Osobliwo±ci Odwzorowa« Ró»niczkowalnych

Osobliwo±ci Odwzorowa« Ró»niczkowalnych

Literatura Pomocnicza:

1. V.I.Arnold, S.M.Gusein-Zade, A.N.Varchenko, Singularities of Dif- ferentiable Maps, Birkhäuser 1985,

2. J.W.Bruce, P.G.Giblin, Curves and Singularities, Cambridge Uni- versity Press, Cambridge 1992,

3. Th.Bröcker, L.Lander, Dierentiable Germs and Catastrophes, Lon- don Math. Soc., Lectures Notes 17,

4. M.Golubitsky, V.Guillemin, Stable Mappings and their Singulari- ties, Springer Verlag 1973,

5. J.Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press 1968,

6. M.Spivak, Analiza na Rozmaito±ciach, PWN 2005,

7. Z.Szafraniec, Notatki do wykªadu Geometria zbiorów analitycz- nych"

8. Z.Szafraniec, Notatki do wykªadu Osobliwo±ci i Katastrofy"

1 Rozmaito±ci

Denicja. Podzbiór M ⊂ R ^k nazywa sie m-wymiarowa gªadka rozmaito±cia (w R ^k ), je»eli dla ka»dego punktu p ∈ M jest speªniony nastepujacy warunek: Istnieje taki zbiór otwarty U zawierajacy p , zbiór otwarty V ⊂ R ^k i gªadki dyfeomorzm h : U → V, »e

h(U ∩ M ) = V ∩ (R ^m × {0}) = {y ∈ V : y _m+1 = . . . = y _k = 0} .

Twierdzenie 1.1 Niech A ⊂ R ^k bedzie otwarty, i niech g : A → R ^s

bedzie taka funkcja gªadka, »e je»eli g(p) = q ⁰ to pochodna Dg(p) jest

rzedu s . Wówczas g ⁻¹ (q ₀ ) jest (k − s)-wymiarowa rozmaito±cia w

R ^k . 

Twierdzenie 1.2 Podzbiór M ⊂ R ^k jest m-wymiarowa rozmaito±cia wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego punktu p ∈ M istnieje taki zbiór otwarty U zawierajacy p , zbiór otwarty W ⊂ R ^m , oraz ró»nowar- to±ciowa gªadka funkcja φ : W → R ^k , »e

(i) φ(W ) = M ∩ U ,

(ii) pochodna Dφ(w) ma rzad m dla ka»dego w ∈ W, (iii) φ ⁻¹ : M ∩ U → W jest ciagªa. 

Taka funkcje φ nazywamy ukªadem wspóªrzednych w otoczeniu p, a funkcje φ ⁻¹ : M ∩ U →W nazywamy mapa.

Denicja. Je»eli p = φ(a), to odwzorowanie Dφ(a) : R ^m → R ^k

jest liniowe i ró»nowarto±ciowe. Przestrze« styczna T p M do rozmaito±ci M w punkcie p deniujemy jako:

T _p M = Im(Dφ(a)) .

Mo»na pokaza¢, »e T p M jest podprzestrzenia liniowa wymiaru m , i nie zale»y od wyboru ukªadu wspóªrzednych.

M ⊂ R ^k - m-wymiarowa rozmaito±¢, N ⊂ R ^s - n-wymiarowa rozmaito±¢.

Denicja. Funkcja f : M → N jest gªadka (C ^∞ ) je»eli dla dowolnych ukªadów wspóªrzednych

φ : W → M , ψ : V → N ,

odpowiednio w punktach p ∈ M oraz f(p) ∈ N , odwzorowanie ψ ⁻¹ ◦ f ◦ φ : W → V

jest klasy C ^∞ . W szczególno±ci pochodna D(ψ ⁻¹ ◦f ◦φ)(a) : R ^m → R ⁿ , gdzie p = φ(a), istnieje i jest liniowa.

Je»eli funkcja f : M → N jest gªadka, to w ka»dym punkcie p ∈ M istnieje indukowane liniowe odwzorowanie styczne (lub pochodna):

Df (p) : T _p M →T _{f (p)} N .

Dla ka»dego p ∈ M :

rk [Df (p)] ≤ min{m, n} .

Denicja. p ∈ M jest punktem regularnym, je»eli rzad rk [Df (p)] = n

(Wtedy koniecznie m ≥ n .) Je»eli m = n to powy»szy warunek jest równowa»ny temu, »e det[Df(p)] 6= 0 .

Je»eli m < n to punkty regularne nie istnieja!

Denicja. q ∈ N jest warto±cia regularna, je»eli f ⁻¹ (q) = ∅ lub ka»dy punkt p ∈ f ⁻¹ (q) jest regularny. W takim wypadku f ⁻¹ (q) jest zbiorem pustym, lub rozmaito±cia wymiaru m−n (i podrozmaito±cia w M). Je»eli m < n , to q ∈ N jest warto±cia regularna wtedy i tylko wtedy, gdy f ⁻¹ (q) = ∅.

Denicja. Punkt p ∈ M jest krytyczny, je»eli nie jest regularny, tj.

rk [Df (p)] < n

(Je»eli m < n to wszystkie punkty w M sa krytyczne.)

Denicja. Punkt q ∈ N jest warto±cia krytyczna, je»eli istnieje taki punkt krytyczny p ∈ M , »e q = f(p). Ka»dy punkt w M jest albo regularny albo krytyczny. Rozmaito±¢ N jest rozªaczna suma zbioru warto±ci regularnych i zbioru warto±ci krytycznych.

Twierdzenie 1.3 (Tw. Sarda) Zbiór warto±ci krytycznych jest pod- zbiorem miary zero w N . Je»eli m < n , to f(M) jest zbiorem warto±ci krytycznych, wiec ma miare zero. 

Twierdzenie 1.4 (Wn. z Tw. o rzedzie) Zaªó»my, »e p ∈ M oraz rk [Df (p)] = min{m, n} . Istnieja takie ukªady wspóªrzednych φ : W →M , ψ : V →N , »e

(i) 0 ∈ W oraz φ(0) = p , (ii) 0 ∈ V oraz ψ(0) = f(p) , (iii) je»eli m ≤ n , to

ψ ⁻¹ ◦ f ◦ φ (x ₁ , . . . , x m ) = (x 1 , . . . , x m , 0, . . . , 0) ,

(iv) je»eli n ≤ m , to

ψ ⁻¹ ◦ f ◦ φ (x ₁ , . . . , x _m ) = (x ₁ , . . . , x _n ) .  Denicja. Punkt p ∈ M jest nieosobliwy je»eli

rk [Df (p)] = min{m, n}

Wtedy speªniony jest Wniosek z Tw. o Rzedzie.

Denicja. Punkt p ∈ M jest osobliwy je»eli rk [Df (p)] < min{m, n}.

Je»eli n ≤ m to punkt jest regularny (odp. krytyczny) wtedy i tylko wtedy gdy jest to punkt nieosobliwy (odp. osobliwy.)

Denicja. Funkcja f : M→N jest immersja , je»eli dim M ≤ dim N oraz ka»dy punkt p ∈ M jest nieosobliwy, tzn. rk [Df(p)] = m . Denicja. Funkcja f : M→N jest submersja , je»eli dim N ≤ dim M oraz ka»dy p ∈ M jest punktem regularnym (czyli nieosobliwym), tzn.

rk [Df (p)] = n .

We¹my dowolne: g = (g ¹ , . . . , g n ) ∈ C ^∞ (R ^m , R ⁿ ) , r ∈ N , η : R ^m →R - dodatnia funkcja ciagªa. Zdeniujmy:

U (g, η, r) = {f = (f ₁ , . . . , f _n ) ∈ C ^∞ (R ^m , R ⁿ ) |

∀ |α| ≤ r , ∀ x ∈ R ^m , ∀ 1 ≤ j ≤ n : |D ^α f _j (x) − D ^α g _j (x)| < η(x) } W zbiorze C ^∞ (R ^m , R ⁿ ) mo»na wprowadzi¢ topologie indukowana przez baze {U(g, η, r)} . Jest to tzw. topologia Whitney'a w C ^∞ (R ^m , R ⁿ ) .

Podobnie mo»na wprowadzi¢ topologie Whitney'a w C ^∞ (M, N ) . Przestrze« topologiczna C ^∞ (M, N ) ma wªasno±¢ Baire'a !

Denicja. f ¹ , f ₂ : M →N sa C ^∞ -równowa»ne (odp. topologicznie równowa»ne) je»eli istnieja takie dyfeomorzmy (odp. homeomorzmy) h ₁ : M →M , h ² : N →N , »e

f ₁ = h ₂ ◦ f ₂ ◦ h ₁ .

