule, a z drugiej jedn¸a, po czym z tych trzech kul wybrano losowo jedn¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze kula ta b¸edzie bia la?
Zad. 3.7 W urnie s¸a 2 kule bia le i 1 czarna. Rzucamy kostk¸a sze´scienn¸a i dok ladamy do urny tyle kul bia lych, ile wypadnie oczek. Nast¸epnie losujemy kul¸e z urny, kt´ora okazuje si¸e bia la. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze na kostce wyrzucono jedno oczko?
Zad. 3.8 W pierwszej z trzech urn znajduj¸a si¸e 2 bia le i 3 czarne kule, w drugiej 2 bia le i 2 czarne kule, a w trzeciej 3 bia le i 1 czarna kula. Wylosowan¸a z pierwszej urny kul¸e prze lo˙zono do drugiej urny, nast¸epnie jedn¸a kul¸e z drugiej urny prze lo˙zono do trzeciej urny i w ko´ncu jedn¸a kul¸e z trzeciej urny prze lo˙zono do pierwszej urny. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze liczba kul poszczeg´olnych kolor´ow w ka˙zdej z trzech urn nie uleg la zmianie?
Zad. 3.9 (*) Wszystkie wyroby wchodz¸ace w sk lad jednej z dw´och partii s¸a dobrej jako´sci, w drugiej z tych partii 1/4 wyrob´ow to braki. Wyr´ob wylosowany z wybranej losowo partii okaza l si¸e dobrej jako´sci. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze drugi wyr´ob wzi¸ety z tej samej partii b¸edzie wybrakowany, je˙zeli pierwszy wyr´ob zosta l zwr´ocony po sprawdzeniu do swojej partii.
Rachunek Prawdopodobie´ nstwa
3. Prawdopodobie´ nstwo warunkowe, ca lkowite - zadania domowe
Zad. 3.1 Obliczy´c niezawodno´s´c uk ladu z lo˙zonego z dw´och przeka´znik´ow po l¸aczonych r´ownolegle, przy za lo˙zeniu, ˙ze przeka´zniki dzia laj¸a niezale˙znie i niezawodno´s´c ka˙zdego z nich wynosi p.
Zad. 3.2 Test na rzadk¸a chorob¸e, kt´or¸a dotkni¸eta jest ´srednio jedna osoba na tysi¸ac, daje fa lszyw¸a pozytywn¸a odpowied´z w 5% przypadk´ow (u osoby chorej daje zawsze odpowied´z pozytywn¸a). Jaka jest szansa, ˙ze osoba,u kt´orej test da l odpowied´z pozytywn¸a, jest faktycznie chora? Zak ladamy, ˙ze nic nie wiemy o innych mo˙zliwych objawach u badanej osoby.
Zad. 3.3 Fabryki A, B, C produkuj¸a odpowiednio 50%, 20%, 30% og´olnej produkcji
˙zar´owek. Udzia l brak´ow produkcji wynosi: 5%, 2%, 3% produkcji danej fabryki.
Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze:
a) losowo wybrana ˙zar´owka jest sprawna,
b) je˙zeli ˙zar´owka jest sprawna, to pochodzi z fabryki A?
Zad. 3.4 W rz¸edzie jedno za drugim le˙zy N pude lek. Ka˙zde z nich zawiera b kul bia lych oraz c kul czarnych. Losujemy kul¸e z pierwszego pude lka i przek ladamy j¸a do drugiego. Nast¸epnie losujemy kul¸e z drugiego pude lka i przek ladamy j¸a do trzeciego, itd. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze z ostatniego pude lka wylosujemy kul¸e bia l¸a?
Zad. 3.5 W spi˙zarni by lo n butelek soku, w tym k butelek soku malinowego. Kto´s wypi l jedn¸a butelk¸e. Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze wyj¸eta teraz butelka b¸edzie zawiera la sok malinowy.
Zad. 3.6 W jednakowych zamkni¸etych pude lkach mamy 9 pe lnych talii kart i jedn¸a zde- kompletowan¸a, zawieraj¸ac¸a 20 kart czarnych i tylko 4 czerwone. Z losowo wybranej talii wylosowano kart¸e czarn¸a. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze pochodzi ona z talii zdekompletowanej?
Zad. 3.7 Pi¸eciu m¸e˙zczyzn na 100 oraz 25 na 10000 kobiet jest daltonistami. Z grupy zawieraj¸acej tak¸a sam¸a liczb¸e kobiet i m¸e˙zczyzn wybrano osob¸e. Okaza lo si¸e, ˙ze nie odr´o˙znia ona kolor´ow. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze by l to m¸e˙zczyzna?
Zad. 3.8 Z urny zawieraj¸acej 3 kule bia le i jedn¸a czarn¸a losujemy kul¸e, a nast¸epnie, o ile by la ona bia la, rzucamy kostk¸a sze´scienn¸a, je´sli za´s czarna, kostk¸a czworo´scienn¸a.
W tak wykonanym eksperymencie na kostce wypad ly 2 oczka. Obliczy´c praw- dopodobie´nstwo, ˙ze by la to kostka sze´scienna.
Zad. 3.9 Mamy 4 szuflady. W pierwszej i trzeciej szufladzie s¸a po 4 pi leczki czerwone i 8 bia lych. W pozosta lych szufladach znajduje si¸e po 5 pi leczek bia lych i czerwonych.
Wybrano losowo szuflad¸e, a nast¸epnie wyci¸agni¸eto z niej pi leczk¸e, kt´ora okaza la si¸e czerwona. Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze wyci¸agni¸eto j¸a z pierwszej szuflady?