Jest to relacja równowa»no±ci w C ^∞ (M, N ) .

Denicja. Odwzorowanie f ∈ C ^∞ (M, N ) jest C ^∞ -stabilne (odp.

topologicznie stabilne) je»eli istnieje takie otwarte otoczenie U punktu f w C ^∞ (M, N ) , »e ka»de odwzorowanie f ¹ ∈ U jest C ^∞ -równowa»ne (odp. topologicznie równowa»ne) z odwzorowaniem f .

Twierdzenie 1.5 Je»eli M jest zwarta, to ka»da submersja f : M →N jest C ^∞ -stabilna. 

2 Immersje

Twierdzenie 2.1 Zaªó»my, »e n ≥ 2m oraz f = (f ₁ , . . . , f _n ) : R ^m →R ⁿ jest odwzorowaniem gªadkim. Wtedy

(i) istnieje takie przeksztaªcenie liniowe A : R ^m →R ⁿ o dowolnie maªej normie, »e

g = f + A : R ^m →R ⁿ jest immersja. Ponadto

(ii) je»eli n = 2m , x 6= y oraz g(x) = g(y) to wektory

∂g

∂x ₁ (x), . . . , ∂g

∂x _m (x), ∂g

∂x ₁ (y), . . . , ∂g

∂x _m (y) , sa liniowo niezale»ne w R ^2m , wiec tworza baze w R ^2m ,

(iii) je»eli n = 2m , to g nie ma punktów potrójnych, tzn. dowolny przeciwobraz g ⁻¹ (z) ma co najwy»ej dwa punkty,

(iv) je»eli n > 2m to g jest ró»nowarto±ciowe.

Twierdzenie 2.2 Niech M, N beda takimi rozmaito±ciami, »e dim N ≥ 2 dim M . Istnieje otwarty gesty podzbiór U ⊂ C ^∞ (M, N ) zªo»ony z odwzorowa« speªniajacych poni»sze warunki:

(i) je»eli f ∈ U to f jest immersja,

(ii) je»eli dim N = 2 dim M , to punkty podwójne odwzorowania f sa przecieciami normalnymi, tzn. je»eli f(p) = f(q), p 6= q , v ₁ , . . . , v _m jest baza przestrzeni stycznej T ^p M , w ¹ , . . . , w _m jest baza przestrzeni stycznej T ^q M , to wektory

Df (p)v ₁ , . . . , Df (p)v _m , Df (q)w ₁ , . . . , Df (q)w _m tworza baze przestrzeni stycznej T f (p) N ,

(iii) je»eli dim N = 2 dim M , to f nie ma punktów potrójnych, (iv) je»eli dim N > 2 dim M , to f jest ró»nowarto±ciowym wªo»e-

niem. 

Twierdzenie 2.3 Niech M, N beda takimi rozmaito±ciami, »e M jest zwarta, oraz dim N ≥ 2 dim M . Wtedy f : M→N jest C ^∞ − stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ U . 

Jak sprawdzi¢, »e wielomianowe odwzorowanie R ² →R ⁴ jest im- mersja:

SINGULAR:

> ring r=0,(x,y),dp;

> poly f1=x-2xy+y3;

> poly f2=y-3x4+x*y2;

> poly f3=x+2y+y4;

> poly f4=x3-y3;

> ideal F=f1,f2,f3,f4;

> ideal i=minor(jacob(F),2);

> ideal I=groebner(i);

> I;

I[1]=1

> exit;

Auf Wiedersehen.

Jak sprawdzi¢, »e wielomianowe odwzorowanie ze sfery o promieniu 10 jest immersja (A.Nowel, I.Krzy»anowska, Z.Sz. / J. of Pure and Appl.

Algebra (2010)):

SINGULAR:

> ring r=0,(x,y,z),dp;

> poly w=100-x2-y2-z2;

> poly f1=x-y3;

> poly f2=y+2*x*z;

> poly f3=xz-y2;

> poly f4=yz+3x2;

> ideal F=w,f1,f2,f3,f4;

> ideal i=w,minor(jacob(F),3);

> ideal I=groebner(i);

> I;

I[1]=1

> exit;

Auf Wiedersehen.

3 Funkcje Morse'a

Fakt 3.1 Niech f ∈ C ^∞ (M, R). Punkt p ∈ M jest krytyczny wtedy i tylko wtedy, gdy w dowolnym ukªadzie wspóªrzednych φ : (R ^m , 0)→(M, p) :

∀ i : ∂f

∂x _i (0) = 0

Denicja. Punkt krytyczny p ∈ M jest niezdegenerowany, gdy w dowolnym ukªadzie wspóªrzednych φ : (R ^m , 0)→(M, p) wyznacznik Hessjanu

det

 ∂ ² f

∂x i ∂x j

(0)

 ^m

i,j=1

6= 0 . Niech i(p) oznacza znak wyznacznika Hessjanu.

Fakt 3.2 Warto±¢ i(p) nie zale»y od wyboru ukªadu wspóªrzednych.  Twierdzenie 3.3 Niech f ∈ C ^∞ (R ^m , R) . Wtedy

(i) istnieje taka funkcja liniowa

L(x) = a 1 x 1 + · · · + a m x m

o dowolnie maªej normie, »e funkcja

g(x) = f (x) + L(x)

ma wyªacznie niezdegenerowane punkty krytyczne,

(ii) funkcja g przyjmuje ró»ne warto±ci w ró»nych punktach krytycz- nych.

Denicja. f ∈ C ^∞ (M, R) jest funkcja Morse'a, je»eli wszystkie punkty krytyczne sa niezdegenerowane. Przedstawione poni»ej twierdzenia sa konsekwencjami teorii Morse'a:

Twierdzenie 3.4 Funkcje Morse'a sa otwartym gestym podzbiorem prze- strzeni C ^∞ (M, R) . 

Twierdzenie 3.5 Zaªó»my, »e f ∈ C ^∞ (M, R) speªnia warunki:

(a) f jest funkcja Morse'a,

(b) dla dowolnego zbioru zwartego K ⊂ R przeciwobraz f ⁻¹ (K) jest zwarty (czyli f jest odwzorowaniem wªa±ciwym),

(c) f ma sko«czenie wiele punktów krytycznych w f ⁻¹ (K) ,

(d) funkcja f przyjmuje ró»ne warto±ci w ró»nych punktach krytycz- nych.

Wtedy funkcja f jest C ^∞ stabilna. 

Twierdzenie 3.6 Je»eli rozmaito±¢ M jest zwarta, to f jest C ^∞  stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia warunki (a),(d) . Zbiór funkcji speªniajacych te warunki jest otwarty i gesty w C ^∞ (M, R) . 

Denicja. Podzbiór przestrzeni R ⁿ nazywamy hiperpªaszczyzna (odp.

otwarta póªprzestrzenia) je»eli istnieje funkcja linowa L : R ⁿ → R oraz staªa c ∈ R taka, »e ten podzbiór ma posta¢ {x ∈ R ⁿ | L(x) = c}

(odp. {x ∈ R ⁿ | L(x) < c} )

Denicja. Zbiór S ⊂ R ⁿ nazywamy ±ciana, je»eli jest przekrojem sko«czonej rodziny zªo»onej z hiperpªaszczyzn oraz otwartych póªprze- strzeni .

‘ciana jest zbiorem wypukªym, jej wymiar jest równy wymiarowi najmniejszej podprzestrzeni anicznej w której ±ciana jest zawarta

Je»eli S jest ±ciana, to domkniecie S oraz brzeg ∂S = S \ S jest suma sko«czonej rodziny rozªacznych ±cian.

Denicja. Domkniety zbiór W ⊂ R ⁿ nazywamy wielo±cianem, je»eli

istnieje taka sko«czona rodzina {S ⁱ } parami rozªacznych ±cian, »e

• W = S

i S i ,

• dla ka»dej ±ciany S ^j : S ^j oraz ∂S ^j sa sumami pewnych ±cian z rodziny {S ⁱ } .

Denicja. Charakterystyka Eulera wielo±cianu W nazywamy liczbe caª- kowita:

χ(W ) = X

i

(−1) ^dim(S

⁾ .

Denicja. Niech X bedzie zbiorem homeomorcznym z pewnym wielo±cianem W . Liczbe

χ(X) := χ(W ) nazywamy charakterystyka Eulera zbioru X.

Twierdzenie 3.7 Je»eli istnieje taka funkcja Morse'a f ∈ C ^∞ (M, R) , posiadajaca tylko sko«czenie wiele punktów krytycznych, »e dla ka»dego y 0 ∈ R przeciwobraz f ⁻¹ [−∞, y 0 ] jest zwarty, to

(i) charakterystyka Eulera χ(M) jest zdeniowana,

(ii) χ(M) = P i(p) , gdzie p przebiega zbiór punktów krytycznych funkcji f . 

Jak sprawdzi¢, »e wielomian R ³ →R jest funkcja Morse'a:

> ring r=0,(x,y,z),dp;

> poly f=x-3y+2z-xyz+x*y2-5x2*z+5y*z;

> ideal F=f;

> ideal j=jacob(F),det(jacob(jacob(F)));

> ideal J=groebner(j);

> J;

J[1]=1

> exit;

Auf Wiedersehen.

Jak sprawdzi¢, »e wielomian R ² →R przyjmuje ró»ne warto±ci w ró»- nych punktach krytycznych:

> ring r=0, (x,y,w),dp;

> poly f=x6+2y6-3xy3+5x2y2-x4y+2x-3y;

> ideal i=jacob(f),w-f;

> option(redSB);

> ideal I=std(i);

> vdim(I);

25 > ring s=0,(x,y,w),lp;

> ideal J=fglm(r,I);

> poly p=J[1];

> leadexp(p);

0,0,25

> gcd(p,diff(p,w));

1 > exit;

Auf Wiedersehen.

(Program sprawdziª, »e wielomian f = f(x, y) ma co najwy»ej 25 punk- tów krytycznych w dziedzinie zespolonej, oraz ma co najmniej 25 ró»- nych zespolonych warto±ci w tych punktach. Implikuje to, »e warto±ci w punktach krytycznych le»acych w R ² sa ró»ne.)

4 Odwzorowania pomiedzy powierzchniami

Fakt 4.1 Niech (f 1 , f ₂ ) : R ² →R ² bedzie gªadkie. Istnieje wtedy taki zbiór Σ ⊂ R ⁴ miary zero, »e je»eli (a ¹ , . . . , a 4 ) 6∈ Σ , to odwzorowanie

(g 1 , g 2 ) = (f 1 − a ₁ x 1 − a ₂ x 2 , f 2 − a ₃ x 1 − a ₄ x 2 )

ma rzad ≥ 1 w ka»dym punkcie. W szczególno±ci mo»na zakªada¢, »e max |a _i | jest dowolnie maªe.

Fakt 4.2 Zaªó»my, »e g = (g ¹ , g 2 ) : R ² →R ² jest odwzorowaniem którego pochodna w punkcie p ∈ R ² ma rzad ≥ 1 . Wtedy mo»na wprowadzi¢ takie wspóªrzedne φ(x ¹ , x ₂ ) w otoczeniu punktu p , »e

g ◦ φ(x ₁ , x ₂ ) = (x ₁ , h(x ₁ , x ₂ )) .

Denicja. Je»eli N ⁰ jest podrozmaito±cia zawarta w rozmaito±ci N ,

to liczbe codim N ⁰ = dim N − dim N ⁰ nazywamy kowymiarem pod-

rozmaito±ci N ⁰ .

Twierdzenie 4.3 Je»eli N ⁰ jest podrozmaito±cia zawarta w N , oraz przeksztaªcenie f : M→N jest submersja, to f ⁻¹ (N ⁰ ) jest podrozma- ito±cia zawarta w M o kowymiarze równym codim N ⁰ , lub zbiorem pustym Wtedy dim f ⁻¹ (N ⁰ ) = dim M − codim N ⁰ . 

Twierdzenie 4.4 Niech h = h(x, z) : R ² →R bedzie C ^∞ funkcja.

Zdeniujmy

s(x, z) = h(x, z) + b ₁ z + b ₂ z ² + b ₃ xz + b ₄ z ³ .

Istnieje taki zbiór Σ ⊂ R ⁴ miary zero, »e je»eli (b ¹ , . . . , b ₄ ) 6∈ Σ , to w ka»dym punkcie p ∈ R ² :

(i) albo ∂s/∂z(p) 6= 0 ,

(ii) albo ∂s/∂z(p) = 0 , oraz ∂ ² s/∂z ² (p) 6= 0 , (iii) albo ∂s/∂z(p) = 0 , ∂ ² s/∂z ² (p) = 0 , oraz

∂ ² s/∂x∂z(p) 6= 0 & ∂ ³ s/∂z ³ (p) 6= 0

W szczególno±ci mo»na zakªada¢, »e max |b ⁱ | jest dowolnie maªe.

Fakt 4.5 Zaªó»my, »e f = (x, s(x, z)) : R ² →R ² .

Je»eli ∂s/∂z(p) 6= 0 , to p jest punktem regularnym. Mo»emy wtedy znale¹¢ wspóªrzedne φ : (R ² , 0)→(R ² , p) , ψ : (R ² , 0)→(R ² , f (p)) w których ψ ⁻¹ ◦ f ◦ φ ma posta¢

(x, z) 7→ (x, z) .

Takie przedstawienie w postaci kieªka (R ² , 0)→(R ² , 0) nazywa sie po- stacia normalna odwzorowania f w punkcie p .

Fakt 4.6 (H. Whitney (1955)) Zaªó»my, »e f = (x, s(x, z)) : R ² →R ² . Je»eli ∂s/∂z(p) = 0 oraz ∂ ² s/∂z ² (p) 6= 0 , to posta¢ normalna odwzorowania f w punkcie p ma posta¢

(x, z) 7→ (x, z ² ) .

Fakt 4.7 (H. Whitney (1955)) Zaªó»my, »e f = (x, s(x, z)) : R ² →R ² . Je»eli ∂s/∂z(p) = 0 oraz ∂ ² s/∂z ² (p) = 0 , oraz

∂ ² s/∂x∂z(p) 6= 0 & ∂ ³ s/∂z ³ (p) 6= 0

to posta¢ normalna odwzorowania f w punkcie p ma posta¢

(x, z) 7→ (x, z ³ − xz) . 

Twierdzenie 4.8 (H. Whitney (1955)) Istnieje taki otwarty gesty podzbiór T ⊂ C ^∞ (R ² , R ² ) , »e dla p ∈ R ² oraz f ∈ T kieªek f : (R ² , p)→(R ² , f (p)) ma jedna z trzech postaci normalnych:

(i) (x, z) 7→ (x, z)  gdy p jest punktem regularnym,

(ii) (x, z) 7→ (x, z ² )  wtedy p jest punktem zªo»enia (fold), (iii) (x, z) 7→ (x, z ³ − xz)  wtedy p jest ostrzem (cusp). 

Mo»na postawi¢ pytania: Kiedy takie odwzorowanie jest stabilne, lub lokalnie stabilne? Czy to twierdzenie jest speªnione w klasie funkcji holomorcznych C→C ?

Osobliwo±ci odwzorowa« wielomianowych R ² → R ²

f = (f ₁ , f ₂ ) : R ² → R ² odwzorowanie wielomianowe J = ∂(f 1 , f 2 )

∂(x, y) .

Je»eli J(p) 6= 0 , to p jest punktem regularnym.

F 1 = ∂(J, f ₁ )

∂(x, y) , F 2 = ∂(J, f ₂ )

∂(x, y) . I :=

J, F ₁ , F ₂ , ∂(J, F ₁ )

∂(x, y) , ∂(J, F ₂ )

∂(x, y)

⊂ R[x, y] .

Twierdzenie 4.9 (Krzy»anowska, Sz., J. Math. Soc. Japan (2014)) Je»eli I = R[x, y] , to f ∈ T . 

We¹my f = (x ² y ³ − x ² y + xy ² − x, x ³ y − x ² y + y ³ + x − y) . U»ywajac programu SINGULAR mo»na sprawdzi¢, »e f ∈ T , oraz ma 8 ostrzy.

Poni»ej przedstawiamy, jak sprawdzi¢, »e f ∈ T : ring r=0,(x,y),dp;

poly f1= x2*y3-x2*y+x*y2-x ; poly f2= x3*y-x2*y+y3+x-y ;

poly J=diff(f1,x)*diff(f2,y)-diff(f1,y)*diff(f2,x);

poly F1=diff(J,x)*diff(f1,y)-diff(J,y)*diff(f1,x);

poly F2=diff(J,x)*diff(f2,y)-diff(J,y)*diff(f2,x);

poly G1=diff(J,x)*diff(F1,y)-diff(J,y)*diff(F1,x);

poly G2=diff(J,x)*diff(F2,y)-diff(J,y)*diff(F2,x);

ideal i=J,F1,F2,G1,G2;

ideal I=groebner(i);

I; I[1]=1 exit;

Auf Wiedersehen

(obliczenia trwaly mniej niz 1 sek.)

5 Osobliwo±ci Thoma-Boardmana

Denicja. f : M→N odwzorowanie gªadkie.

Σ ⁱ (f ) = {p ∈ M | rk [Df (p)] = dim(M ) − i }

= {p ∈ M | dim Ker[Df (p)] = i } .

Niech f : R ² →R ² , wtedy Σ ⁰ (f ) = {p ∈ R ² | rk [Df (p)] = 2} jest zbiorem punktów regularnych,

Σ ¹ (f ) = {p ∈ R ² | rk [Df (p)] = 1} , Σ ² (f ) = {p ∈ R ² | rk [Df (p)] = 0} . Σ ¹ (f ) ∪ Σ ² (f )  zbiór punktów krytycznych.

Przykªad. Je»eli f ∈ T (z Tw. Whitney'a 4.8), to Σ ¹ (f ) jest jednowymiarowa rozmaito±cia, Σ ² (f ) jest zbiorem pustym.

‚wiczenie. Jak wygladaja te zbiory dla (x, z) 7→ (x ² , z ² ) , (x, z) 7→

(x, z ³ ) .

Denicja. Je»eli Σ ⁱ (f ) jest rozmaito±cia, to Σ ^i,j (f ) = Σ ^j (f | Σ ⁱ (f )) .

‚wiczenie. Jak wygladaja zbiory Σ ^i,j (f ) dla kieªków:

(x, z ² ) , (x, z ³ − xz) , (x ² , z ² ) , (x, z ³ ) .

Zawsze: M ⊃ Σ ⁱ (f ) ⊃ Σ ^i,j (f ) .

Poniewa» Ker[D(f |Σ ⁱ (f ))(p)] = Ker[Df (p)] ∩ T _p (Σ ⁱ (f )) , oraz dim Ker[Df (p)] = i , wiec j ≤ i .

Denicja. Je»eli I = (i ¹ , i ₂ , · · · , i _n ) , to mo»na indukcyjnie zdeniowa¢

Σ ^I (f ) = Σ ⁱ

f | Σ ⁱ

^,...,i

(f )
,

o ile pojawiajace sie w kolejnych krokach zbiory sa rozmaito±ciami. Zbiór ten mo»e by¢ niepusty tylko wtedy, gdy

m ≥ i ₁ ≥ i ₂ ≥ . . . ≥ i _n .

Twierdzenie 5.1 Je»eli odwzorowania f, g : M→N sa C ^∞ -równowa»ne, to zbiory Σ ^I (f ) , Σ ^I (g) sa homeomorczne, i dyfeomorczne o ile sa rozmaito±ciami.

Denicja. Niech W ⊂ N bedzie podrozmaito±cia kowymiaru k . Od- wzorowanie gªadkie f : M→N jest transwersalne do podrozmaito±ci W , je»eli dla ka»dego punktu p ∈ f ⁻¹ (W ) :

Df (p)(T p M ) + T _{f (p)} W = T _{f (p)} N , lub równowa»nie, je»eli zªo»enie

Df (p) : T _p M → T _{f (p)} N → T _{f (p)} N/T _{f (p)} W jest surjekcja.

Je»eli m < k , to transwersalno±¢ oznacza, »e f ⁻¹ (W ) = ∅ .

Uwaga. Je»eli f jest submersja, to f jest transwersalne do ka»dej podrozmaito±ci W ⊂ N .

W otoczeniu punktu f(p) ∈ W ⊂ N mo»na wprowadzi¢ takie wspóªrzedne (y ¹ , . . . , y _n ) , »e lokalnie W jest opisane przez równanie y ₁ = · · · = y _k = 0 Zaªó»my, »e f = (f ¹ , . . . , f _n ) w otoczeniu punktu p . Wtedy warunek transwersalno±ci w punkcie f(p) jest równowa»ny temu, »e macierz

 ∂f _i

∂x _j (p)



, 1 ≤ i ≤ k , 1 ≤ j ≤ m ,

ma rzad k dla dowolnego ukªadu wspóªrzednych (x ¹ , . . . , x _m ) w pobli»u

p .

Twierdzenie 5.2 Je»eli f : M→N jest transwersalne do podrozma- ito±ci W ⊂ N kowymiaru k , to f ⁻¹ (W ) ⊂ M jest podrozmaito±cia kowymiaru k, lub zbiorem pustym.

Wniosek 5.3 Je»eli dim M = codim W oraz f : M→N jest trans- wersalne do W , to f ⁻¹ (W ) jest dyskretnym podzbiorem M , tzn.

f ⁻¹ (W ) skªada sie z punktów izolowanych. 

Twierdzenie 5.4 Je»eli W ⊂ N jest domknieta podrozmaito±cia, to zbiór odwzorowa« transwersalnych do W jest otwarty i gesty w C ^∞ (M, N ) .

‚wiczenie 5.5 Je»eli f : M→N jest transwersalne do W , oraz p ∈ f ⁻¹ (W ) , to dla ka»dego otwartego otoczenia U punktu p w M istnieje takie otwarte otoczenie U odwzorowania f w C ^∞ (M, N ) ,

»e je»eli g ∈ U , to g ⁻¹ (W ) ∩ U 6= ∅ . 

W takim przypadku mo»emy mówi¢, »e punkty z f ⁻¹ (W ) sa nieusu- walne.

Lemat 5.6 Niech LA(m, n) = Hom(R ^m , R ⁿ ) bedzia przestrzenia (n × m) macierzy, oraz niech

LA(m, n; r) ⊂ LA(m, n)

bedzie podzbiorem macierzy majacych rzad r . Wtedy LA(m, n; r) jest podrozmaito±cia w LA(m, n) kowymiaru

(m − r) · (n − r) dla r ≤ min(m, n) .

Lemat 5.7 Niech f : R ^m →R ⁿ bedzie gªadkim odwzorowaniem, niech W ⊂ LA(m, n) bedzie podrozmaito±cia. Wtedy dla prawie ka»dego liniowego odwzorowania A : R ^m →R ⁿ , (tzn. dla prawie ka»dej (n×m)

macierzy), odwzorowanie γ : R ^m →LA(m, n) :

x 7→ D(f + A)(x) = Df (x) + A jest transwersalne do W .

Niech f : R ^m →R ⁿ , i ≤ m . Przypomnijmy, »e

Σ ⁱ (f ) = {x ∈ R ^m | rk [Df (x)] = m − i }

Twierdzenie 5.8 (R.Thom, Tw. o Transwersalno±ci) Istnieje taki zbiór U ⊂ Hom(R ^m , R ⁿ ) = LA(m, n) , którego dopeªnienie ma miare zero, »e

∀ A ∈ U ∀ i ≤ m : zbiór Σ ⁱ (f + A)

jest podrozmaito±cia w R ^m kowymiaru (n − m + i) · i , lub zbiorem pustym.

Poni»ej formuªujemy wersje Tw. Thoma o Transwersalno±ci udowod- niona przez Boardmana.

Twierdzenie 5.9 (Tw. o Transwersalno±ci) Istnieje taki zbiór T ⊂ C ^∞ (M, N ) , bedacy przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i gestych, »e dla f ∈ T oraz I = (i ¹ , . . . , i _k ) , zbiór

Σ ^I (f ) = Σ ⁱ

^,...,i

(f )

jest rozmaito±cia kowymiaru ν I (m, n) , lub zbiorem pustym.

(Punkty z Σ ^I (f ) sa nieusuwalne.) 

Funkcja ν ^I (m, n) zostaªa w peªni opisana przez Boardmana. W szczególnych przypadkach:

ν _i (m, n) = (n − m + i) · i , ν _i,j (m, m) = i ² + j

2 (2i ² − ij + 2j − i) , ν _I (m, n) = (n − m + 1) · k , gdzie I = (1, . . . , 1)

| {z }

k

‚wiczenie 5.10 (5.10) Osobliwo±ciami nieusuwalnymi (o ile istnieja) sa np.:

• Σ ¹ , Σ ^1,1 , Σ ^1,0 dla m = n = 2 ,

• Σ ¹ , Σ ^1,1 , Σ ^1,0 , Σ ^1,1,1 , Σ ^1,1,0 dla m = n = 3 ,

• Σ ¹ , Σ ^1,1 , , Σ ^1,0 , Σ ^1,1,1 , Σ ^1,1,1,1 , Σ ² , Σ ^2,0 dla m = n = 4 . Formy normalne nieusuwalnych osobliwo±ci:

• Σ ^m,0 (m, 1) : (x ₁ , . . . , x _m ) 7→ ±x ² ₁ ± · · · ± x ² _m

• Σ ^1,0 (2, 2) : (x, y) 7→ (x, y ² )

• Σ ^1,1 (2, 2) : (x, y) 7→ (x, y ³ + xy)

Formy normalne nieusuwalnych osobliwo±ci z Σ ¹ (2, 2) maja jedna z powy»szych postaci.

Poni»ej podajemy posta¢ normalna w kilku wa»nych przypadkach:

• Σ ^1,0 (3, 3) : (x, y, z) 7→ (x, y, z ² )

• Σ ^1,1,0 (3, 3) : (x, y, z) 7→ (x, y, z ³ + yz)

• Σ ^1,1,1 (3, 3) : (x, y, z) 7→ (x, y, z ⁴ + xy ² + yz)

• Σ ^1,0 (4, 4) : (x, y, z, w) 7→ (x, y, z, w ² )

• Σ ^1,1,0 (4, 4) : (x, y, z, w) 7→ (x, y, z, w ³ + wz)

• Σ ^1,1,1,0 (4, 4) : (x, y, z, w) 7→ (x, y, z, w ⁴ + yw ² + zw)

• Σ ^1,1,1,1 (4, 4) : (x, y, z, w) 7→ (x, y, z, w ⁵ + xw ³ + yw ² + zw)

• Σ ² (4, 4) : (x, y, z, w) 7→ (x, y, zw, z ² ± w ² + xz + yw) . Poni»ej przedstawiamy Tw. o rzedzie odwzorowania ograniczonego do podrozmaito±ci:

Twierdzenie 5.11 Niech p ∈ R ^m , oraz niech h ¹ , . . . , h _s : R ^m →R beda takimi funkcjami, »e gradienty ∇(h ¹ )(p), . . . , ∇(h _s )(p) sa liniowo-niezale»ne, oraz h ¹ (p) = y ₁ , . . . , h _s (p) = y _s .

Wtedy, z Tw. o Funkcji Uwikªanej,

W = {x ∈ R ^m | h ₁ (x) = y ₁ , . . . , h _s (x) = y _s } jest (m − s)-rozmaito±cia w otoczeniu punktu p .

Je»eli f = (f 1 , . . . , f _n ) : R ^m →R ⁿ , to

rk [D(f |W )(p)] = rk [D(f 1 , . . . , f n , h 1 , . . . , h s )(p)] − s

= rk [ ∇f ₁ (p), . . . , ∇f _n (p), ∇h ₁ (p), . . . , ∇h _s (p) ] − s . 

6 Efektywny opis typu osobliwo±ci

f = (f ₁ , . . . , f _n ) : (R ^m , 0) → (R ⁿ , 0) .

Jak efektywnie znale¹¢ typ osobliwo±ci odwzorowania f w punkcie 0 ? [Df (x)] − macierz jacobiego ,

r := rk [Df (0)] , i := m − r , 0 ∈ Σ ⁱ (f ).

Jak sprawdzi¢, czy Σ ⁱ (f ) jest rozmaito±cia ?

Niech m ¹ (x), . . . , m s (x) beda wyznacznikami wszystkich (r + 1) × (r + 1) -minorów macierzy [Df(x)].

r = rk [Df (0)] ⇒ m ₁ (0) = · · · = m s (0) = 0 , M (x) := (m ₁ (x), . . . , m _s (x)) ,

Σ ⁱ (f ) = {x ∈ R ^m | m ₁ (x) = · · · = m s (x) = 0 } = M ⁻¹ (0) w pobli»u 0 .

[DM (x)] − macierz jacobiego, p := rk [DM (0)] .

Oczywi±cie p ≤ min{m, s} .

Po ewentualnej zamianie kolejno±ci zmiennych oraz minorów, mo»na zaªo»y¢, »e p × p-macierz







∂m

∂x

(0) · · · ^∂m _∂x

p

(0)

· · · · · · · · ·

∂m

∂x

(0) · · · ^∂m _∂x

p

(0)







ma rzad p. Z Tw. o Funkcji Uwikªanej, w pobli»u 0 zbiór P = { x ∈ R ^m | m ₁ (x) = · · · = m _p (x) = 0 } jest (m − p)-wymiarowa rozmaito±cia .

Fakt 6.1 Zaªó»my, »e ideaªy w E(m) generowane przez m ¹ (x), . . . , m p (x) oraz m ¹ (x), . . . , m s (x) sa równe. Wtedy

Σ ⁱ (f ) = P

w pobli»u 0 , czyli Σ ⁱ (f ) jest (m − p)-wymiarowa rozmaito±cia.

Niech N(x) = (f ¹ (x), . . . , f n (x), m 1 (x), . . . , m p (x)) . Fakt 6.2 rk [ D(f|Σ ⁱ (f ))(x) ] = rk [DN (x)] − p .  Fakt 6.3 Niech j = m − rk [DN(0)]. Wtedy 0 ∈ Σ ^i,j (f ) . Przykªad: SINGULAR

> ring R=0,(x,y,z),ds;

> poly f1=x2-y2-xz- ... +4xz3+5yz3+z4;

> poly f2=x-z+yz;

> poly f3=x-y-2z+xyz;

> ideal f=f1,f2,f3;

> matrix Df=jacob(f);

> LIB linalg.alg;

> matrix Df0=subst(Df,x,0,y,0,z,0);

> int r=mat ⁻ rk(Df0);

> r;

2

Wiec i = 3 − 2 = 1.

> ideal M=minor(Df,3);

> M;

M[1]=-x+y+2z- ... -10y2z4-4yz5

> matrix DM=jacob(M);

> matrix DM0=subst(DM,x,0,y,0,z,0);

> int p=mat ⁻ rk(DM0);

> p;

1 > ideal K=M[1];

> ideal gM=std(M);

> ideal gK=std(K);

> reduce(gM,gK);

− [1] =0

> reduce(gK,gM);

− [1] =0 .

Ideaªy M oraz K sa wiec równe.

> ideal N=f,M[1];

> matrix DN=jacob(N);

> matrix DN0=subst(DN,x,0,y,0,z,0);

> int j=3-mat ⁻ rk(DN0);

j; j=1

> exit;

Auf Wiedersehen

Odwzorowanie f ma w punkcie 0 osobliwo±¢ Σ ^1,1 . W podobny sposób mo»na sprawdzi¢, »e jest to osobliwo±¢ Σ ^1,1,1 . Nie wynika z tego jeszcze, »e osobliwo±¢ ta jest nieusuwalna !!!

Twierdzenie 6.4 Niech

f (x, z 2 , . . . , z m ) = (h(x, z 2 , . . . , z m ), z 2 , . . . , z m ) : (R ^m , 0)→(R ^m , 0).

Zaªó»my, »e

(a) h(0) = ^∂h _∂x (0) = · · · = ^∂ _∂x

^h

(0) = 0 , k ≤ m ,

(b) gradienty ∇( ^∂h _∂x )(0) , . . . , ∇( ^∂ _∂x

^h

)(0) sa liniowo-niezale»ne.

Wtedy

(i) 0 ∈ Σ ^I (f ) , gdzie I = (1, . . . , 1)

| {z }

k

,

(ii) Σ ^I (f ) = {p ∈ R ^m | ^∂h _∂x (p) = · · · = ^∂ _∂x

^h

(p) = 0 } jest (m − k)- wymiarowa rozmaito±cia w pobli»u 0,

(iii) je»eli ^∂ _∂x

^h (0) 6= 0 to 0 ∈ Σ ^I,0 (f ) .

‚wiczenie 6.5 Odwzorowanie f = (x ² , z ₂ , . . . , z _m ) : (R ^m , 0)→(R ^m , 0) posiada w 0 osobliwo±¢ typu Σ ^1,0 . Odwzorowanie

f = (x ^k+1 + z 2 x ^k−1 + · · · + z k x, z 2 , . . . , z m ) : (R ^m , 0)→(R ^m , 0), dla 2 ≤ k ≤ m posiada osobliwo±¢ typu (I, 0) = ((1, . . . , 1)

| {z }

k

, 0) .

‚wiczenie 6.6 Opisa¢ te osobliwo±ci gdy m = 2, 3 .

7 Algebra kieªków

E = E(n) - R-algebra C ^∞ - kieªków (R ⁿ , 0)→R.

m = m(n) = {a ∈ E (n)|a(0) = 0} - jedyny ideaª maksymalny w E(n).

m(n) = hx 1 , . . . , x n i .

E(n) - jest przemiennym pier±cieniem lokalnym, nie jest noetherowski, posiada dzielniki zera.

(B(n), ◦) - grupa odwracalnych C ^∞ -kieªków (R ⁿ , 0)→(R ⁿ , 0) .

Kieªek H : (R ⁿ , 0)→(R ⁿ , 0) nale»y do B(n) wtedy i tylko wtedy, gdy det[DH(0)] 6= 0 .

C ^∞ - kieªek F = (F 1 , . . . , F _n ) : (R ^m , 0)→(R ⁿ , 0) indukuje homomor-

zm R-algebr

F ^∗ : E (n) → E (m) :

E(n) 3 a 7→ a ◦ F = a(F ) ∈ E(m) . F ^∗ (m(n)) - ideaª w E(m) generowany przez

F ^∗ (x 1 ) = F 1 , . . . , F ^∗ (x n ) = F n , F ^∗ (m(n)) ⊂ m(n),

Je»eli K : (R ⁿ , 0)→(R ^k , 0) , to K ◦ F : (R ^m , 0)→(R ^k , 0) , oraz (K ◦ F ) ^∗ = F ^∗ ◦ K ^∗ : E (k)→E (m) .

Twierdzenie 7.1 (Tw. Przygotowawcze) Je»eli g 1 , . . . , g _s ∈ E(m) sa takimi kieªkami, »e ich warstwy rozpinaja przestrze« wektorowa E(m)/F ^∗ (m(n)) , to dla ka»dego g ∈ E(m) istnieja takie a 1 , . . . , a _s ∈ E(n) , »e

g = F ^∗ (a 1 ) · g 1 + · · · + F ^∗ (a s ) · g s

= a ₁ (F ) · g ₁ + · · · + a _s (F ) · g _s .

Denicja. R ^F = E (m)/F ^∗ (m(n)) - pier±cie« stowarzyszony z odwzorowaniem F . Je»eli H ∈ B(n), to

• H ^∗ : E (n)→E (n) jest izomorzmem R - algebr,

• (H ^∗ ) ⁻¹ = (H ⁻¹ ) ^∗ ,

• H ^∗ (m(n)) = m(n) .

Denicja. Kieªki F, G : (R ^m , 0)→(R ⁿ , 0) sa równowa»ne, je»eli ist- nieja takie H ¹ ∈ B(n) , H ² ∈ B(m) , »e

F = H ¹ ◦ G ◦ H ² .

Fakt 7.2 Je»eli kieªki F, G sa równowa»ne, to pier±cienie R ^F , R G sa izomorczne.

Je»eli n ≥ m, to czesto dim ^R R _F < ∞.

‚wiczenie 7.3 Sprawdzi¢, czy kieªki (R ² , 0)→(R ² , 0) dane wzorami:

f ₁ = (x, y ² ) , f 2 = (x, y ³ − xy) , f 3 = (x, y ³ ) sa równowa»ne? . SINGULAR

> ring r=0,(x,y),ds;

> ideal f1=x,y2;

> ideal F1=std(f1);

> vdim(F1);

2 > F1;

x y2

> kbase(F1);

y 1

0 ∈ Σ ^1,0 (f ₁ ) , dim R R _f

= 2 .

SINGULAR

> ideal f2=x,y3-xy;

> ideal F2=std(f2);

> vdim(F2);

3 > F2;

x y3

> kbase(F2);

y2 y

1

0 ∈ Σ ^1,1 (f 2 ) , dim ^R R _f

= 3 .

SINGULAR

> ideal f3=x,y3;

> ideal F3=std(f3);

> vdim(F3);

3 > F3;

x y3

> kbase(F3);

y2 y 1

0 ∈ Σ ^1,0 (f 3 ) , dim ^R R _f

= 3

›adna para tych kieªków nie jest równowa»na !

Przykªad. Niech F = (x ² , z ₂ , . . . , z _m ) : (R ^m , 0)→(R ^m , 0) dla k = 1, lub F = (x ^k+1 + z ₂ x ^k−1 + · · · + z _k x, z ₂ , . . . , z _m ) : (R ^m , 0)→(R ^m , 0) dla 2 ≤ k ≤ m. Wtedy R ^F ' R[x]/hx ^k+1 i .

U»ywajac takich samych argumentów, jak w dowodzie Tw. 6.6 w wykªadzie Geometria Zbiorów Analitycznych, mo»na udowodni¢

Twierdzenie 7.4 Je»eli dim ^R R _F < ∞ , to 0 ∈ R ^m jest punktem izo- lowanym w F ⁻¹ (0) . 

Wniosek 7.5 Je»eli f : (R ^m , 0)→R, f (0) = y 0 ,

∇f =  ∂f

∂x ₁ , . . . , ∂f

∂x _m



: (R ^m , 0)→(R ^m , 0) ,

oraz dim R R _∇f < ∞ , to 0 jest izolowanym punktem krytycznym.

Wiec z Tw. o Funkcji Uwikªanej, w pobli»u 0, zbiór f ⁻¹ (y ₀ ) \ {0}

oraz ka»dy ze zbiorów f ⁻¹ (δ) , dla δ 6= y ⁰ , jest (m − 1)-rozmaito±cia lub zbiorem pustym. 

Przykªad. SINGULAR

> ring r=0,(x,y,z),ds;

> poly f=6-2x2y2-xyz+xz3-4y5+2y*x4;

> ideal n=jacob(f);

> ideal N=std(n);

> vdim(N);

24 exit;

Poniewa» dim R R _∇f = 24 , wiec kieªek f ma izolowany punkt krytyczny w 0.

Twierdzenie 7.6 Niech F = (F ¹ , . . . , F _n ) : (R ^m , 0)→(R ⁿ , 0) , gdzie n < m , i niech I ⊂ E(m) bedzie ideaªem generowanym przez F ¹ (x), . . . , F _n (x) oraz wyznaczniki wszystkich n × n-minorów macierzy DF (x).

Je»eli dim R E(m)/I < ∞ , to w pewnym otoczeniu 0 zbiór

F ⁻¹ (0) \ {0} jest (m − n)-rozmaito±cia, lub zbiorem pustym, wiec zbiór F ⁻¹ (0) ma izolowana osobliwo±¢ w 0.

Przykªad. SINGULAR

> ring r=0,(x,y,z,w),ds;

> poly f1=z2*y-x*w2+3x2*z-y3*w+w3-3z4;

> poly f2=xyz-2x2*w2-x4-5y3+5z3-4w3;

> ideal F=f1,f2;

> ideal I=F,minor(jacob(F),2);

> vdim(std(I));

74 Poniewa» dim ^R E(m)/I = 74 < ∞ , to w pewnym otoczeniu 0 zbiór F ⁻¹ (0)\{0} jest 2-rozmaito±cia, lub zbiorem pustym, wiec zbiór F ⁻¹ (0) ma izolowana osobliwo±¢ w 0 .

Twierdzenie 7.7 (a) Je»eli dim ^R R _F = 1 , to R ^F ' R , (b) Je»eli dim ^R R _F = 2 , to R ^F ' R[x]/hx ² i ,

(c) Je»eli dim R R _F = 3 , to R F jest jest izomorczny z jednym z poni»szych pier±cieni:

R[x]/hx ³ i ,

R[x, y]/hx ² , xy, y ² i ,

(d) Je»eli dim ^R R _F = 4 , to R ^F jest jest izomorczny z jednym z poni»szych pier±cieni:

R[x]/hx ⁴ i ,

R[x, y]/hx ² , xy, y ³ i ,

R[x, y]/hx ² + y ² , xyi = R[x, y]/hx ² + y ² , xy, y ³ i , R[x, y]/hx ² − y ² , xyi = R[x, y]/hx ² − y ² , xy, y ³ i , R[x, y, z]/hx ² , y ² , z ² , xy, xz, yzi . 

Pytanie. Co ró»ni te powy»sze pier±cienie, które maja ten sam wymiar?

8 Formy dwuliniowe

• V - R-przestrze« wektorowa sko«czonego wymiaru

• Φ : V × V → R - odwzorowanie dwuliniowe symetryczne

• Φ ² : V → R: Φ ² (v) = Φ(v, v) - forma kwadratowa

• istnieja podprzestrzenie liniowe V ¹ , V ₂ ⊂ V maksymalnego wymiaru speªniajace:

∀ v ∈ V ₁ \ {0} : Φ ² (v) = Φ(v, v) > 0,

∀ v ∈ V ₂ \ {0} : Φ ² (v) = Φ(v, v) < 0

• σ(Φ ² ) = dim R V 1 − dim _R V 2 ∈ Z

Liczbe σ(Φ ² ) nazywamy sygnatura formy kwadratowej Φ ² . Przykªad. Φ ² (x, y, z) = x ² − xy + z ² =

x ² − 2x  1 2 y

 + 1

4 y ² − 1

4 y ² + z ² =



x − 1 2 y

 2

− 1

4 y ² + z ² . Wiec σ(Φ ² ) = 2 − 1 = 1 .

9 Lokalny stopie« topologiczny

Niech F = (f 1 , . . . , f _n ) : (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0) bedzie odwzorowaniem gªadkim.

Zdeniujmy:

R _F := E (n)/ hf ₁ , . . . , f _n i , J = ∂(f ₁ , . . . , f _n )

∂(x 1 , . . . , x n ) ,

J − warstwa Jacobianu J w R ^F . Zaªó»my, »e 0 jest punktem izolowanym zbioru F ⁻¹ (0) .

Niech B(r) = {x ∈ R ⁿ | k x k≤ r} bedzie taka kula domknieta, »e F ⁻¹ (0) ∩ B(r) = {0} .

Je»eli y ∈ R ⁿ jest warto±cia regularna le»aca bardzo blisko 0, to F ⁻¹ (y) ∩ ∂B(r) = ∅ , warto±¢ Jakobianiu J(p) jest ró»na od zera dla dowolnego p ∈ F ⁻¹ (y) , oraz suma

X

p∈F

(y)∩B(r)

znak(J (p)) nie zale»y od wyboru warto±ci regularnej y.

Denicja. Lokalnym stopniem topologicznym w punkcie 0 nazywamy liczbe caªkowita

deg ₀ (F ) = X

p∈F

(y)∩B(r)

znak(J (p)),

gdzie y jest wart±cia regularna odwzorowania F le»aca bardzo blisko 0.

Twierdzenie 9.1 (Eisenbud-Levine, Khimshiashvili) .

(i) dim ^R R _F < ∞ ⇒ 0 jest izolowany w F ⁻¹ (0) , oraz J 6= 0, (ii) Niech θ : R F → R bedzie takim liniowym funkcjonaªem, »e θ(J ) >

0 . Zdeniujmy dwuliniowa forme symetryczna

Θ : R F × R _F → R : Θ(a, b) = θ(a · b) , oraz stowarzyszona z nia forme kwadratowa

Θ ² : R _F → R : Θ ² (a) = Θ(a, a) = θ(a ² ) . Forma Θ ² jest niezdegenerowana, oraz

deg ₀ (F ) = σ(Θ ² ) .

Przykªad. F (x ¹ , x 2 ) = (x ² ₁ − x ² ₂ , 2x 1 x 2 )

I = x ² ₁ − x ² ₂ , 2x ₁ x ₂  ⊂ E(2) , x ³ ₂ = −x ₂ (x ² ₁ − x ² ₂ ) + ( 1

2 x ₁ ) · 2x ₁ x ₂ ∈ I , R _F = E (2)/I ' E (2)/ x ² ₁ − x ² ₂ , x ₁ x ₂ , x ³ ₂ 

, x ² ₁ ≡ x ² ₂ , x ₁ x ₂ ≡ 0, x ³ ₂ ≡ 0 ,

R _F = {b ₁ · 1 + b ₂ · x ₁ + b ₃ · x ₂ + b ₄ · x ² ₂ } ,

= det  2x ₁ −2x ₂ 2x ₂ 2x ₁



= 4(x ² ₁ + x ² ₂ ) ≡ 8x ² ₂ ,

θ(b ₁ · 1 + b ₂ · x ₁ + b ₃ · x ₂ + b ₄ · x ² ₂ ) = b ₄ , θ(J ) = 8 > 0 ,

macierz formy Θ ² =









0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0







 ,

σ(Θ) = 2 , deg ₀ (F ) = 2 . Przykªad. Program A.Šeckiego

4 4 x1 ^∧ 5-x1*x2*x3*x4+2*x1 ^∧ 2*x3 ^∧ 2:

x2 ^∧ 4+3*x2*x3 ^∧ 2-4*x1 ^∧ 2*x3:

x3 ^∧ 4-x2 ^∧ 2*x4+5*x2*x3*x4:

x4 ^∧ 5+3*x1*x3 ^∧ 2+2*x2 ^∧ 2*x3-x4 ^∧ 7:

Local complex degree = 186

Computations in real case

Rank of matrix = 186

Signature = 0

Czas: ok. 1.5 min. Wiec deg 0 (F ) = 0 .

10 Punkty osobliwe hiperpowierzchni

Niech f : (R ⁿ , 0) → (R, 0) bedzie wielomianem. Oznaczmy S(r) = {x ∈ R ⁿ | k x k= r},

L(r) = S(r) ∩ f ⁻¹ (0),

A ₋ (r) = S(r) ∩ {f ≤ 0}, A ₊ (r) = S(r) ∩ {f ≥ 0}.

Je»eli r > 0 jest dostatecznie maªym promieniem, to topologia zbiorów L(r) , A ⁺ (r) , A − (r) jest dobrze zdeniowana z dokªadno±cia do home- omorzmu.

Twierdzenie 10.1 (Sullivan) Charakterystyka Eulera χ(L(r)) jest za- wsze parzysta.

‚wiczenie. Parasol Whitney'a jest powierzchnia opisana równaniem f = x ² − zy ² = 0 . Opisz zbiory L(r), A + (r) , A − (r) , i znajd¹ ich charakterystyke Eulera.

Twierdzenie 10.2 (Khimshiashvili) Je»eli f ma izolowany punkt kry- tyczny w punkcie 0, tzn. 0 jest punktem izolowanym w zbiorze

{x ∈ R ⁿ | ∇f (x) = 0} , to

χ(A ₋ (r)) = 1 − deg ₀ (∇f ), χ(A ₊ (r)) = 1 + (−1) ⁿ⁺¹ deg ₀ (∇f ),

χ(L(r)) =  0 je»eli n jest nieparzyste,

2(1 − deg ₀ (∇f )) je»eli n jest parzyste.

Przykªad. Niech f(x ¹ , x 2 ) = ¹ ₃ x ³ ₁ − x ₁ x ² ₂ . Wtedy

∇f = (x ² ₁ − x ² ₂ , −2x ₁ x ₂ ) : (R ² , 0) → (R ² , 0), deg ₀ (∇f ) = −2 ,

χ(A ₋ (r)) = χ(A ₊ (r)) = 3, χ(L(r)) = 6 . Przykªad. Program A. Šeckiego

3 3 d(1;x1 ^∧ 5-x2 ^∧ 6+x1*x2*x3+4*x2*x3 ^∧ 7-5*x1 ^∧ 2*x2 ^∧ 2*x3 ^∧ 2):

d(2;x1 ^∧ 5-x2 ^∧ 6+x1*x2*x3+4*x2*x3 ^∧ 7-5*x1 ^∧ 2*x2 ^∧ 2*x3 ^∧ 2):

d(3;x1 ^∧ 5-x2 ^∧ 6+x1*x2*x3+4*x2*x3 ^∧ 7-5*x1 ^∧ 2*x2 ^∧ 2*x3 ^∧ 2):

Local complex degree = 40 Computations in real case Rank of matrix = 40

Signature = 2

Czas: 1 sek. Wiec dla f = x ⁵ 1 − x ⁶ ₂ + x ₁ x ₂ x ₃ + 4x ₂ x ⁷ ₃ − 5x ² ₁ x ² ₂ x ² ₃ : χ(A ₋ (r)) = −1, χ(A ₊ (r)) = 3, χ(L(r)) = 0 .

Uwaga. Funkcja deniujaca parasol Whitney'a, tzn. f = x ² − zy ² , nie speªnia zalo»e« powy»szego twierdzenia.

Je»eli f : (R ⁿ , 0) → (R, 0) jest wielomianem jednorodnym, to topolo- gia zbiorów S(r), L(r), A ⁺ (r) , A ⁻ (r) nie zale»y od wyboru promienia r.

W szczególno±ci te zbiory sa homeomorczne odpowiednio ze zbiorami:

S(1) = S ⁿ⁻¹ , L(1) = S ⁿ⁻¹ ∩ f ⁻¹ (0),

A ₋ (1) = S ⁿ⁻¹ ∩ {f ≤ 0}, A ₊ (1) = S ⁿ⁻¹ ∩ {f ≥ 0}.

Twierdzenie 10.3 (Sz., Bruce) Niech f : R ⁿ → R bedzie wielomia- nem jednorodnym stopnia d, niech k bedzie dowolna nieparzysta liczba naturalna > d − 1. Zdeniujmy:

H 1 =  ∂f

∂x ₁ − x ^k ₁ , . . . , ∂f

∂x _n − x ^k _n



: (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0),

H ₂ =



− ∂f

∂x 1

− x ^k ₁ , . . . , − ∂f

∂x n

− x ^k _n



: (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0).

Wtedy punkt 0 jest izolowany w H 1 ⁻¹ (0), H ₂ ⁻¹ (0) , oraz χ(A ₋ (1)) = 1 − deg ₀ (H ₁ ) ,

χ(A ₊ (1)) = 1 − deg ₀ (H ₂ ) ,

χ(L(1)) = 1 + (−1) ⁿ − deg ₀ (H ₁ ) − deg ₀ (H ₂ ) . Przykªad. Program A.Šeckiego

3 3 d(1;x1*x2*x3)-x1 ^∧ 3:

d(2;x1*x2*x3)-x2 ^∧ 3:

d(3;x1*x2*x3)-x3 ^∧ 3:

Local complex degree = 11 Computations in real case Rank of matrix = 11

Signature = 3

3 3 -d(1;x1*x2*x3)-x1 ^∧ 3:

-d(2;x1*x2*x3)-x2 ^∧ 3:

-d(3;x1*x2*x3)-x3 ^∧ 3:

Local complex degree = 11 Computations in real case Rank of matrix = 11

Signature = 3

Wiec dla f = x ¹ x 2 x 3 :

χ(A ₁ (1)) = −2, χ(A ₊ (1)) = −2, χ(L(1)) = −6 .

11 Charakterystyka Eulera hiperpowierzchni

Niech f : R ⁿ → R b¦dzie wielomianem stopnia d ≥ 2:

f = X

α

a _α x ^α =

X

|α|=0

a _α x ^α

| {z }

f

+ X

|α|=1

a _α x ^α

| {z }

f

+ · · · + X

|α|=d

a _α x ^α

| {z }

f

.

Zdenujmy wielomiany od n oraz n + 1 zmiennych:

g(x ₁ , . . . , x _n ) = f _d ,

h(x ₁ , . . . , x _n , x _n+1 ) = x ^d _n+1 f ₀ + x ^d−1 _n+1 f ₁ + · · · + x _n+1 f _d−1 + f _d . Przykªad. Niech f = 3 − x ¹ + x ₁ x ₂ + x ³ ₁ − x ³ ₂ . Wtedy

g = x ³ ₁ − x ³ ₂ ,

h = 3x ³ ₃ − x ² ₃ x ₁ + x ₃ x ₁ x ₂ + x ³ ₁ − x ³ ₂ .

Wielomiany g, h s¡ jednorodne stopnia d. Niech k b¦dzie naturaln¡

nieparzyst¡ liczb¡ > d − 1. Zdeniujmy:

G 1 =  ∂g

∂x ₁ − x ^k ₁ , . . . , ∂g

∂x _n − x ^k _n



: (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0) , G ₂ =



− ∂g

∂x ₁ − x ^k ₁ , . . . , − ∂g

∂x _n − x ^k _n



: (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0) ,

H ₁ =  ∂h

∂x ₁ − x ^k ₁ , . . . , ∂h

∂x _n+1 − x ^k _n+1



: (R ⁿ⁺¹ , 0) → (R ⁿ⁺¹ , 0) ,

H 2 =



− ∂h

∂x ₁ − x ^k ₁ , . . . , − ∂h

∂x _n+1 − x ^k _n+1



: (R ⁿ⁺¹ , 0) → (R ⁿ⁺¹ , 0) . Twierdzenie 11.1 (Sz.) Odwzorowania G ¹ , G ₂ , H ₁ , H ₂ maj¡ izolowane zero w 0.

Niech W b¦dzie hiperpowierzchni¡ w R ⁿ zªo»on¡ z zer wielomianu f:

W = {x ∈ R ⁿ | f (x) = 0} . Wtedy charakterystyka Eulera χ(W ) jest równa

1

2 (deg ₀ (G ₁ ) + deg ₀ (G ₂ ) − deg ₀ (H ₁ ) − deg ₀ (H ₂ )) + (−1) ⁿ⁺¹ .

Na stronach

http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/bildergalerie/

gallery.html

http://wims.unice.fr/gallery/

http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicSurface.html

mo»na znale¹¢ liczne przyklady algebraicznych powierzchni w R ³ . Jedn¡

z nich jest powierzchnia Nordstranda:

http://mathworld.wolfram.com/NordstrandsWeirdSurface.html.

Jej równanie ma posta¢

25 x ³ (y + z) + y ³ (x + z) + z ³ (x + y) + 50(x ² y ² + x ² z ² + y ² z ² )−

125(x ² yz + y ² xz + z ² xy) + 60xyz − 4(xy + xz + yz) = 0 . U»ywaj¡c programu A. Š¦ckiego mo»na obliczy¢, »e

deg ₀ (G ₁ ) = −1, deg ₀ (G ₂ ) = +7 , deg ₀ (H ₁ ) = 19, deg ₀ (H ₂ ) = −9 .

Wi¦c charakterystyka Eulera powierzchni Nordstranda jest równa -1.

Inny przykªad to powierzchnia Clebscha:

http://mathworld.wolfram.com/ClebschDiagonalCubic.html.

Jej równanie ma posta¢

81(x ³ + y ³ + z ³ ) − 189(x ² y + x ² z + y ² x + y ² z + z ² x + z ² y) + 54xyz+

126(xy + xz + yz) − 9(x ² + y ² + z ² ) − 9(x + y + z) + 1 = 0 . U»ywaj¡c programu A. Š¦ckiego mo»na obliczy¢, »e

deg ₀ (G ₁ ) = 0, deg ₀ (G ₂ ) = 0 , deg ₀ (H ₁ ) = 6, deg ₀ (H ₂ ) = 6 .

Wi¦c charakterystyka Eulera powierzchni Clebscha jest równa -5.

Niech W − = {x ∈ R ⁿ | f (x) ≤ 0}, W ₊ = {x ∈ R ⁿ | f (x) ≥ 0} . Twierdzenie 11.2 Je»eli d jest liczb¡ parzyst¡, to

χ(W ₋ ) = 1

2 (deg ₀ (G ₁ ) − deg ₀ (H ₁ )) , χ(W ₊ ) = 1

2 (deg ₀ (G ₂ ) − deg ₀ (H ₂ )) .

Przykªad. Je»eli f jest takie, jak w denicji powierzchni Nordstranda, to χ(W ⁻ ) = −10, χ(W ₊ ) = +8 .

Je»eli liczba d jest nieparzysta, to trzeba zdeniowa¢ odwzorowania:

h ⁰ = x _n+1 · h , H ₁ ⁰ =  ∂h ⁰

∂x ₁ − x ^d+2 ₁ , . . . , ∂h ⁰

∂x _n+1 − x ^d+2 _n+1



: (R ⁿ⁺¹ , 0) → (R ⁿ⁺¹ , 0) ,

H ₂ ⁰ =



− ∂h ⁰

∂x ₁ − x ^d+2 ₁ , . . . , − ∂h ⁰

∂x _n+1 − x ^d+2 _n+1



: (R ⁿ⁺¹ , 0) → (R ⁿ⁺¹ , 0) . Twierdzenie 11.3 Odwzorowania H 1 ⁰ , H ₂ ⁰ maj¡ izolowane zero w 0, oraz

χ(W ₋ ) = 1

2 ((−1) ⁿ − deg ₀ (H ₁ ⁰ )) , χ(W + ) = 1

2 ((−1) ⁿ − deg ₀ (H ₂ ⁰ )) .

Przykªad. Je»eli f jest takie, jak w denicji powierzchni Clebscha, to χ(W − ) = χ(W + ) = −3 .

12 Lokalna liczba ªuków krzywej

Niech H = (h ¹ , . . . , h _n−1 ) : (R ⁿ , 0) → (R ⁿ⁻¹ , 0) bedzie odwzorowaniem wielomianowym. Oznaczmy

Ω = det











x 1 · · · x n

∂h

∂x

· · · _∂x ^∂h

... ... ...

∂h

∂x

· · · ^∂h _∂x

n









 ,

F = (Ω, h ₁ , . . . , h _n−1 ) : (R ⁿ , 0) → (R ⁿ , 0) .

Z Twierdzenia 7.6, je»eli dim ^R R _F < ∞ , to w pobli»u 0 zbiór H ⁻¹ (0)

jest sko«czona suma ªuków majacych jeden punkt wspólny w 0. Niech

b bedzie liczba tych ªuków.

Twierdzenie 12.1 (Aoki, Fukuda, Nishimura,Sun) Je»eli dim ^R R _F <

∞ , to

b = 2 · deg ₀ (F ) .

Przykªad. Niech H = (h ¹ , h ₂ ) : (R ³ , 0) → (R ² , 0) , gdzie:

h ₁ = x ⁵ ₁ − x ₁ x ₂ x ₃ + x ³ ₂ + 4x ⁴ ₃ , h ₂ = x ³ ₁ x ₂ − x ₂ x ³ ₃ − x ⁴ ₁ x ₃ .

U»ywajac programu A.Šeckiego mo»na sprawdzi¢, »e dim ^R R _F < ∞

oraz deg 0 (F ) = +6 . Wiec w pobli»u 0 zbiór H ⁻¹ (0) jest suma dwunastu

ªuków majacych jeden punkt wspólny w 0.